Det som kallas en polyhedron vars två ansikten. Design och forskningsarbete: “Fantastiska figurer: vanliga polyhedroner

Kommunal utbildningsinstitution

Grammatikskola nr 26

geometri

Huvudtyperna av polyedra och deras egenskaper

Han uppfyllda:

Studentklass 9-1

Baysakova Lyazzat

lärare:

Sysoeva Elena Alekseevna

Chelyabinsk

introduktion

Mångfacetterad yta. polyeder

pyramid

parallellepiped

Kroppsvolym

slutsats

Lista över begagnad litteratur

introduktion

Fram till nu, under geometri, har vi varit engagerade i planimetri - vi studerade egenskaperna för plangeometriska figurer, det vill säga figurer som är helt belägna i planet. Men de flesta föremålen omkring oss är inte helt platta, de ligger i rymden. Det geometriska avsnittet där egenskaperna hos figurer i rymden studeras kallas stereometri (från andra grekiska στερεός, “stereos” - “solid, spatial” och μετρέω - “measure”).

Huvudfigurerna i rymden är punkt, rakt  och planet. Tillsammans med dessa enklaste figurer i stereometri beaktas geometriska kroppar och deras ytor. När du studerar geometriska kroppar, använd bilderna på ritningen.

Figur 1 Figur 2

Figur 1 visar en pyramid, figur 2 - en kub. Dessa geometriska kroppar kallas polyhedra.Tänk på vissa typer och egenskaper hos polyeder.

  Mångfacetterad yta. polyeder

En polyhedral yta är en sammansättning av ett begränsat antal plana polygoner så att varje sida av någon av polygonerna är samtidigt sidan av en annan (men bara en) polygon, kallad intill den första polygonen.

Från vilken som helst av polygonerna som utgör den polyedrala ytan, kan du gå till valfri annan, flytta längs intilliggande polygoner.

Polygoner som utgör en polyhedral yta kallas dess ytor; polygonernas sidor kallas kanter, och topparna kallas topparna på en polyhedral yta.

Figur 1 visar sammansättningen av polygoner som uppfyller de specificerade kraven och är polyedrala ytor. Fig. 2 visar figurer som inte är polyedrala ytor.

En mångfacetterad yta delar utrymmet i två delar - det inre området av den mångfacetterade ytan och det yttre området. Av de två yttre områdena kommer det att finnas ett där det är möjligt att rita raka linjer som helt tillhör området.

5 Föreningen av en polyhedral yta och dess inre region kallas en polyhedron. Dessutom kallas den polyhedrala ytan och dess inre region ytan respektive den inre regionen av polyhedronen. Ytorna, kanterna och topparna på ytan av en polyhedron kallas ansikten, kanterna och topparna på polyhedronen.

pyramid

En polyhedron, varav en av ansiktena är en godtycklig polyhedron, och de återstående ansikten är trianglar med en gemensam toppunkt, kallad en pyramid.

Polygonen kallas pyramidens bas, och de återstående ansikten (trianglar) kallas pyramidens sidoytor.

Skilj triangulär, fyrkantig, femkantig etc. pyramider beroende på vilken typ av polygon som ligger vid basen av pyramiden.

Den triangulära pyramiden kallas också tetrahedronen. Figur 1 visar den fyrkantiga pyramiden SABCD med bas ABCD och sidoytorna SAB, SBC, SCD, SAD.

Sidorna på ansikterna på pyramiden kallas pyramidens kanter. Revbenen som tillhör pyramidens bas kallas basens ribbor och alla andra revben kallas sidoribb. Det gemensamma toppunktet för alla trianglar (sidoytor) kallas toppen av pyramiden (i fig. 1, punkt S är toppen av pyramiden, segment SA, SB, SC, SD är sidokanter, segment AB, BC, CD, AD är basens kanter).

Pyramidens höjd är segmentet av vinkelrätten som dras från toppen av pyramiden S till basens plan (ändarna på detta segment är toppen av pyramiden och basen på vinkelrätten). I fig. 1 är SO höjden på pyramiden.

Rätt pyramid. En pyramid kallas regelbunden om pyramidens bas är en regelbunden polygon, och den ortogonala utskjutningen av toppunktet på basens plan sammanfaller med mitten av polygonen som ligger vid basen av pyramiden.

Alla sidoribb i en vanlig pyramid är lika med varandra; alla sidoytor är lika likadana trianglar.

Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid som dras uppifrån kallas denna pyramids apotem. I fig. 2 är SN en apotem. Alla apotem med rätt pyramid är lika med varandra.

prisma

En polyhedron vars två ansikten är lika n-gångar som ligger i parallella plan, och resten n  ansikten - parallellogram, kallad n-gonal prisma.

polyhedron pyramidprisma parallellpiped

Ett par lika n-delar kallas prismabaserna. De återstående ansiktena på prismen kallas dess sidoytor, och deras förening kallas prisens laterala yta. Figur 1 visar ett femkantigt prisma.

Sidorna på prismans ytor kallas kanter, och ändarna på kanterna kallas prismans hörn. Revben som inte tillhör prismens bas kallas sidoribb.

Ett prisma vars sidoribb är vinkelräta mot basplanen kallas ett direkt prisma. Annars kallas prismen lutande.

Segmentet av vinkelrätt mot prismabasens plan, vars ändar tillhör dessa plan, kallas prisets höjd.

Ett direkt prisma baserat på en vanlig polygon kallas ett vanligt prisma.

parallellepiped

En parallellpiped är en hexagon, vars motsatta sidor är parvis par. parallellepiped  har 8 hörn, 12 kanter; dess ansikten är parvis lika parallellaogram.

parallellepiped  kallas rak om dess sidokanter är vinkelräta mot basens plan (i detta fall är 4 sidoytor rektanglar); rektangulär om detta parallellepiped  rektangeln är den raka linjen och basen (därför är 6 ytor rektanglar);

parallellepiped, där alla ansikten är rutor, kallad en kub.

volym parallellepiped  lika med produkten från basens area efter höjd.

Kroppsvolym

Varje polyhedron har en volym som kan mätas med den valda mätenheten för volymer. För en måttenhet för volymer tas en kub vars kant är lika med mätenheten för segmenten. En kub med en kant på 1 cm kallas kubikcentimeter. På samma sätt definieras kubikmeteroch kubik millimeter, etc.

I processen för att mäta volymer med den valda mätenheten uttrycks kroppsvolymen med ett positivt antal, som visar hur många måttenheter för volymer och dess delar som passar i denna kropp. Antalet som uttrycker kroppens volym beror på valet av måttenhet för volymer. Därför anges mätenheten för volymer efter detta nummer.

Volymens huvudegenskaper:

1. Lika stora kroppar har lika stora volymer.

2. Om kroppen består av flera kroppar, är dess volym lika med summan av volymerna för dessa kroppar.

För att hitta kroppens volymer är det i vissa fall bekvämt att använda ett teorem som heter cavalieri-principen.

Cavalieri-principen är som följer: om i skärningspunkten mellan två kroppar med något plan parallellt med ett visst plan erhålls sektioner med lika stor yta, är kroppens volymer lika med varandra.

  slutsats

Så, polyhedra studerar ett avsnitt av geometri som kallas stereometri. Polyhedra finns i olika typer (pyramid, prisma, etc.) och har olika egenskaper. Det bör också noteras att polyeder, till skillnad från plana figurer, har volym och är belägna i rymden.

De flesta föremålen omkring oss är i rymden, och studien av polyhedra hjälper oss att få en uppfattning om verkligheten som omger oss när det gäller geometri.

  Lista över begagnad litteratur

1. Geometri. Lärobok för betyg 7-9.

3. Wikipedia

5. Ordbok

Kommunal utbildningsinstitution Gymnasium nr. 26 Abstrakt geometri Huvudtyper av polyedra och deras egenskaper Utförd: Studieklass 9-1

Design och forskningsarbete:

"Fantastiska siffror: vanlig polyhedra."

Kort kommentar.

I år studerade vi i den matematiska cirkeln klassiska polyeder, som också kallas platoniska fasta ämnen. Att göra sina modeller blev vi förvånade över det ovanliga och vackra hos några av dem. Med hjälp av skanningar lärde vi oss att konstruera dessa figurer. Men för att bygga en skanning måste du ha ett komplex av matematisk kunskap, ritfärdigheter, rumsligt tänkande.

Vi bestämde oss för att lära oss mer om rätt polyhedra, lära känna historien om deras utseende, lära oss att bygga dem optimalt, enkelt och snabbt, utforska deras roll i världen runt oss och slutligen ta reda på om dessa siffror och kunskap om dem är användbara för oss i det praktiska livet

Syftet med studien:

Forskningsmål:

- studera informationskällor om detta ämne;

-

Studieobjekt: de rättapolyhedra.

Forskningsämne: h

Forskningsmetoder:

-

- övervakning;

frågeformulär;

- praktiskt arbete.

Genom att arbeta med detta ämne har vi slutfört alla mål och mål som vi sätter för oss själva:  de lärde sig att konstruera modeller av vanlig polyhedra, studerade förekomsten av historien, deras egenskaper, fann en koppling mellan formerna av vanlig polyhedra och naturliga föremål och fann tillämpning i vardagen. Vi såg till att dessa siffror är intressanta för andra. Dessutom lärde vi oss att lösa vissa matematiska problem med hjälp av en kompass och en linjal, och därmed förbättra våra ritfärdigheter och matematiska kunskaper. Detta är mycket användbart för oss, eftersom vi redan nästa år måste studera geometri.

Som ett resultat av praktiskt arbete förbättrade vi fina motoriska färdigheter för händer, vi utvecklade fantasi och fantasi, hårt arbete och uthållighet för att uppnå våra mål.

Innehållsförteckning.

Inledning. 4

Konceptet med en vanlig polyhedron 5-6

Från polyhedra 6-7

Använda formulär och applicera vanlig polyhedra 7-9

Gör vanligt polyeder 9-10

Slutsats. 11

Lista med informationskällor. 12

Bilaga 13-18

introduktion

I vår värld, mycket ovanligt och vackert. Vi är omgivna av föremål vars former överraskar oss. Sådana är till exempel vanliga polyhedroner. Dessa figurer har både skönhet och perfektion av former och attraktivitet.

Från tidig barndom träffas vi redan med vanliga polyhedroner, spelar kuber och utvecklar konstruktörer, löser pussel om Rubiks kub och dess sorter. Arkitekter, byggare och formgivare förkroppsligar sina ursprungliga idéer med hjälp av dessa figurer.

I år studerade vi i den matematiska cirkeln klassiska polyeder, som också kallas platoniska fasta ämnen.  I läroböcker om geometri för en gymnasiekurs ges mycket dålig information om polyhedra. Mycket få problem föreslås i detta ämne, varför ämnets möjligheter inte avslöjas alls. Men det är teoretiskt mycket rikt, det gör att vi kan formulera många intressanta problem. Lösningen av de föreslagna problemen gör att vi kan se att vissa konstruktionstekniker hjälper till att förenkla både konstruktionen själv och förståelsen för figurens egenskaper.

När vi studerade egenskaperna hos dessa figurer, konstruerade deras skanningar, veckade polyederen, insåg vi att det var intressant för oss.Vi bestämde oss för att lära oss mer om vanliga polyhedroner, bekanta oss med historien om deras utseende, utforska deras roll i världen runt oss och hitta deras praktiska tillämpning.

hypotesen:   vanliga polyeder är harmoniska och lönsamma former och kan användas i stor utsträckning.

Syftet med studien:   utvidga kunskapscirkeln om vanlig polyhedra, studera praktiska tillämpningar i omvärlden.

Forskningsmål:

- att studera litterära källor om ämnet;

Gör en samling av vanligt polyhedra och spåra intresse för dem.

- hitta exempel på regelbunden polyhedra i den naturliga miljön och i den inhemska miljön;

Bevisa att formerna av vanlig polyhedra är tillämpliga i vardagen.

Studieobjekt: de rättapolyhedra.

Forskningsämne: h början och tillämpningen av dessa siffror

Forskningsmetoder:

- sökning, insamling och behandling av information om ämnet

- övervakning;

- praktiskt arbete.

frågeformulär;

Konceptet med en vanlig polyhedron.

polyhedra   - det här är de enklaste figurerna i rymden, som till exempel polygoner - de enklaste figurerna på planet. Om vi \u200b\u200bbetraktar polyhedronen med tanke på geometri, är detta den del av rymden som avgränsas av platta polygoner som kallas ansikten. Sidorna och topparna på ansiktena kallas kanter och toppar på själva polyhedronen.

En vanlig polyhedron är en figur som har följande egenskaper:

Det är konvex;

Alla dess ansikten är lika vanliga polygoner;

Vid var och en av dess toppar sammanfaller samma antal ansikten;

Alla dess dihedrala vinklar är lika.

Förekomsten av endast fem vanliga polyeder är bevisade.

tetraeder   består av fyra liksidiga trianglar. Var och en av dess toppar är toppen av tre trianglar.
Kub (hexahedron) består av sex rutor. Varje topp av kuben är toppen av tre fyrkanter.
oktaeder  består av åtta liksidiga trianglar. Varje topp av oktaeder är toppet av fyra trianglar.
dodekaeder  består av tolv vanliga femtoner. Varje topp av dodecahedron är toppen av tre vanliga pentagoner.
ikosaederbestår av tjugo liksidiga trianglar. Varje topp av icosahedron är toppen av fem trianglar.

Namnen på dessa figurer är mycket lätt att komma ihåg. Översatt från grekiska betyder "edra" ett ansikte, "tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "icosa" - 20, "dodeca" - 12.

Huvudegenskaperna hos en polyhedron är antalet och typen av ytor, antalet toppar och antalet kanter. Dessa egenskaper för vanlig polyeder presenteras i tabellen (Bilaga 1)

Efter att vi noggrant har studerat innehållet i tabellen såg vi ett mönster: om antalet kanter på polyhedronen som beaktas ökas med 2, får vi ett tal som är lika med summan av antalet ansikten och toppar på denna polyhedron. Vi formulerar denna regel på följande sätt:”Summan av antalet ansikten och vertikalerna är lika med antalet kanter ökade med 2”, det vill säga Г + В \u003d Р + 2.

höger polyeder	ANTAL GRAN + TOPP	NUMMER RIBS
TETRAEDR	4 + 4 = 8	6
KUB	6 + 8 = 14	12
oktaedrar	8 + 6 = 14	12
dodekaeder	12 + 20 = 32	30
ikosaeder	20 + 12 = 32	30

Således upptäckte vi en formel som först drogs av Rene Descartes 1640 och senare återupptäcktes av Euler 1752, som hon har bär namnet sedan dess. Eulers formel är giltig för alla konvexa polyeder.

Från polyhedras historia.

Mänskligheten har känt till vanlig polyhedra under lång tid. Deras dekorativa mönster kan hittas på snidade bollar av stenar som dök upp i Skottland , långt innan Platon upptäckte dem. De olika tärningarna på den tiden liknar också vanliga polyhedroner i form.

Även då använde folk bronsanaloger av dessa fantastiska figurer.

Hedern av upptäckten och detaljerad studie av vanliga polyhedroner tillskrivs forntida grekiska forskare. I vissa källor kan du hitta information om att Pythagoras först identifierade dessa siffror. Andra källor hävdar att han bara kände tetrahedronen, kuben och dodekahedronen, medan oktaederen och icosahedronen upptäcktes av Teetet i Aten, som också beskrev alla fem vanliga polyhedraerna.

Han ägnade stor uppmärksamhet åt vanliga polyeder Plato i vars ära de kallas "platoniska fasta ämnen." Han förknippade med var och en av de fyra elementen i jorden, luft, vatten och eld en viss vanlig polyhedron. Kuben eller Hexahedron var för jorden, Octahedron för luft, Icosahedron för vatten och Tetrahedron för eld. En sådan jämförelse är mycket lätt att förklara: eldens värme känns tydligt och skarpt som små tetraedrar; luften består av oktaeder: dess minsta komponenter är lika släta som vattendroppar, som icosahedrons är mest lik; i motsats till vatten utgör stabila kuber jorden. När det gäller det femte elementet, dodekedronen, skrev Platon: "... hans gud identifierade sig för universum och tyckte till det som en modell."

Euclid gav en fullständig matematisk beskrivning av fem vanliga polyeder och visade att det inte finns några andra vanliga polyeder.

Platons idéer om kopplingen av vanlig polyhedra med ett harmoniskt arrangemang av världen har fortsatt i vår tid. På 80-talet. Moskva-ingenjörerna V. Makarov och V. Morozov uttryckte en intressant vetenskaplig hypotes: Jordens kärna har formen och egenskaperna hos en växande kristall, som har en aktiv effekt på de naturliga processerna som förekommer på planeten. Kraftfältet för strålarna i denna kristall bildar jordens ikosahedrala-dodekahedronstruktur. Det manifesterar sig i det faktum att projiceringar av vanlig polyhedra, som är inskriven i världen, dyker upp: i jordskorpan: icosahedron och dodecahedron.

Det har visat sig att många mineralavlagringar ligger precis längs icosahedral-dodecahedron-nätverket: 62 topp- och mittpunkter på kanterna på polyhedra har speciella egenskaper som gör det möjligt att förklara många fenomen på vår planet. Centrum för de mest forntida kulturer och civilisationer finns här: Peru, norra Mongoliet, Haiti, Ob-kultur och andra. Vid dessa punkter, maxima och minima av atmosfärstryck, observeras havets jättelösa turbulens. I dessa noder finns Lake Loch Ness, Bermudatriangeln.

Använda formulär och applicera vanlig polyeder.

Korrekta polyhedroner är de mest lönsamma formerna. Människan och naturen använder detta mycket. Detta bekräftas av formen på vissa kristaller. Till exempel har saltkristaller en kubform. Vi var övertygade om detta genom att undersöka saltkristaller i ett elektronmikroskop i biologikabinettet(Bilaga 2)

Och hur  Kristallvärlden, som är naturlig polyedra, är mångfaldig.Vi lever i en värld av kristaller: vi går runt kristaller, bygger från kristaller, bearbetar kristaller i fabriker, odlar kristaller i laboratorier, skapar enheter och kristallprodukter, använder kristaller i vetenskap och teknik, äter kristaller och behandlas med kristaller. På geografikontoret hittade vi kristaller av bergkristall och kvarts med en hexagonal prismatisk yta. Detta mineral har läkande egenskaper. Tidigare, för små barn, hängdes denna sten på bröstet och bandde den på ett rep så att barnet inte skulle bli förkyld och drabbades av förkylning. Vi såg också till att kristallerna av kaliumsalt har formen av en hexahedron. Detta mineral används vid tillverkning av mineralgödselmedel.

Många olika bakterier och virus är polyeder. Men de har alla en icosahedral eller dodecahedronform. Exempelvis liknar skelettet till en encell organism av feodariaen en icosahedron i form.

Av alla polyedrar med samma antal ansikten är det icosahedron som har den största volymen med den minsta ytan. Den här egenskapen hjälper den marina kroppen att övervinna vattenspelarens tryck.

De flesta feudariumer lever i djuphavet och fungerar som byte för korallfisk. Men det enklaste djuret skyddar sig med nålar som kommer ut från skelettens toppar. Så det ser mer ut som en stjärnpolyhedron.

Harmonin och enkelheten i den vanliga polyhedraen gjorde det möjligt för oss att skapa en serie leksaker, pussel och designers. Spela dessa leksaker, vi utvecklar logiskt tänkande, fantasi och fina motoriska färdigheter i våra händer förbättras.

I matematiksklassen, innan vi tog utvecklingen och limmade polyhedronen från papper, monterade vi utvecklingen och rätt polyhedron själv med hjälp av en magnetisk konstruktör.

Former av vanliga polyhedroner används också i hushållsartiklar och förpackning av varor: te- och mjölkpåsar, lådor och olika souvenirer, etc. Vi åkte på en utflykt till museet i Sarsinsky gymnasiet, där vi såg souvenirer i form av en kub och en tetrahedron med handfuller av det länge lidande Leningrad, nu St. Petersburg - en efterkrigstidig gåva från Leningrad Glass Factory, som under det stora patriotiska kriget evakuerades till Sars.

Och vilka ovanliga och djärva idéer förkroppsligas av arkitekter, byggare och designers som använder formerna av vanlig polyhedra. På Internet hittade vi en hel del bilder på hur dessa fantastiska figurer används i byggandet av byggnader, design av parker och utformningen av hushållsinredningslösningar.  (Bilaga 3)

Konstnärer från olika epoker har visat konstant intresse för studien och bilden av polyhedra. Toppen av detta intresse är naturligtvis i renässansen. Genom att studera naturens fenomen försökte konstnärer hitta metoder för deras framställning, motiverade ur ett vetenskapligt perspektiv. Läror om perspektiv, chiaroscuro och proportioner,byggd på matematik, optik, anatomi, blir grunden för ny konst. De tillät konstnären att skapa tredimensionellt utrymme på ett plan för att uppnå en känsla av volym och lättnad av föremål. För vissa mästare var polyhedra en mycket bekväm modell för att föra behärskningen av perspektivbild. Det fanns de som uppriktigt beundrade sin symmetri och lakoniska skönhet.. Han var förtjust i polyhedra och skrev ofta dem på sina dukar av den berömda Leonardo da Vinci (1452-1519). Han berikade med bilder av polyhedrons boken av sin vän munk Luke Palochi (1445 - 1514) "On Divine Proportion."

Salvador Dali i målningen "The Last Supper" skildrade Jesus Kristus med sina lärjungar på bakgrunden av en enorm genomskinlig dodekahedron.

På XIII-XVII århundraden. polyhedra var basen för arkitektoniska strukturer, kuber användes mest, men när de utvecklades användes också andra typer av polyhedrons, såsom tetrahedron och oktaedron.

Idag är mänsklighetens huvudupptäckt. Vi är ständigt omgiven av polyhedroner: många hushållsartiklar är i form av polyhedroner, alla arkitektoniska strukturer är byggda i stil med mångfacetterade modeller.

Produktion av modeller av polyeder.

Vi träffade och använde denna metod för tillverkning av modeller av polyhedra, som kallas utvecklingsmetoden.

Oftast, när man skapar modeller av polyhedra från platta reamers, använder man reamers där ytor ligger intill varandra med kanter, och modellen är konstruerad genom att böja reamers längs kanterna. Till exempel, när du skapar modeller av vanlig polyeder, används följande svep oftast(Bilaga 4)

Du kan klippa varje ansikte separat och sedan limma dem i en polyhedron. Den här metoden sparar på förbrukningsvaror.

Förutom tillverkningen av polyeder med hjälp av skanningar finns det också andra sätt att konstruera dessa figurer. Detta till exempel tillverkning av platoniska fasta ämnen genom vävning, med användning av origami. Med dessa metoder kan du skapa otroligt vackra mönster. Vid en utflykt till Sarsinsky gymnasiet såg vi verkligen vilka underbara figurer som visade sig och fick en mästarklass på att göra rätt polyhedra med origamitekniken (Prilozhenie5)

Således skapade vi en samling vanliga polyhedroner, och några av dem hittade sin egen praktiska tillämpning. Till exempel kan 12 ansikten på en dodekaeder användas som en skrivbordskalender, och alla andra polyeder kan utformas som en julleksak eller som ett fotoalbum med olika innehållsämnen.

Och här har vi det!

Dessutom organiserade vi en utställning av vårt arbete i klassrummet och genomförde en liten undersökning i 1, 5, 8 och 11 klass.

Har du träffat vanliga polyhedroner tidigare? Om ja, var?

Väckar dessa siffror ditt intresse? Om ja, vilka?

Vill du försöka göra dem själv?

Vad tror du: var kan användningen av formen av vanlig polyhedra hittas?

Av de 64 svarande hade nästan alla studenter tidigare träffat rätt polyhedroner: i form av leksaker, souvenirer, paket med föremål, ljuskronor, visuella hjälpmedel i matematikrummet.

Alla undersökningsdeltagare gillade de presenterade siffrorna, och första klassare och femte klassare gillade särskilt de som ännu inte hade upprättats, eftersom de ville drömma upp och uppfinna något eget med dessa siffror. De mest intressanta var dodecahedron (44 studenter) och icosahedron (52 studenter), eftersom de är ovanliga och vackra och skulle vilja lära sig göra dem. Vi förklarade hur man gör detta och att det inte är svårt och, viktigast, en användbar aktivitet, eftersom fina motoriska färdigheter för händer, fantasi och kreativa förmågor utvecklas. På frågan om var man kan hitta ansökan om dessa siffror fick vi ett stort antal svar: fågelmatare, kistor, souvenirer, smycken och till och med möbler.

Undersökningen visade att rätt polyhedroner är av intresse, många vill engagera sig i sådan kreativitet, och viktigast av allt - dessa siffror finner sin tillämpning i utbildningsaktiviteter och i vardagen

Slutsats.

Vi träffade vackra, perfekta och harmoniska figurer - vanliga polyhedroner, vi lärde oss namnen på forskare, konstnärer som ägnade sina verk åt detta. Återigen var vi övertygade om att matematikens källor är i naturen, i verkligheten som omger oss.

Vi lärde oss att konstruera modeller av vanlig polyhedra, studerade förekomsten av historien, deras egenskaper, hittade en koppling mellan formerna av vanliga polyhedra och naturliga föremål, och fann tillämpning i vardagen. Vi såg till att dessa siffror är intressanta för andra.

Modellerna för dessa figurer kan hitta tillämpning i lektioner fysik, matematik, kemi, biologi som illustrativt och illustrativt material, samt material för vidare studier av alla intresserade.

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21

Bilaga 1

Egenskaper hos vanlig polyeder

Polyhedron-namn	utsikt	Antal ansikten	Antal vertikaler	Antal revben
tetraeder		4	4	6
kub		6	8	12
oktaeder		8	6	12
ikosaeder		20	12	30
dodekaeder		12	20	30

Bilaga 2

Crystal forskning

Bilaga 3

Användning av former av vanlig polyeder i hushållsfält.

PPT / 13,63 Mb

Korrekta polyhedroner från forntiden väckte uppmärksamhet från filosofer, byggare, arkitekter, konstnärer, matematiker. De slogs av skönhet, perfektion, harmoni i dessa figurer.

En vanlig polyhedron är en tredimensionell konvex geometrisk figur, vars alla ansikten är samma regelbundna polygoner och alla de polyhedrala vinklarna vid topparna är lika med varandra. Det finns många vanliga polygoner, men bara fem vanliga polyeder. Namnen på dessa polyhedra kom från antika Grekland, och de anger antalet (tetra - 4, hexa - 6, okta - 8, dodeca - 12, ikosa - 20) ansikten (edra) .

Dessa vanliga polyedrar kallades platoniska fasta ämnen med namnet på den antika grekiska filosofen Platon, som gav dem mystisk betydelse, men de var kända redan före Platon. Tetrahedronen personifierade elden, eftersom dess topp är riktad uppåt, som en brinnande låga; icosahedron - som det mest strömlinjeformade - vattnet; kuben är den mest stabila av figurerna - jorden och oktaeder - luften. Dodekahedronen identifierades med hela universumet och vördades som det viktigaste.

Regelbundna polyeder finns i djurlivet. Exempelvis liknar skelettet till en encell organism av feodariaen en icosahedron i form. Pyrit (pyritesulfid, FeS2) -kristallen har formen av en dodekedron.

Tetrahedronen är en vanlig triangulär pyramid och hexahedronen är en kub - figurer som vi ständigt möter i verkliga livet. För att bättre känna formen på andra platoniska fasta ämnen bör du skapa dem själv från tjockt papper eller kartong. Att göra ett platt mönster svep är enkelt. Att skapa rätt polyeder är extremt underhållande genom processen att forma sig själv.

Avslutade och bisarra former av vanlig polyhedra används ofta inom dekorativ konst. Volumetriska former kan göras mer underhållande om platta vanliga polygoner representeras av andra former som passar in i polygonen. Till exempel: en vanlig femkant kan ersättas med en stjärna. En sådan omfattande figur kommer inte att ha kanter. Du kan samla den genom att binda ändarna på stjärnorna. Och 10 stjärnor kommer att skanna flat. En tredimensionell figur erhålls efter fixering av de återstående 2 stjärnorna.

Om ditt barn gillar att göra hantverk med sina skickliga händer, erbjuda honom sätta ihop en tredimensionell figur av en poleder av en dodekahedron från platta plaststjärnor.  Resultatet av arbetet kommer att glädja ditt barn: han kommer att göra med sina egna händer en original dekorativ design som kan dekorera ett barns rum. Men det mest anmärkningsvärda är att den öppna bollen glöder i mörkret. Plaststjärnor är tillverkade med tillägg av ett modernt ofarligt ämne - fosfor.

Polyhedra är de enklaste kropparna i rymden, precis som polygoner är de enklaste figurerna på planet. Vi ser mångsidiga former dagligen: tändsticksbox, bok, rum, byggnad med flera våningar (med ett horisontellt tak) - rektangulära parallellapipeds; mjölkpaket-tetraeder eller parallellpiped; fasetterad penna, mutter ger en uppfattning om prismer (lådan är dock också en fyrkantig prisma). Många arkitektoniska strukturer eller deras detaljer är pyramider eller trunkerade pyramider - de berömda egyptiska pyramiderna eller tornen i Kreml har sådana former. Många mångfacetterade former, till exempel "huset" i fig. 1 och "runt huset" i fig. 2, har inte specialnamn. Ur en rent geometrisk synvinkel är en polyhedron en del av utrymmet avgränsat av plana polygoner - ansikten. Sidorna och topparna på ansiktena kallas kanter och toppar på själva polyhedronen. Facetter bildar den så kallade mångfacetterade ytan. För att utesluta från övervägande mångfacetterade figurer av den typ som visas i fig. 3, som inte vanligtvis kallas polyhedra, är följande begränsningar vanligtvis införda på en polyhedral yta:

1) varje kant bör vara en gemensam sida av två, och endast två, ytor, kallade intilliggande;

2) varannan ansikte kan anslutas med en kedja av varandra angränsande ytor;

3) för varje toppunkt måste vinklarna på ytorna intill detta toppunkt begränsa viss polyhedral vinkel.

En polyhedron kallas konvex om den ligger på ena sidan av planet för någon av dess ansikten. Detta tillstånd är ekvivalent med var och en av de andra två: 1) segmentet med ändarna vid valfri två punkter av polyhedronen ligger helt i polyhedronen, 2) polyhedronen kan representeras som skärningspunkten mellan flera halvutrymmen.

För alla konvexa polyeder är Euler-formeln giltig (se. Topologi), som upprättar en koppling mellan antalet vertikaler B, kanter P och ytor G:

För icke-konvex polyedra är detta förhållande generellt inte sant, till exempel för den polyhedrala ytan som visas i fig. 2; ,, därför. Siffran kallas Euler-karakteristiken för polyhedronen och kan vara lika . Euler-karakteristiken visar grovt sett hur många "hål" en polyhedron har. Antalet hål (eller).

Den enklaste klassificeringen med antalet vertikaler (vinklar, sidor) för polyhedrons är ineffektiv. De enklaste polyederen - tetraedrar eller tetraedrar - är alltid begränsade av fyra triangulära ytor. Men pentahedrons kan redan vara av helt olika typer, till exempel: en fyrkantig pyramid är begränsad av fyra trianglar och en fyrkant (fig. 4, a), och ett triangulärt prisma är begränsat av två trianglar och tre fyrkantar (fig. 4, b). Exempel på fem toppar är en fyrkantig pyramid och en triangulär dihedron (fig. 4, c).

De vanligaste polyedrarna i världen omkring oss har naturligtvis specialnamn. Så, den -gonala pyramiden har en -gon vid basen och laterala triangulära ytor som konvergerar vid den gemensamma toppen av trianglarna (fig. 4, a, där); -gonal prisma begränsas av två lika, parallella och lika åtskilda vingar - baser - och parallellogram - sidoytor som förbinder respektive sidor av baserna (Fig. 4, b, där).

Mellanläget mellan pyramiderna och prismorna upptas av trunkerade pyramider erhållna från pyramiderna genom avskärning av mindre pyramider med plan parallella med baserna (Fig. 5). Bland de naturliga formerna av kristaller finns dihedroner eller bipyramider, som består av två pyramider med en gemensam bas (fig. 4, c). Archimedes betraktade också a-vinklade antiprismer avgränsade av två parallella vinklar men vände sig relativt varandra och kopplade dem, såsom visas i fig. 6, trianglar (med ett stort antiprism liknar en pionjärtrumma - Fig. 6).

Liksom polygoner klassificeras också polyedrar enligt deras symmetri. Bland pyramiderna skiljer sig de regelbundna: vid basen har de en vanlig polygon, och höjden - vinkelrätt som dras uppifrån till basplanet - faller i centrum av pyramidens bas.

En analog av ett parallellogram är en parallellpiped; precis som ett parallellogram har parallellpiped ett centrum av symmetri vid vilket alla fyra diagonaler korsar varandra och delar sig i halva (segment som förbinder hörn som inte tillhör samma ansikte). Regelbundna prismor i baserna har vanliga polygoner anordnade så att linjen som passerar genom deras centrum är vinkelrätt mot basernas plan. Baserna för ett regelbundet vinkelantiprism bör också vara belägna, men endast en bas ska roteras med en vinkel relativt den andra. Alla vanliga polyedrar har en hel del självjusteringar - rotationer och symmetrier som översätter polyhedronen till sig själv. Uppsättningen av alla självjusteringar, inklusive identiteten, utgör den så kallade symmetrigruppen för polyhedronen. Enligt symmetrigrupperna i kristallografi klassificeras enstaka kristaller, som regel har en mångfacetterad form.

Symmetrin och korrektheten för de polyhedroner som beaktats ovan är inte helt fullständiga - de kan ha ojämna ytor, olika polyhedrala vinklar. Ett undantag är tre polyhedra: en vanlig tetrahedron - en vanlig triangulär pyramid med lika kanter, avgränsad av fyra regelbundna trianglar (Fig. 7, a); en kub, eller vanlig hexahedron, är ett vanligt fyrkantigt prisma med lika kanter, avgränsade av sex kvadrater (fig. 7, b); slutligen är oktaedronen en vanlig fyrkantig dihedron med lika kanter, avgränsad av åtta regelbundna trianglar (fig. 7, c); oktaeder kan också definieras som ett regelbundet triangulärt antiprisism med lika kanter. Till skillnad från godtyckliga regelbundna pyramider, prismor, dihedroner och antiprismer - tetrahedronen, kuben, oktaedronen är sådana att alla två av deras ansikten (och eventuella två polyhedrala vinklar) kan kombineras med viss självjustering av hela polyhedronen. Dessutom är deras polyedrala vinklar regelbundna, d.v.s. har lika plana och lika dihedrala vinklar.

På samma sätt som vanliga polygoner på ett plan kan vanliga polyedrar "i allmänhet" definieras: dessa är konvexa polyedrar avgränsade av lika regelbundna polygoner och som har lika regelbundna polyedrala vinklar. Det visar sig att utöver de tre typerna av vanlig polyhedra som nämns ovan - den vanliga tetrahedronen, kuben och oktaederen - finns det bara två fler typer av vanlig polyhedra: dodekedern (tolvsidig) och icosahedronen (tjugosidig), begränsad av 12 regelbundna pentagoner och 20 regelbundna trianglar, - fig. 8, a, b. Dessa två polyedrar är sammankopplade på samma sätt som en kub och en tetrahedron (se kuben): centrum för ansikten på dodekededronen är topparna på icosahedron - Fig. 9, - och vice versa.

Själva faktum att det bara finns fem riktigt vanliga polyeder är fantastiskt - det finns oändligt många regelbundna polygoner på planet.

Alla de korrekta polyhedronerna var kända i antika Grekland, och den sista XIII-boken av den berömda "början" av Euclid ägnades åt dem. Dessa polyedrar kallas ofta också platoniska fasta ämnen - i den idealistiska bilden av världen som ges av den stora antika grekiska tänkaren Platon, fyra av dem representerade de fyra elementen: tetrahedron - eld, kubjorden, icosahedron - vattnet och oktaeder - luften; den femte polyhedronen, dodekahedronen, symboliserade hela universumet - på latin började de kalla det quinta essentia ("femte essensen"). Uppenbarligen var det inte svårt att komma med rätt tetrahedron, kub, oktaedron, särskilt eftersom dessa former har naturliga kristaller, till exempel: kub är en enda kristall av natriumklorid (NaCl), en oktaeder är en enda kristall av alun-kaliumalum . Det finns ett antagande om att de forntida grekerna fick dodekahedronformen genom att betrakta kristaller av pyrit (pyritesulfid FeS). Med dodekedrern är det inte svårt att bygga en icosahedron: som redan nämnts kommer dess toppar att vara centrum för dodekahedrons tolv ytor - Fig. 9.