Polygonen som polyhedronens yta kallas för. En polyhedron som består av en platt polygon

Lektionsmaterial.

När vi började studera stereometri sade vi att alla geometriska kroppar är indelade i två stora klasser av revolutionskroppar och polyeder, vi är redan bekanta med några polyeder. Kom ihåg vilka siffror vi kallade tetrahedronen och parallelepiped. Vi har redan mött egenskaperna hos dessa siffror.

Vår dagens lektion öppnar ett avsnitt där vi kommer att lära känna andra polyhedroner, men låt oss först komma ihåg de grundläggande begreppen som är associerade med polyhedrons.

polyeder   representerar en geometrisk kropp avgränsad av ett begränsat antal plana polygoner, varvid två närliggande inte ligger i samma plan.

polyeder   Är en yta som består av polygoner och avgränsar någon geometrisk kropp.

Denna kropp kallas också polyeder.

Låt oss uppmärksamma vad ytan på en polyhedron består av. Låt oss till exempel överväga den rektangulära parallellpiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Som nämnts tidigare består ytan på en rektangulär låda av sex rektanglar. dvs ytan består av sex polygoner. Låt oss kalla dem: ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1, AA 1 B 1 B, DD 1 C 1 C, AA 1 D 1 D och BB 1 C 1 C. De polygoner som utgör polyhedronen kallas det ansikten.   Observera att inga två angränsande ytor på polyhedronen ligger i samma plan.

Sidor på ansikten: AB, BC, CD, AD, A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, AA 1, DD 1, BB 1 och CC 1 kallas kanterna på en polyhedron. Och ribbornas ändar: A, B, C, D, A 1, B1, C1, D1 - polyhedronhörn.

Ett segment som förbinder två hörn som inte tillhör samma ansikte, till exempel A 1 C - kallas diagonal polyeder. I detta fall diagonalen i en rektangulär låda.

Det plan på vardera sidan som det finns punkter på en polyhedron kallas skärplanoch den gemensamma delen av polyhedronen och det säkra planet är tvärsnitt av en polyhedron.

Polyhedra, såväl som polygoner, är konvexa och icke-konvexa.

Så om du tecknar ett plan, till exempel genom ansiktet DD 1 C 1 C, kommer hela polyhedronen att ligga på en sida av detta plan. På samma sätt, om vi drar plan genom dess andra ytor, kommer polyhedronen alltid att vara belägen på ena sidan av dessa plan. En sådan polyhedron kallas konvex.

Definition. Polyhedronen kallas konvexom det ligger på ena sidan av planet för var och en av dess ansikten.

Om detta villkor inte uppfylls, dvs. polyhedronen ligger på olika sidor av minst ett plan som passerar genom ansiktet, då kallas polyhedronen icke konvex.

Det är lätt att se att alla ytor på en konvex polyhedron är konvexa polygoner. Vi noterar att summan av alla planvinklar i var och en av dess toppar är mindre än 360 ° i en konvex polyeder.

Detta uttalande är lätt att förklara. Vi tar en polyhedron och skär den längs kanterna och alla dess ansikten med en gemensam toppunkt A vänds så att de ligger i samma plan α. Uppenbarligen är summan av alla platta fångster vid topp A mindre än 360 °.

Låt oss nu kasta lite in i historien.

Ett stort bidrag till utvecklingen av matematik i allmänhet och geometri i synnerhet gavs av filosofiska skolor, där en gradvis övergång från praktisk till teoretisk geometri äger rum.

En av de allra första och mest berömda geometriska skolorna var pythagoras,   det fanns under VI-V århundraden. BC. Det fick sitt namn efter dess grundare, en forntida grekisk forskare. Pythagoras.

Pytagoreerna använde rätt polyeder för filosofiska teorier. Så de gav formen av en tetrahedron (pyramid) för att avfyra, formen av en hexahedron (kub) till jorden, formen av en oktaeder (en figur som bildas av åtta liksidiga trianglar), och vattnet - formen av en icosahedron (figur som bildas av tjugo sidor med tre sidor). Enligt deras åsikt har hela universum formen av en dodekedron (en siffra som består av tolv regelbundna pentagoner).

Det är lätt att se att namnen på polyederen också har forntida grekiskt ursprung. Den första delen av namnet visas antal ansiktenvarav figuren består och ordet eHS   kom från det forntida grekiska ordet "edra" - kanten.

Men inte bara forskare var intresserade av matematik i allmänhet och geometri i synnerhet. Det finns en så kallad matematik eschers konst.

Den holländska konstnären Moritz Kornilis Escher, född 1898 i Leeuwarden, skapade unika och charmiga verk som använder eller visar ett brett spektrum av matematiska idéer.

Vanliga geometriska kroppar - polyhedra - hade en speciell charm för Escher. I många av hans verk är polyhedra huvudfigur och i ännu fler verk finns de som hjälpelement.

Det finns bara fem vanliga polyedrar, det vill säga sådana kroppar, vars alla ansikten består av identiska regelbundna polygoner. De kallas också platons kroppar. Det här är tetraedervars ansikten är fyra vanliga trianglar, kub   med sex fyrkantiga ansikten oktaedermed åtta triangulära ansikten, dodekaedervars ansikten är tolv regelbundna femtoner, och ikosaedermed tjugo trekantiga ansikten. På graveringen "Fyra organ" skildrade Escher skärningspunkten mellan de huvudsakliga vanliga polyhedronerna som ligger på samma symmetriaxel, dessutom ser polyhedronerna genomskinliga ut och genom någon av dem kan du se resten.

Förutom vanlig polyeder finns det så kallade semiregulär polyedra. Dessa är konvexa polyedra, som, även om de inte är regelbundna, har några av sina funktioner, till exempel: alla ansikten är lika, alla ansikten är vanliga polygoner. Sådana siffror inkluderar till exempel. kuboektaedr   - en figur vars ansikten är åtta regelbundna trianglar och sex kvadrater, eller till exempel snub dodecahedron   - en siffra som består av åttio regelbundna trianglar och tolv regelbundna femtoner. Det finns tjugo sex sådana polyeder.

Jag skulle vilja avsluta vår lektion med dagens sovjetiska matematiker Lazar Aronovich Lyusternik "Teorin om polyhedra, särskilt konvex polyhedra, är ett av de mest fascinerande kapitlen i geometri".

"Polyhedrons" stereometry "- Polyhedron. Fixa den logiska kedjan. Ange rätt avsnitt. Problemlösning. Lektionsmål Tvärsnitt av polyeder. Den stora pyramiden vid Giza. Ge namn på polyhedronen. Lektiens epigraf. Platoniska fasta ämnen. "Spela med publiken." Polyhedras finaste timme. Historisk bakgrund. Arkimediska kroppar. Gör geometriska former och deras namn matchar.

"Tvärsnitt av en polyhedron med ett plan" - Skydd av projekt. Avsnitt. Platt figur. En kropp vars yta består av ett begränsat antal plana polygoner. Tvärsnitt av en kub. Snitt. Tvärsnitt av polyeder. Bygg en del av ett prisma. Test. Den kombinerade metoden. Ställ in en punkt. Grundläggande begrepp. Snitten bildade en femkant. Axiomatisk metod.

”Lösa problem på polyhedra” - Lösa problem i ämnet ”Polyhedrons”. Direkt och korrekt prismor. ”Inspiration i geometri är inte mindre nödvändig än i poesi” av A.S. Pushkin. Platoniska fasta ämnen. Kontrollera formlerna. Rätt pyramid. Pyramiden. Vad kallas en polyhedron? Direkt prisma. En polyhedron sammansatt av n-gon A1A2 ... An och n trianglar.

"Stjärnformer av polyeder" - Polyhedron. Stjärna avkortad icosahedron. Topparna på en stor stjärnformad dodekedron. En polyhedron erhållen genom avkapning av en stavlat avkortad icosahedron. Dodecahedron. Svaret. Star dodecahedron. Stellate cuboctahedrons. Stor dodekedron. Stjärnaikosedrons. Liten stjärna dodecahedron. Stjärna polyhedroner.

"Begreppet en polyhedron" - Prisma. Definition. Begreppet en polyhedron. Polyhedra. Vad är en rektangulär låda? Vad är en låda? Prismets höjd är vinkelrätt. Face. Vad är en tetrahedron. Sats. Det direkta prismen kallas korrekt. Summan av områdena med alla dess ansikten. Revben är sidor av ansikten. Fyrkantigt prisma.

”Typer av polyedra” - Dodecahedron. Tetrahedron. Octahedron. Matematiker. Två fasetter. Star Octahedron. Prismatoid. Polyhedra. Vanliga stjärna-polyhedroner. Platons kroppar. Lagen om ömsesidighet. En kropp avgränsad av ett begränsat antal plan. Pyramiden. Liten stjärna dodecahedron. Ikosaeder. Hexahedron.

Det finns 29 presentationer totalt