Vad är kanten på en polygon. Konvex polyeder. Eulers sats

I den här lektionen kommer vi att prata om en geometrisk kropp som kallas polyeder. Vi kommer också att ta reda på vilka element polyeder har.

Som vi redan vet är geometri uppdelad i två sektioner - planimetri och solid geometri. Planimetri studerar platta geometriska former och deras egenskaper, dvs. siffror som är helt placerade i ett visst plan. Stereometri studerar figurernas egenskaper i rymden. Rymliga geometriska figurer, till skillnad från platta figurer, har kapacitet, d.v.s. de har volym. Sådana siffror kallas också omfattande.

Alla volymfigurer kan delas in i två stora grupper - runda kroppar (detta är en cylinder, kon, sfär och kula), de kallas kroppar av revolution och kroppar som innehåller hörn, hörn, ytor och kanter (detta är prismer och pyramider), sådana kroppar kallas polyeder. Föremålen runt oss ger oss idéer om geometriska kroppar.

Polyhedra är de enklaste kropparna i rymden, precis som polygoner är de enklaste figurerna i ett plan. Vi möter mångfacetterade former varje dag i livet - det här är kuber som barn leker med, en mångfacetterad penna, böcker, byggnader i flera våningar, naturliga kristaller, forntida egyptiska pyramider etc.

Tidigare i planimetri, när vi studerade polygoner, sa vi att en polygon är en sluten polylinje utan självkorsningar. Eller med andra ord, en polygon är en del av ett plan som består av en enkel sluten polylinje och en inre region avgränsad av den.

När vi studerar polyeder, kommer vi att använda den andra tolkningen av polygonen.

Så ordet "polyeder" indikerar att denna kropp har många ansikten. En polyeder är en geometrisk kropp avgränsad av ett ändligt antal plana polygoner, alla två intilliggande ligger inte i samma plan.

Du är mycket bekant med en av de enklaste polyederna - en rektangulär parallellpiped. Idén om en rektangulär parallelepiped ges till exempel av en tändsticksask, kylskåp, skåp och andra kroppar.

Skolkontoret har också formen av en rektangulär parallellpiped. Ytan på en rektangulär parallellpiped består av 6 rektanglar. Ett speciellt fall av en rektangulär parallellpiped är en kub. Låt mig påminna dig om att en kubs yta består av sex lika stora kvadrater.

Vi kan säga så polyederÄr en yta som består av polygoner och avgränsar någon geometrisk kropp. Denna kropp kallas också en polyeder.

Figuren visar två polyedrar.

Den första av dem kallas en tetraeder, den andra är en oktaeder. De består av 4 respektive 8 trianglar. Vilket återspeglas i deras namn: översatt från grekiska τετρα - "tetra" - fyra och οκτώ - "octo" - åtta.

Låt oss ta hänsyn till vad ytan på en polyeder består av. Låt oss till exempel överväga en rektangulär parallellpipad ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Som nämnts tidigare består ytan av en rektangulär parallellpiped av 6 rektanglar. De där. dess yta består av 6 polygoner. Låt oss kalla dem :, ,,,,. Polygonerna som utgör polyeder kallar det ansikten. Observera att inga två intilliggande ytor på polyhedronen ligger i samma plan.

Sidorna på ansiktena ,,,,,,,,,,,,

kallas kanter på en polyeder.

Kantändar ,,,,,,, - blast polyeder.

Ett segment som förbinder två hörn som inte tillhör samma ansikte kallas diagonalpolyhedron, till exempel A1C - kallas polyhedronens diagonal. I detta fall är diagonalen för en rektangulär parallellpiped.

Polyhedra, liksom polygoner, är konvexa och icke-konvexa.

Titta, om du tecknar ett plan, till exempel, genom ansiktet DD 1 C 1 C, kommer hela polyhedronen att ligga på ena sidan av detta plan. På samma sätt, om vi drar planen genom resten av dess ansikten, kommer polyhedronen alltid att finnas på ena sidan av dessa plan. En sådan polyeder kallas konvex.

Definition. Polyhedron kallas konvex, om den ligger på ena sidan av planet för vart och ett av dess ansikten.

Om detta villkor inte är uppfyllt, dvs. polyhedronen ligger på motsatta sidor av åtminstone ett plan som passerar genom ansiktet, då kallas polyhedronen icke-konvex.

Figuren visar ett exempel på en icke-konvex polyeder. Om du till exempel drar ett plan genom det angivna ansiktet kan du se att en del av polyhedronen är belägen på ena sidan och dess andra del är på den andra sidan av detta plan.

Uppgiften.Hur många ansikten, kanter och hörn har var och en av de avbildade polyederna?

Så, som vi sa, består ytan av en rektangulär parallellpiped av sex rektanglar. De där. den består av 6 ansikten. Låt oss nu räkna hur många revben det har. Låt mig påminna dig om att sidorna på ansikten kallas kanter. Låt oss ringa dem. Dessa är AB, BC, CD, AD, A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, AA 1, DD 1, BB 1 och CC 1. Totalt sett fick vi att en rektangulär parallellpiped har 12 kanter. Ändarna på dessa kanter kallas vertices. Låt oss lista dem. Dessa är A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. De där. en rektangulär parallellpiped har 8 hörn.

Nästa geometriska kropp är en tetraeder. Ytan består av fyra trianglar. De där. har fyra ansikten. Dess kanter kommer att vara sidorna AB, BC, AC, AD, BD och CD. De där. tetraedern har 6 kanter. Hörnpunkterna i tetraeder A, B, C och D. Det finns 4.

Och betrakta nu oktaedronen. Ytan består av åtta trianglar. De där. oktaedronen har 8 ansikten. Den har också 12 kanter och 6 hörn.

Låt oss sammanfatta lektionen. I den här lektionen lärde vi oss vilken geometrisk kropp som kallas polyeder. Vi undersökte vilka element polyhedra har. Dessa är nämligen ansikten, kanter och hörn. Vi lärde oss att en rektangulär parallellpiped har 6 ytor, 12 kanter och 8 hörn. Vi blev bekanta med intressanta polyedrar som heter tetraeder och oktaeder. Vi lärde oss att en tetraeder har 4 ytor, 6 kanter och 4 hörn, och en oktaedron har 8 ytor, 12 kanter och 6 hörn.

Sida 1

Ansikten på polyhedronen har gemensamma sidor (kanter) kallas intilliggande. Två intilliggande ansikten bildas dihedral vinkel... Diagonalen för en polyeder är ett raklinjesegment som förbinder två hörn av en polyeder som inte ligger på samma yta.

Polyhedronens ytor är de tunnaste filmerna (0 1 - 0 6 μm), vid vilka skärningspunkterna bildas - stavar. I fenolskum, oavsett antalet ytor i cellen, är stavarna (sidorna på ansiktena) raka. Ingen märkbar krökning av stavarna hittades. Längden på stavarna är 15 - 130 μm och tjockleken är 18 - 33 μm.

Polyederns ytor, som är kristallografiskt orienterade på olika sätt, kännetecknas av olika atomära densiteter och i allmänhet av olika gränsspänningar. Låt oss nu överväga jämvikten hos en kristall med en annan fas.

Ytan på polytopen S betraktas som det gemensamma ansiktet för båda många.

Ytorna på polyeder HI kan vara av två slag.

Ytan på en polyeder är de delar av planen (polygoner) som binder polyhedronen. Hörnpunkterna i en polyeder är hörnarna i de polyhedrala vinklarna som bildas av dess ytor som konvergerar vid en punkt. Diagonalen för en polyeder är ett linjesegment som förbinder två hörn av en polyeder som inte ligger på samma yta. Diagonalplanet för en polyeder är ett plan som passerar genom tre hörn av en polyeder som inte ligger i ett ansikte. Avsnittet av en polyeder av ett plan är den del av detta plan som avgränsas av skärningslinjen mellan ytan av polyhedronen och detta plan. En polyeder kallas konvex om den ligger helt på ena sidan av planet för någon av dess ansikten. Endast konvexa polygoner kan vara ansikten på en konvex polytop.

Ansikten på en polyeder kallas frekvent. För korthet sägs att ansikten på en polyeder är polygoner som binder polyhedronen.

De tvådimensionella ytorna på polytopen / X W är polygoner av formen a X M, b X M, I X K, där M är en godtycklig tvådimensionell yta av polytopen W och K är en godtycklig kant av den.

Teorin om polyeder, i synnerhet konvex polyhedra,
Är ett av de mest spännande kapitlen i geometri.
L. A. Lyusternik

Vår värld är full av symmetri. Våra skönhetsidéer har associerats med den sedan urminnes tider. Detta förklarar förmodligen en persons varaktiga intresse för vanlig polyeder - fantastiska symmetri symboler som har uppmärksammats av många framstående tänkare, från Platon och Euclid till Euler och Cauchy.

Formen på jordens primära element är en kub, luften är en oktaeder, elden är en tetraeder, vattnet är en ikosaeder och skaparen gav hela världen formen av en femkantig dodekaeder. Pythagoreerna lärde att jorden har formen av en boll. Enligt Pythagoras finns det 5 kroppsliga figurer: den högsta gudan själv byggde universum på grundval av dodekaederns geometriska form. Jorden är som universum och Platons jord är också en dodekaeder.

Grekisk matematik, där teorin om polyeder först uppträdde, utvecklades under stort inflytande av den berömda tänkaren Platon.
Platon (427-347 f.Kr.) - den stora antika grekiska filosofen, grundare av akademin och förfader till den platonistiska traditionen. Ett av de viktigaste inslagen i hans undervisning är att beakta idealföremål - abstraktioner. Matematik, som har antagit Platons idéer, har studerat abstrakta, ideala objekt sedan Euklids tid. Men både Platon själv och många forntida matematiker lägger i termen ideal inte bara en abstrakt betydelse utan också den bästa betydelsen. I enlighet med traditionen från de forntida matematikerna, bland alla polyeder, är de bästa de som har sina aspekter vanliga polygoner.

Polyeder - geometrisk kropp begränsad från alla sidor platta polygonerkallade ansikten. Sidorna på ansikten kallas polyederens kanter, och ändarna på kanterna kallas polyhedronens hörn. Enligt antalet ansikten skiljer sig tetraeder, pentahedra, etc. En polyeder kallas konvex om allt är beläget på ena sidan av planet för vart och ett av dess ansikten. En konvex polyhedron kallas regelbunden om alla dess ansikten är vanliga identiska polygoner och alla polyedervinklar vid topparna är lika. Det finns 5 typer vanlig polyeder: tetraeder, kub, oktaeder, dodekaeder, ikosaeder.

Beviset på att det finns exakt fem vanliga konvexa polytoper är väldigt enkelt. Tänk på en utveckling av toppen av en sådan polytop. Varje toppunkt kan tillhöra tre eller flera ansikten.

Tänk först på fallet när polyederns ytor är liksidiga trianglar. Eftersom den inre vinkeln på en liksidig triangel är 60 °, ger tre av dessa vinklar en svepning på 180 °. Om du nu limmar svepningen i en polyedervinkel får du en tetraeder - en polyeder, vid varje topp som det finns tre vanliga triangulära ansikten. Om du lägger till en annan triangel i toppens svep är summan 240 °. Detta är den veckade toppen av oktaedronen. Att lägga till den femte triangeln ger en vinkel på 300 ° - vi får en veckad ovansida av icosahedronen. Om vi \u200b\u200blägger till ytterligare en, den sjätte triangeln, blir summan av vinklarna lika med 360 ° - denna utveckling kan uppenbarligen inte motsvara någon konvex polyeder.

Låt oss nu gå vidare till de fyrkantiga ansiktena. Ett platt mönster med tre kvadratiska ytor har en vinkel på 3x90 ° \u003d 270 ° - du får toppen av en kub, som också kallas en hexaheder. Att lägga till ytterligare en kvadrat ökar vinkeln till 360 ° - ingen konvex polyeder motsvarar denna utveckling.

Tre femkantiga ansikten ger en svepvinkel på 3 * 72 ° \u003d 216 - toppen av dodecahedronen. Om vi \u200b\u200blägger till ytterligare en femkant får vi mer än 360 °.

För hexagoner ger tre ytor redan en svepvinkel på 3 * 120 ° \u003d 360 °, så det finns ingen vanlig konvex polyeder med sexkantiga ytor. Om ansiktet har ännu fler vinklar, kommer det plana mönstret att ha en ännu större vinkel. Därför finns det inga vanliga konvexa polytoper med ansikten som har sex eller fler vinklar.

Således finns det bara fem konvexa vanliga polyedrar - en tetraeder, oktaeder och ikosaeder med triangulära ytor, en kub (hexaheder) med fyrkantiga ytor och en dodekaeder med femkantiga ansikten.

Platoniska fasta ämnen - en tredimensionell analog av platta vanliga polygoner. Det finns dock en viktig skillnad mellan de två- och tredimensionella fallen: det finns oändligt många olika vanliga polygoner, men bara fem olika vanliga polyeder. Beviset på detta faktum har varit känt i över två tusen år; med detta bevis och studier av fem vanliga organ slutförs principerna för Euklid.

Euclid hade ingen avsikt att publicera en systematisk lärobok om geometri.
Han bestämde sig för att skriva en uppsats om vanlig polyeder, beräknad
på nybörjare, på grund av detta var han tvungen att presentera all nödvändig information.
d "Arcee Thompson

Det finns en familj av kroppar som är relaterade till platoniska - dessa är halvregelbundna konvexa polyeder eller Arkimediska kroppar ... De har alla polyedervinklar lika, alla ansikten är vanliga polygoner, men av flera olika typer. De kallar 13 eller 14 arkimediska kroppar (numret är felaktigt, eftersom pseudorhombokuboktaedern ibland inte ingår i denna familj).

Dessutom har flera kroppstyper från två oändliga familjer - prismor och antiprismer - lika polyhedervinklar och vanliga ansikten.

Kepler Johann (Kepler I, 1571-1630) - tysk astronom. Upptäckte lagarna i planetens rörelse. År 1596 föreslog Kepler en regel enligt vilken en dodekaeder beskrivs runt jordens sfär och en ikosaeder skrivs in i den. ("Världens harmoni", 1619) I. Kepler föreslog att avstånden mellan planeternas banor kan erhållas på grundval av platoniska fasta ämnen inbäddade i varandra. Resultaten av hans beräkningar överensstämde med de faktiska avstånden mellan planetbanorna.

Keplers kosmologiska hypotes är ganska original, där han försökte koppla ihop några egenskaper hos solsystemet med egenskaperna hos vanlig polyeder. Kepler föreslog att avstånden mellan de sex då kända planeterna uttrycks i storlekarna på fem vanliga konvexa polyhedroner (platoniska fasta ämnen). Mellan varje par himmelsfärer längs, enligt denna hypotes, planeterna kretsar, inskrivit Kepler en av de platoniska fasta ämnena. En oktaeder beskrivs runt kvicksilversfären, planeten närmast solen. Denna oktaedron är inskriven i Venus-sfären, runt vilken icosahedronen beskrivs. Jordens sfär beskrivs runt icosahedronen, och runt denna sfär är dodecahedronen.

Dodecahedronen är inskriven i Mars-sfären, runt vilken tetraeder beskrivs. Jupitersfären beskrivs runt tetraedern, inskriven i en kub. Slutligen beskrivs Saturnusfären runt kuben.

Denna modell såg ganska trovärdig ut för sin tid. Först var avstånden som beräknades med den här modellen ganska nära de sanna (med tanke på den mätnoggrannhet som var tillgänglig då). För det andra gav Keplers modell en förklaring till varför det bara finns sex (det var så mycket som var känt då) planeter - exakt sex planeter var i harmoni med de fem platoniska fasta ämnena.

Men även vid den tiden hade denna attraktiva modell en betydande nackdel: Kepler själv visade att planeterna kretsar kring solen inte i cirklar (sfärer) utan i ellipser (Keplers första lag). Det behöver inte sägas att senare, med upptäckten av ytterligare tre planeter och mer exakta mätningar av avstånd, förkastades denna hypotes helt.

Keplers andra enastående bidrag till geometri av polyedrar är hans upptäckt av två stellar vanliga kroppar ... (Det finns fyra av dem; de andra två hittades av den franska matematikern Louis Punchon 1809)

Matematik äger inte bara sanningen utan också den högsta skönheten - skönhet
finslipat och strikt, sublimt rent och strävar efter det autentiska
perfektion som endast är karakteristisk för de största exemplen på konst.
Bertrand Russell

Nästa seriösa steg i vetenskapen om mångfald gjordes på 1700-talet av Leonard Euler (1707-1783), som utan överdrift "trodde harmoni med algebra". Eulers sats om förhållandet mellan antalet hörn, kanter och ytor hos en konvex polyeder, vars bevis Euler publicerade 1758 i "Anteckningar från Petersburgs vetenskapsakademi", gav äntligen den matematiska ordningen i den mångsidiga världen av polyeder.

Hörn + ansikten - Kanter \u003d 2.

Polyeder	Blast	Facetter	Revben	Symmetrixlar	Symmetriplan
Tetraeder	4	4	6	3	6
Kub	8	6	12	9	9
Oktaeder	6	8	12	9	7
Dodekaeder	20	12	30	15	15
Icosahedron	12	20	30	15	15

Om du observerar och överväger mångfacetterade former kan du inte bara känna deras skönhet utan också upptäcka några mönster som kan ha praktiskt värde.

Några av vanliga och halvregelbundna kroppar förekommer i naturen i formen kristaller , andra - i form virus , de enklaste mikroorganismerna.

Kristaller - kroppar med mångfacetterad form. Här är ett exempel på sådana kroppar: en pyritkristall (pyrit FeS) - en naturlig modell av en dodekaeder. Pyrit (från den grekiska "festen" - eld) - järnsulfid eller pyrit, det vanligaste mineralet från gruppen sulfider. Pyritkristaller är ofta flera centimeter stora och är bra samlingsmaterial. Det skiljer sig från andra liknande mineraler i hårdhet: det repar glas.

Det noteras att vår moder Jorden genomgående följer utvecklingen av vanliga volymfigurer. Det finns många bevis som jämför jordens strukturer och processer med ovanstående figurer. Man tror att fyra kraftramar av vanliga platoniska kroppar motsvarar de fyra geologiska epokerna på jorden: Protozoikum - tetraeder (fyra plattor) Paleozoikum - hexahedron (sex plattor) Mesozoikum - oktaeder (åtta plattor) Cenozoikum - dodekaeder (tolv plattor).

Det finns en hypotes enligt vilken jordens kärna har formen och egenskaperna hos en växande kristall som påverkar utvecklingen av alla naturliga processer som äger rum på planeten. Kristallens "strålar", eller snarare dess kraftfält, bestämmer icosahedral-dodecahedral struktur Jorden, som manifesterar sig i det faktum att i jordskorpan, som det var, utsprång av vanliga polyedroner inskrivna i världen: icosahedronen och dodecahedronen visas. Deras hörn och mittpunkter i kanter, som kallas noder, verkar ha ett antal specifika egenskaper som gör det möjligt att förklara många obegripliga fenomen.

Om du placerar centrum för de största och mest anmärkningsvärda kulturerna och civilisationerna i den antika världen kommer du att märka ett mönster i deras läge i förhållande till de geografiska polerna och planetens ekvatorn. Många mineralavlagringar sträcker sig längs icosahedral-dodecahedron mesh... Ännu mer fantastiska saker händer vid skärningspunkten mellan dessa revben: här är centrum för antika kulturer och civilisationer: Peru, norra Mongoliet, Haiti, Ob-kulturen och andra. Vid dessa punkter finns det höga och låga atmosfärstryck, gigantiska virvlar av världshavet, här är den skotska Loch Ness, Bermudatriangeln. Ytterligare studier av jorden kommer kanske att avgöra attityden till denna vackra vetenskapliga hypotes, där, som du kan se, vanliga polyeder tar en viktig plats.

Sovjetiska ingenjörer V. Makarov och V. Morozov tillbringade årtionden på att undersöka denna fråga. De kom till slutsatsen att utvecklingen av jorden fortsatte i steg, och för närvarande har de processer som sker på jordytan lett till uppkomst av avsättningar med icosahedron-dodecahedron mönster. Tillbaka 1929, S.N. Kislitsin jämförde i sina verk dodekahedron-icosahedronens struktur med olja och diamantavlagringar.

V. Makarov och V. Morozov hävdar att för närvarande har jordens livsprocesser strukturen som en dodekaeder icosahedron... Tjugo regioner på planeten (topparna på dodecahedronen) är centrum för bälten för flyktande materia, som bildar biologiskt liv (flora, fauna, människa). Centrerna för alla magnetiska avvikelser och planetens magnetfält ligger vid noder i triangelns system. Enligt författarnas forskning har dessutom alla närmaste himlakroppar i denna epok sina processer enligt dodecahedron-icosahedral-systemetsom ses på Mars, Venus, solen. Liknande energiramar är inneboende i alla delar av kosmos (galaxer, stjärnor, etc.).

Ur synvinkeln av studien av symmetri, med hänsyn till idén om den dodecahedron-icosahedral kraftramen av jorden som en planet, bör det erkännas att i denna mening jorden är en levande varelse. Med själen som P.A. Florensky kallade det "pneumatosfär", med fri vilja och förnuft.

Den dodekedriska strukturen, enligt D. Winter (amerikansk matematiker), är inte bara inneboende i jordens energiram utan också i strukturen för levande materia. Under äggcelldelningen bildas först en tetraeder av fyra celler, sedan en oktaedron, en kub och slutligen en dodekaeder-ikosahedrisk struktur av gastrula. Och slutligen, och kanske viktigast av allt, är strukturen för DNA i den genetiska koden för livet en fyrdimensionell svepning (längs tidsaxeln) av en roterande dodekaeder! Således visar det sig att hela universum - från metagalaxen till en levande cell - är byggt enligt samma princip - dodekaeder och ikosaeder, som oändligt skriver in i varandra och är i proportionen till den gyllene sektionen!

Polyhedra är emellertid inte bara ett objekt för vetenskaplig forskning. Deras former är kompletta och bisarra, används ofta i dekorativa konst .

Gravsten vid Salisbury Cathedral		Titelsida till J. Cousins \u200b\u200bbok "The Book of Perspective"

Det tydligaste exemplet på den konstnärliga skildringen av polyedrar under 1900-talet är naturligtvis de grafiska fantasierna från Maurits Cornilis Escher (1898-1972), en holländsk konstnär född i Leeuwarden.

Maurits Escher upptäckte i sina ritningar så att säga och illustrerade intuitivt lagarna i kombinationen av symmetrielement, d.v.s. de lagar som härskar över kristaller, som bestämmer deras yttre form, deras atomstruktur och deras fysiska egenskaper.

En matematiker, som en konstnär eller poet, skapar mönster, och om
hans mönster är mer stabila, det är bara för att de består av idéer.

Polyhedra är slutna rumsliga figurer avgränsade av platta polygoner. Hörn och sidor av polyedrar är hörn och kanter av polyeder. De bildar ett rumsligt rutnät. Om topparna och kanterna på en polyeder ligger på samma sida av planet för någon av dess ytor, kallas polyhedronen konvex, alla dess ytor är konvexa.

Av alla mångfalden av polyedrar är prismer, pyramider, vanliga polyeder och deras sorter av det största praktiska intresset.

En polyeder, av vilka två ytor är n-goner i parallella plan, och de andra n-ytorna är parallellogram, kallas ett n-gonal prisma. Polyhedroner är prismans baser och parallellogrammen är prismaens sidoytor.

En polyeder i vilken en av ansikten är en godtycklig polygon, och de andra ytorna är trianglar med en gemensam topp, kallas en pyramid. Polygonytan kallas prismen och trianglarna kallas pyramidens sidoytor. Den gemensamma toppen av trianglarna kallas pyramidens speciella topp (vanligtvis bara toppen).

Om vi \u200b\u200bskär av pyramiden med ett plan parallellt med basen får vi en trunkerad pyramid.

En polyeder kallas metrisk regelbunden om alla dess ansikten är vanliga polygoner. Dessa inkluderar kub, tetraeder, oktaeder, ikosaeder, dodekaeder.

Med bilden av polyhedroner på ritningen menar vi bilden av den polyhedrala ytan som avgränsar den, d.v.s. bilden av uppsättningen av dess beståndsdel polyhedra. Det är bekvämt att definiera en grafiskt enkel polyhedral yta genom utsprång av dess nät.

Byggprojektioner:

Konstruktion av projektioner av polyeder

Konstruktionen av en projektion av en polyeder på ett visst plan reduceras till konstruktionen av utsprång av punkter. Genom att till exempel projicera SABC-pyramiden på kvadrat i 2 (Bild 256, vänster) bygger vi utsprången av topparna S, A, B och C och som en konsekvens, utsprången för basen ABC, vetter mot SAB, SBC, SAC, kanterna SA, SB och dr.

Genom att projicera den triangulära vinkeln ") med toppunkten S (bild 256, till höger) tar vi, förutom toppunkten S, en punkt (K, M, N) på vinkelkanterna och projicerar dem

på pl. i 2; som ett resultat får vi utsprången för kanterna och ansiktena (plana hörn) av trihedralvinkeln och i allmänhet själva vinkeln.

I fig. 257 visar en polyhedral kropp ACBB 1 D ... (det vill säga en del av utrymmet som avgränsas på alla sidor av platta figurer - polygoner) och dess utskjutande på kvadrat. i 1 - figur A "C" F, "es": ["mC2ZDD8wEuE", "13prEHw_0_Y", "pwKDeUWu7H8", "13prEHw_0_Y", "mC2ZDD8wEuE"], "pt": ["M7lkbPy" ["eDsFmYur9Yo"], "pl": ["o_2WTvWSqmQ", "dMrJGE_5yj4"], "ro": ["3S5DlwIxzWE"], "la": ["FkMS2VRQZ7I"], "lqnETw]," lqnETw "el": ["fmo_XOA0p5Y"])