Feliratos tetraéder. Mi a különbség a tetraéder és a piramis között?
A tetraéder, vagy háromszögletű piramis a legegyszerűbb a többrétegűből, ugyanúgy, mint egy háromszög a legegyszerűbb a sokszögek egy síkban. A "tetraéder" szó két görög szóból áll: tetra - "négy" és hedra - "alap", "arc". Az ABCD tetraédert négy csúcsa határozza meg - A, B, C, D pontok, amelyek nem ugyanabban a síkban fekszenek; a tetraéder felülete négy háromszög; hat bordája van a tetraédernél. Az önkényes n-szén-piramisszal szemben (n ≥ 4 esetén) a tetraéder bármely felülete választható alapként.
A tetraéder sok tulajdonsága hasonló a háromszögek megfelelő tulajdonságainak. Konkrétan, a sík, amely a tetraéder éleinek merőleges szélei középpontjain húzódik, metsződik egy pontban. Ugyanezen a ponton O keresztezi egyenes 4 egyeneset is, amelyeket az előírt síkokkal merőleges körök körül a körülírottak középpontjai mentén húznak, és O az a gömb középpontja, amelyet a tetraéder közelében leírtak (1. ábra). Hasonlóképpen, a tetraéder 6 bisektromos félsíkja, azaz a tetraéder szélén lévő diéder szögeket felére osztó félsíkok szintén kereszteznek egy pontban - a tetraéderbe beírt gömb középpontjában - a gömb, amely a tetraéder mind a négy oldalát érinti. Bármelyik háromszögnek a felírton kívül 3 további feliratú kör van (lásd a háromszöget), de a tetraédernek bármilyen száma lehet - 4–7 extra feliratú gömb, azaz olyan gömbök, amelyek a tetraéder négy oldalának síkját érintik. Mindig 4 gömb van felvágva csonka háromszögletű szögekbe, amelyek közül az egyik a 2. ábrán látható. 2, a jobb oldalon. További 3 gömb írható be (nem mindig!) A tetraéder szélein lévő csonkított kétoldalas szögekbe - ezek közül egyet mutat a 2. ábra. 2, a bal oldalon.
Egy tetraéder esetén a gömbrel való kölcsönös elrendezésnek egy másik lehetősége van - egy bizonyos gömböt érintve annak minden széle mellett (3. ábra). Egy ilyen gömb - néha „félig feliratozott” - csak akkor létezik, ha a tetraéder ellentétes széleinek hossza megegyezik: AB + CD \u003d AC + BD \u003d AD + BC (3. ábra).
Bármely tetraéderre érvényes a tétel analógja egy háromszög mediánjainak metszéspontjában egy ponton. Nevezetesen, a négy sík, amely a tetraéder szélein és az ellentétes élek közepén húzódik, egy pontban keresztezi a tetraéder középpontját (4. ábra). 3 „középvonal” is áthalad az M centridon - a három pár egymással ellentétes élle középpontját összekötő szegmensek, és az M pontot felére osztják. Végül a tetraéder 4 „mediánja” is áthalad az M-en - a szegmenseket, amelyek a csúcsokat az ellenkező felületek középpontjaival összekötik, és az M pontban felosztják a 3: 1 arányban, a csúcsoktól számítva.
A háromszög legfontosabb tulajdonsága - az ∠A + ∠B + ∠C \u003d 180 ° (vagy π) egyenlőség - nem rendelkezik ésszerű "tetraéder" analóggal: a tetraéder mind a 6 dióda szögének összege bármilyen értéket vehet fel 2π és 3π között. (Természetesen a tetraéder mind a 12 síkszöge - az egyes csúcsokon 3 - összege független a tetraédertől és egyenlő 4π-vel.)
A háromszögeket általában a szimmetria foka szerint osztályozzák: a szabályos vagy egyenlő oldalú háromszögeknek három szimmetriatengelyük van, egyenlő szárúak - egy. A tetraéderek osztályozása a szimmetria fokának megfelelően gazdagabb. A legszimmetrikusabb tetraéder szabályos, négy szabályos háromszöggel határolva. 6 szimmetriasíkkal rendelkezik - mindegyik bordán áthaladnak az ellenkező bordara merőlegesen -, és 3 szimmetriatengely halad át az egymással szemben lévő bordák közepén (5. ábra). A szabályos háromszög alakú piramisok (3 szimmetria sík, 6. ábra) és az egyenlő tetraéderek (azaz egyenlő felületű tetraéderek - 3 szimmetriatengely, 7. ábra) kevésbé szimmetrikusak.
Összegzésképpen két képletet adunk a tetraéder térfogatának kiszámításához. Nem nagyon hasonlítanak a háromszög területére jól ismert képletekhez, ám néhány analógia továbbra is nyomon követhető.
ahol a h D magasság ebben az esetben a D csúcstól az ABC felület síkjáig mért távolság.
ahol (∠AB) a kétoldalas szög az AB szélén. A tetraéder térfogatának kiszámításához más képletek is vannak.
Meghatározás A tetraéder egy négyszögletes négyszög alakú felülettel, 3 felülettel egybeesik az egyes csúcsok. A tetraédernek 4 felülete, 4 csúcsa és 6 éle van. A „tetraéder” szó két görög szóból áll: tetra- „négy” és hedra- „alap”, „arc”.
A medián, a bimediánus (középső vonalak) és a tetraéder magasságának meghatározása A tetraéder csúcsát és az ellenkező oldal mediánjai metszéspontját összekötő szegmenst úgy nevezzük, hogy ebből a csúcsból leesett mediánja van. A tetraéder keresztező éleinek középpontjait összekötő szegmenst bimedianusnak nevezzük, amely összeköti az élek adatait. A csúcsot az ellenkező oldal pontjával összekötő és ezzel szemben merőleges szegmenst magasságának nevezzük, ebből a csúcsból kihagyva.
A tetraetrák típusai Az izometrikus tetraéder olyan tetraéder, amelyben az összes oldal azonos háromszög. Az ortocentrikus tetraéder olyan tetraéder, amelyben a csúcsoktól az ellenkező felületekre eső magasságok egy pontban keresztezik egymást. A téglalap alakú tetraéder egy olyan tetraéder, amelyben az egyik csúcs szomszédos élei merőlegesek egymásra. A szabályos tetraéder egy olyan tetraéder, amelyben az összes oldal egyenlő oldalú háromszög. Egy arányos tetraéder, amelynek egyenlő magasságai vannak. A koncentrikus tetraéder egy olyan tetraéder, amelyben a tetraéder csúcsait az ellenkező felületekre írt körök középpontjaival összekötő szegmensek egy pontban metszik egymást.
A szabályos tetraéder mind a négy oldala szabályos háromszög. Ha a normál tetraéder széle hosszát a-val jelöljük, akkor kiszámíthatjuk: A leírt gömb teljes felületének sugara Hangerő Szélszög Magasság Az arc dőlésszöge A felírt gömb sugara A szög a csúcsban Helyes tetraéder
A tetraéder tulajdonságai Minden csúcsa három háromszög csúcsa. Tehát az egyes csúcsok lapos szögeinek összege 180º lesz. Egy oktaéder beírható a megfelelő tetraéderbe. A helyes tetraéder beírható az ikozaéderbe, ráadásul a tetraéder négy csúcsa igazodik az ikozaéder négy csúcsához. A helyes tetraédert kétféleképpen lehet a kockabe bevinni, ráadásul a tetraéder négy csúcsa igazodik a kocka négy csúcsához.
Hol használják a tetraédert? A Tetra Classic® tej tárolására szolgáló tetraéder formájú kartondoboz, amelyet 1950-ben a Tetra Pak készített. 1959 óta szállítják és széles körben használják a Szovjetunióban, ahol ezeket a csomagokat általában „piramisoknak” vagy „háromszög alakú zsákoknak” nevezték. A piramisok két fő méretűek voltak: nagyok (tejhez és kefirhoz) és kisebbek (tejszín). A termékek típusától függően eltérően voltak díszítve. Kiderült, hogy kényelmes volt ragasztani az ilyen tetraédereket a szállítószalagra, levágva a kartonból készült tömlőből a hozzájuk tartozó nyomatokat.
Tetraéderek a vadon élő állatokban Néhány gyümölcs, egyrészt négy, a tetraéder csúcsán helyezkedik el, amely közel áll a helyeshez. Ez a kialakítás annak a ténynek köszönhető, hogy négy azonos gömb középpontja, amelyek egymással érintkeznek, egy szabályos tetraéder csúcsain vannak. Ezért a gömbszerű gyümölcsök hasonló elrendezést képeznek. Például a dió ilyen módon helyezhető el.
Tetraéderek az építkezésben A tetraéder merev, statikusan meghatározható szerkezetet képez. A rudakból készített tetraédert gyakran használják alapul az épületek, padlók, gerendák, rácsok, hidak, stb. Támaszkodó térszerű teherhordó szerkezetekhez. A rudak csak hosszanti terheléseket érnek el.
Sarok reflektor A sarok reflektor egy téglalap alakú tetraéder alakú eszköz, amely egymásra merőleges reflektáló síkokkal rendelkezik. A sarok reflektorba belépő sugárzás szigorúan ellenkező irányban tükröződik. Használt: a távolságok pontos méréséhez (a hold lézeres helyének meghatározásához, műholdas, topográfiai felméréshez, felépítéshez); pontosan vissza a sugárzást (reflektor, elektronikus hadviselés).
Tetraéderek a mikrovilágban A metán molekula CH 4 ammónia molekula NH 3 Diamond C tetraéder, amelynek széle 2,5220 angsz. F. -, 2+ szilikát, amelyek a 4-20 szilícium-oxigén tetraéder alapján állnak
A tetraéder és a piramis többrétegű, vagy sokszögekből álló zárt felületek (tudományos meghatározás). Végtelen számú poliéder létezik, de ezekre fogunk lakozni. Mi a különbség a tetraéder és a piramis között, és mi a közös ezek között? Vessünk közelebbről.
piramis
piramis sok ember tudatában szorosan kapcsolódik az egyiptomi fáraók ősi sírokhoz. Valójában mind négyzet alakú (vagy négyzethez közeli) alapú piramisok. Ami már elhangzott, egyértelmű, hogy vannak olyan piramisok, amelyek más formájú alapokkal rendelkeznek. A geometriai piramis egy többrétegű, amelynek egyik oldala (az alap) egy tetszőleges sokszög (vagyis még szabálytalan alakú is lehet), a többi oldal pedig háromszögek, közös csúccsal.
A tetraéder és a piramis közötti különbség az, hogy az utóbbiban tetszőleges számú fajta lehet. A piramis alábbi elemeit lehet megkülönböztetni, jellemezve alakjukat:
- oldalsó felületek (a tetején egybeolvadó háromszögek);
- bázis;
- oldalsó bordák (a szomszédos oldalak közös oldala);
- magasság;
- csúcsa;
- apothem (csak a szabályos piramisok tartalmazzák ezt az elemet, vagyis azokat, amelyek alapja egy szabályos (azonos oldalú) sokszög).
összehasonlítás
tetraéder a legegyszerűbb poliéder. Négy oldallal és hat széllel rendelkezik, kevesebb egyszerűen lehetetlen. Az arcok háromszögek. Ha mindegyik egyenlő oldalú, akkor az ilyen tetraédert szabályosnak nevezzük. Ennek megfelelően a tetraéder egyúttal szabályos háromszög alakú piramis, amelynek az alapja bármelyik felület lehet. A tetraédert széles körben használják a technológiában és a vadvilágban gyakoriak: egyes növények gyümölcseit éppen ilyen alakú kefén gyűjtik össze.
Néhány áttört fémszerkezet cellái tetraéder alakúak is - tehát jobban tartják a terhet. És a mikrovilágban ez a poliéder gyakori. Például a tetraéder forma velejárója az ammónia molekulanak. A „ásványok királya”, a gyémánt, a kristályrácsban mindegyik szénatom a tetraéder közepén helyezkedik el, és a négy legközelebbi atom csúcsként szolgál. Ez a szerkezet teszi a gyémántot a Föld legkeményebb ásványává.
A Szovjetunióban tejüket tetraéder alakú csomagokban értékesítették táblázat
Világos, mi a különbség a tetraéder és a piramis között: a tetraéder a háromszögletes piramis különleges esete. Az egyszerűség alapja lett a nagyon merev, természetes (gyémánt kristályrácsos) és mesterséges (fémszerkezetek cellái) szerkezetek létrehozásának. Lásd az összehasonlítás eredményét az alábbi táblázatban.
| piramis | tetraéder | |
| alak | Az alap tetszőleges alakú sokszög, az oldalsók közös csúcsú háromszögek | Háromszög alakú piramis, az összes oldalsó oldal az aljhoz igazodik (normál tetraéder), tehát maguk is az alapok (ha a tetraédert megfordítják) |
| Terjed a természetben | Négy vegyület molekuláiban a négyszögletes piramis alakja rejlik | A tetraéder ammónia molekula, kristályrácsa, egyes növények (például dió) gyümölcskefékének formája. |
| Alkalmazás háztartási, mérnöki és építőiparban | A négyszögletes piramisok számos ősi civilizáció vallásos épületei (Maja, ókori Egyiptom, aztékok) | A normál tetraéder alakja a Szovjetunióban tejet tartalmazó zsákokban volt, számos fémszerkezet sejtjeinek is ilyen alakja van |
