Tudja meg az átló hosszát a normál sokszög oldalainak ismeretében. Normál sokszög. A szabályos sokszög oldalainak száma

Háromszög, négyzet, hatszög - ezeket a számadatokat szinte mindenki ismeri. De messze mindenki tudja, mi a szokásos sokszög. De ezek mind ugyanazok: a szabályos sokszöget nevezzük olyannak, amelynek szöge és oldala egymással azonos. Sok ilyen szám van, de mindegyikük azonos tulajdonságokkal rendelkezik, és rájuk ugyanazok a képletek vonatkoznak.

A normál sokszögek tulajdonságai

Bármely szabályos sokszög, legyen az négyzet vagy nyolcszög, körbe írható. Ezt az alapvető tulajdonságot gyakran használják alak kialakításakor. Ezenkívül a kör beírható a sokszögbe is. Ebben az esetben az érintkezési pontok száma megegyezik az oldalszámával. Fontos, hogy egy szabályos sokszögbe felírt körnek közös központja legyen. Ezekre a geometriai ábrákra egy tétel vonatkozik. A szabályos n-gonok bármelyik oldala össze van kötve a kör közelében leírt R kör sugarával, ezért a következő képlettel számítható ki: а \u003d 2R ∙ sin180 °. Keresztül nemcsak az oldalakat, hanem a sokszög kerületét is megtalálja.

Hogyan lehet megtalálni a normál sokszög oldalainak számát?

Bármelyik több, egymással egyenlő szegmensből áll, amelyek összekapcsolódásakor zárt vonalat képeznek. Sőt, a kapott ábra összes szöge azonos értékű. A sokszögeket egyszerű és összetett részekre osztják. Az első csoport háromszöget és négyzetet tartalmaz. A komplex sokszögek nagyobb számú oldallal rendelkeznek. Ide tartoznak csillag alakúak is. Összetett, szabályos sokszögek esetén az oldalakat körben feliratozva találják meg. Adunk egy igazolást. Rajzolj egy szabályos sokszöget tetszőleges számú n oldallal. Mutassa be a körét. Határozza meg az R sugarat. Most képzelje el, hogy van néhány n-gon megadva. Ha szögeinek pontjai egy körön helyezkednek el és egyenlőek egymással, akkor az oldalakat a következő képlettel lehet megtalálni: a \u003d 2R ∙ sinα: 2.

Megtalálja a feliratozott szabályos háromszög oldalszámát

Egy egyenlő oldalú háromszög egy szabályos sokszög. A képleteket ugyanúgy kell alkalmazni, mint a négyzetre és az n-gonra. A háromszög akkor tekinthető helyesnek, ha annak azonos oldala van. A szögek 60ны. Háromszöget építünk egy megadott hosszúságú oldallal a. Ismerve annak mediánját és magasságát, megtalálhatja oldalának jelentését. Ehhez az a \u003d x: cosα képlet segítségével keressük meg a módszert, ahol x a medián vagy a magasság. Mivel a háromszög minden oldala egyenlő, a \u003d b \u003d c-t kapjuk. Akkor a következő állítás igaz lesz: a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Hasonlóképpen, az oldalak értékét egy egyenlő méretű háromszögben találhatja meg, de x adott magasság lesz. Ebben az esetben azt szigorúan az ábra alapjára kell vetíteni. Tehát, megtudva az x magasságot, az a \u003d b \u003d x: cosα képlettel derül ki egy egyenlő szárú háromszög a) oldalát. Miután megtaláltuk az a értékét, kiszámolhatjuk az alap hosszát. A Pitagorasi tételt alkalmazzuk. A c alapfázis értékét fogjuk keresni: 2 \u003d √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α \u003d x ∙ tgα. Ezután c \u003d 2xtgα. Ilyen egyszerű módon megtalálhatja a feliratozott sokszög oldalainak számát.

Egy körbe felírt négyzet oldalainak kiszámítása

Mint minden más feliratú szabályos sokszög, a négyzetnek azonos oldalú és szöget kell megadnia. Ugyanazok a képletek vonatkoznak rá, mint a háromszögre. A négyzet oldalát az átlós érték segítségével lehet kiszámítani. Fontolja meg ezt a módszert részletesebben. Ismeretes, hogy az átló osztja a szöget felére. Kezdetben annak értéke 90 fok volt. Így az osztódás után a két szögük az alján kialakul, és egyenlő lesz 45 fokkal. Ennek megfelelően a négyzet mindkét oldala egyenlő lesz, azaz: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e√2: 2, ahol e a négyzet átlója, vagy az a derékszögű háromszög felosztása után kialakított alap. Ez nem az egyetlen mód a tér oldalának megtalálására. Töltsük meg ezt az alakot egy körbe. Az R kör sugara ismeretében megtaláljuk a négyzet oldalát. A következőképpen számoljuk ki: a4 \u003d R√2. A szabályos sokszögek sugara az R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) képlettel számítható, ahol a az oldal hossza.

Az n-gon kerületének kiszámítása

Az n-gon kerülete az összes oldalának összege. Nem nehéz kiszámítani. Ehhez meg kell ismernie minden fél értékeit. Néhány sokszögtípusra speciális képletek léteznek. Ezek lehetővé teszik, hogy sokkal gyorsabban megtalálja a kerületet. Ismert, hogy minden szabályos sokszögnek azonos oldala van. Ezért ahhoz, hogy kiszámítsa a kerületét, elegendő legalább az egyik ismerete. A képlet az ábra oldalszámától függ. Általában így néz ki: P \u003d an, ahol a az oldal értéke, és n a szögek száma. Például egy normál nyolcszög kerületének meghatározásához, amelynek oldala 3 cm, meg kell szorozni azt 8-mal, azaz P \u003d 3 ∙ 8 \u003d 24 cm. Ha egy hatszög 5 cm oldalú, kiszámítja ezt: P \u003d 5 ∙ 6 \u003d 30 cm. minden sokszög.

Megtalálja a párhuzamos ábra, a négyzet és a rombusz kerületét

Attól függően, hogy hány oldallal rendelkezik egy rendes sokszög, kiszámítják annak kerületét. Ez nagyban megkönnyíti a feladatot. Valójában, más ábráktól eltérően, ebben az esetben nem kell az összes oldalát keresnie, csak egyet. Ugyanezen elv alapján megtaláljuk a négyszög kerületét, azaz a négyzetet és a rombust. Annak ellenére, hogy ezek különböző számok, a képlet számukra egy P \u003d 4a, ahol a az oldal. Adunk egy példát. Ha a rombusz vagy a négyzet oldala 6 cm, akkor a kerületet a következőképpen találjuk: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. A párhuzamos ábra esetében csak az ellenkező oldalak azonosak. Ezért a kerületét egy másik módszerrel találják meg. Tehát tudnunk kell az ábra hosszát és szélességét. Ezután a P \u003d (a + c) formula képletet alkalmazzuk. Párhuzamos képet mutatunk, amelyben minden oldal egyenlő, és a köztük lévő szögeket rombusnak nevezzük.

Megtaláljuk az egyenlő oldalú és a téglalap alakú háromszög kerületét

A helyes kerületét a P \u003d 3a képlettel lehet meghatározni, ahol a az oldal hossza. Ha ismeretlen, megtalálható a medián keresztül. Egy derékszögű háromszögben csak két oldal azonos jelentőségű. Az alap megtalálható a Pythagorai tétel segítségével. Miután mindhárom oldal értékei ismertté válnak, kiszámoljuk a kerületet. Megtalálható a P \u003d a + b + c képlettel, ahol a és b egyenlő oldalak, és c az alap. Emlékezzünk arra, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a \u003d b \u003d a, ami azt jelenti, hogy a + b \u003d 2a, akkor P \u003d 2a + c. Például egy egyenlő szárú háromszög oldala 4 cm, meg fogjuk találni annak alapját és kerületét. A hipotenusz értékét a Pitagorasi tétel szerint számoljuk \u003d √а 2 + в 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm-rel, most kiszámoljuk a P \u003d 2 ∙ 4 + 5,65 \u003d 13,65 cm kerületét.

Hogyan lehet megtalálni a normál sokszög sarkait?

Az életünkben minden nap egy szabályos sokszög található, például egy átlagos négyzet, háromszög, nyolcszög. Úgy tűnik, hogy nincs semmi könnyebb, mint ezt a figurát magad készíteni. De ez csak csak első pillantásra lehetséges. Bármely n-gon felépítéséhez meg kell ismerni annak szögeinek értékét. De hogyan lehet megtalálni őket? Még az ókori tudósok megkíséreltek rendszeres sokszögeket építeni. Arra gondoltak, hogy körbe illesztik őket. Aztán megjelölték a szükséges pontokat, egyenes vonallal összekapcsolva. Az egyszerű számok miatt megoldódott az építési probléma. Képleteket és tételeket kaptunk. Például Euclid a „Kezdet” című híres munkájában a 3, 4, 5, 6 és 15 gondokat érintő problémák megoldásával foglalkozott. Megtalálta a módszereket építésükhöz és sarkokhoz. Fontolja meg, hogyan lehet ezt megtenni egy 15 gonda esetében. Először ki kell számítania a belső szögek összegét. Az S \u003d 180⁰ (n-2) képletet kell használni. Tehát kapunk egy 15 gondolatot, tehát n szám 15. Helyettesítsük az ismert adatokat a képletbe, és kapjuk S \u003d 180⁰ (15 - 2) \u003d 180⁰ x 13 \u003d 2340⁰ értéket. Megtaláltuk a 15-gon összes belső sarkának összegét. Most meg kell szereznie mindegyik értékét. Összesen 15 szög van. A számítást 2340⁰: 15 \u003d 156⁰ értékkel végezzük. Tehát minden belső szög 156⁰, most egy vonalzó és egy iránytű segítségével készíthet egy szokásos 15-gondokat. De mi lenne a bonyolultabb n-gonokkal? A tudósok évszázadok óta küzdenek e probléma megoldása érdekében. Csak a 18. században találta meg Karl Friedrich Gauss. Képes volt egy 65537-es gondolatot felépíteni. Azóta a problémát hivatalosan teljes mértékben megoldottnak tekintik.

Az n-gének szögének kiszámítása radiánban

Természetesen többféle módon meg lehet találni a sokszögek szögeit. Leggyakrabban fokban számolják. De radiánban kifejezhetők. Hogyan csináljuk? A következőképpen kell cselekednünk. Először megtudjuk, egy normál sokszög oldalainak száma, majd vonjuk le belőle 2. Tehát kapjuk az értéket: n - 2. Szorozzuk meg a talált különbséget n számmal ("pi" \u003d 3,14). Most már csak meg kell osztani a kapott terméket az n-gon szögeinek számával. Fontoljuk meg ezeket a számításokat ugyanazon ötszög példáján. Tehát az n szám 15. Az S \u003d n (n - 2) képletet alkalmazzuk: n \u003d 3,14 (15 - 2): 15 \u003d 3,14 ∙ 13: 15 \u003d 2,72. Természetesen ez nem az egyetlen mód a szög radiánban történő kiszámítására. Egyszerűen oszthatja a szöget fokokkal 57,3-tal. Végül is, csak annyi fok egyenértékű egy radiánnal.

A szögek kiszámítása fokban

A fokok és a radiánok mellett meg lehet próbálni egy normál sokszög szögeinek értékét grad-ban is megkeresni. Ez a következőképpen történik. Vonjuk le a 2-t a teljes szögekből, és osszuk meg a kapott különbséget a normál sokszög oldalszámával. Szorozzuk meg az eredményt 200-val. Egyébként a szögek olyan mértékegységét, mint a jégeső, gyakorlatilag nem használják.

Az n-gének külső szögeinek kiszámítása

Bármely normál sokszöghez, a belső kivételével, kiszámíthatja a külső szöget is. Értékét ugyanúgy találjuk meg, mint a többi számot. Tehát a normál sokszög külső sarkának megtalálásához meg kell ismerni a belső sokszög jelentését. Továbbá tudjuk, hogy e két szög összege mindig 180 fok. Ezért a számításokat az alábbiak szerint végezzük: 180⁰, mínusz a belső szög értéke. Keresse meg a különbséget. Ez megegyezik a mellette lévő szög értékével. Például a négyzet belső szöge 90 fok, ami azt jelenti, hogy a külső 180 will - 90⁰ \u003d 90⁰ lesz. Mint látjuk, nem nehéz megtalálni. A külső szög értéke + 180⁰ és -180⁰ között lehet.

Olyan alak, amelyben minden oldal egyenlő. Tehát például az egyenlő oldalú háromszög egy szabályos sokszög, amely három zárt vonalból áll. Ebben az esetben annak összes szöge 60 °. Oldalai azonosak, de nem párhuzamosak egymással. Más sokszögek ugyanazzal a tulajdonsággal rendelkeznek, azonban szögeik különböző méretűek. Az egyetlen szabályos sokszög, amelynek oldalai nemcsak egyenlők, hanem párhuzamosan párhuzamosak is, egy négyzet. Ha a feladatban megadunk egy egyenlő oldalú háromszöget w S területtel, akkor ismeretlen oldalsó  sarkokon és oldalakon keresztül található. Mindenekelőtt keresse meg az alapjára merőleges h háromszög magasságát: h \u003d a * sinα \u003d a√3 / 2, ahol α \u003d 60 ° az egyik olyan szög, amely a háromszög alapjához szomszédos. Ezen megfontolások alapján alakítsa át a képletet a terület úgy, hogy kiszámítható legyen az oldalhossz: S \u003d 1 / 2a * a√3 / 2 \u003d a ^ 2 * √3 / 4 Ebből következik, hogy az a oldal: a \u003d 2√S / √√3

Keresse meg a normál négyszög oldalát egy kissé eltérő módszerrel. Ha ez egy négyzet, akkor a területet vagy az átlót használja kiindulási adatokként: S \u003d a ^ 2 Ezért az a oldal: a \u003d √ S Ezen felül, ha átlós van, akkor oldalsó  kiszámítható egy másik képlettel: a \u003d d / √2

A legtöbb esetben oldalsó  a jobb sokszög úgy határozható meg, hogy ismerjük a benne vagy köré körülírt kör sugarat. Ismert, hogy van kapcsolat a háromszög oldalának és az ezen ábra körül körülírt kör sugara között: a3 \u003d R√3, ahol R a körülírt kör sugara. Ha a kör háromszögbe van felírva, akkor a képlet más formát ölt: a3 \u003d 2r√3, ahol r a sugara feliratos kör Egy szabályos hatszög esetén a körülírt (R) vagy felírt (r) kör ismert sugarainak oldalának megtalálására szolgáló képlet a következő: a6 \u003d R \u003d 2r√3 / 3 Ezekből a példákból arra következtethetünk, hogy bármely tetszőleges n-gonra a képlet a felek a jelen formában a következő: a \u003d 2Rsin (α / 2) \u003d 2rtg (α / 2)

A poligonok fő típusai közé tartozik a háromszög, a parallelogram és annak típusai (rombusz, téglalap, négyzet), trapéz alakú, valamint a szabályos sokszögek. Mindegyiknek megvan a saját módszere a terület kiszámításához. A bonyolultabb, konvex és konkáv sokszögeket egyszerű alakzatokra osztják, amelyek felületét ezután összegzik.

Sokszög, amelynek hossza mindkét oldalon azonos. Ezért, tudva teljes hosszát - a kerületet - (P) és a csúcsok vagy oldalak teljes számát (n), ossza meg az elsőt a másodikba az egyes méretek kiszámításához a felek  a) számok: a \u003d P / n.

Minden rendben sokszög  leírhatja az egyetlen lehetséges sugara (R) körét - ez a tulajdonság a hossz kiszámításához is felhasználható a felek  a) bármilyen sokszögha a csúcsok száma (n) a feltételekből is ismert. Ehhez vegye figyelembe a két sugár által alkotott háromszöget és a kívánt oldalt. Ez egy egyenlő méretű háromszög, amelyben az alap megtalálható az oldal hosszának kétszeres szorzásával a felek  - sugár - a köztük lévő szög fele - a központi szög. A szög kiszámítása egyszerű - ossza el a 360 ° -ot az oldalak számával sokszög. A végső képletnek így kell kinéznie: a \u003d 2 * R * sin (180 ° / n).

Hasonló tulajdonság van egy körre, amelyet egy szabályos konvex sokszögbe írnak be - szükségszerűen létezik, és a sugara egyedi értékkel bírhat minden egyes alak esetében. Ezért itt is a hosszúság kiszámításakor a felek  a) a sugár (r) és az oldalak számának ismerete használható sokszög  (N). A kör és bármelyik oldal érintkezési pontjáról húzott sugár merőleges erre az oldalra, és felosztja azt. Ezért vegye figyelembe egy derékszögű háromszöget, amelyben a kívánt sugár és fele legyen a felek lábak. A meghatározás szerint arányuk megegyezik a középső szög felének érintőjével, amelyet ugyanúgy kiszámíthatunk, mint az előző lépésben: (360 ° / n) / 2 \u003d 180 ° / n. A derékszögű háromszögben az akut szög érintőjének meghatározása ebben az esetben a következőképpen írható: tg (180 ° / n) \u003d (a / 2) / r. Mutassa ki a hosszt ebből az egyenlőségből a felek. Ezt a képletet kell kapnia: a \u003d 2 * r * tg (180 ° / n).

A sokszög több, egymással összekapcsolt szegmensből áll, amelyek zárt vonalat képeznek. Az osztály összes alakját egyszerű és összetett alakra osztják. Az egyszerűek közé tartozik a háromszög és a négyszög, az összetettekhez pedig a nagy számú sokszögek tartoznak a felekvalamint csillag sokszögek.

Használati útmutató

Leggyakrabban egy szabályos háromszög a felekó a Mivel a sokszög szabályos, akkor mindhárom a feleks egyenlők. Ezért, tudva a háromszög mediánját és magasságát, mindezt megtalálhatja a feleks. Ehhez használja a keresési módszert a feleks a szinuszon keresztül: a \u003d x / cosα a felekaz s háromszög egyenlő, azaz a \u003d b \u003d c \u003d a, a \u003d b \u003d c \u003d x / cosα, ahol x a magasság, a medián vagy a felező. Hasonlóképpen keresse meg mindhárom ismeretlenet a feleks egyenlőségű háromszögben van, de egy feltétel mellett - egy adott magasság. Ki kell vetni a háromszög aljára. Tudva az alap magasságát x, keresse meg a felekegy egyenlő szárú háromszög esetén: a \u003d x / cosα. Mivel a \u003d b, mivel a háromszög egyenlő szárú, keresse meg a feleks az alábbiak szerint: a \u003d b \u003d x / cosα. Miután megtalálta az oldalt a feleka háromszög s értékeiből kiszámoljuk a háromszög alaphosszát a Pythagorai tétel segítségével az alap felének megállapításához: c / 2 \u003d √ (x / cosα) ^ 2- (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1-cos ^ 2α) / cos ^ 2α \u003d xtgα. Innentől keresse meg az alapot: c \u003d 2xtgα.

A négyzet egy szabályos négyszög, a felekmelyeket többféle módon számítanak ki. Mindegyiket az alábbiakban írjuk le: Az első módszer javasolja a megtalálást a feleks a négyzet átlójában. Mivel a négyzet összes sarka egyenes, ez az átló osztja azokat felére úgy, hogy két téglalap alakú háromszög alakuljon ki, amelyeknek az alapja 45 fokos szöget zár be. Ennek megfelelően, a felekés a négyzet: a \u003d b \u003d c \u003d f \u003d d * cosα \u003d d√2 / 2, ahol d a négyzet átlója Ha a négyzetet körbe írják, akkor tudva ennek a körnek a sugarat, keresse meg a feleky: a4 \u003d R√2, ahol R a kör sugara.

Van egy csomó a felekőket sokszögek a feleky kiszámolja a javasolt módszerek közül az utolsóot - beírásával sokszög  egy kört. Ehhez rajzoljon egy tetszőleges szabályos sokszöget a feleks, és körülötte egy adott R sugarú kört ír le. Képzelje el, hogy valamilyen önkényes n-gon van megadva a problémában. Ha a kör körül van írva sokszögmajd megtalálni a feleka következő képletet alkalmazza: an \u003d 2Rsinα / 2.