რასაც ეწოდება პოლიჰედონი, რომლის ორი სახეა. საპროექტო და კვლევითი სამუშაოები: ”საოცარი ფიგურები: რეგულარული პოლიჰიდონები

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

გრამატიკის №26 სკოლა

გეომეტრია

პოლიდედას ძირითადი ტიპები და მათი თვისებები

დასრულებულია:

9-1 კლასის მოსწავლე

ბაიასკოვა ლიაზატა

მასწავლებელი:

სისოევა ელენა ალექსეევნა

ჩელიაბინსკი

შესავალი

მრავალმხრივი ზედაპირი. პოლიდერონი

პირამიდა

პარალელეპიპედი

სხეულის მოცულობა

დასკვნა

გამოყენებული ლიტერატურის სია

შესავალი

ამ დრომდე, გეომეტრიის მსვლელობისას, პლანეტრიაში ვიყავით ჩართული - ჩვენ შევისწავლეთ თვითმფრინავის გეომეტრიული ფიგურების თვისებები, ანუ ის ფიგურები, რომლებიც მთლიანად მდებარეობს თვითმფრინავში. მაგრამ ჩვენს გარშემო არსებული ობიექტების უმეტესობა არ არის მთლიანად ბრტყელი, ისინი განლაგებულია სივრცეში. გეომეტრიის ის მონაკვეთი, რომელშიც შესწავლილია სივრცეში ფიგურების თვისებები სტერეომეტრია (სხვა ბერძნულიდან დაბეჭდვა, "სტერეოები" - "მყარი, სივრცითი" და μετρέω - "საზომი").

სივრცეში მთავარი ფიგურები არის წერტილი, პირდაპირი  და თვითმფრინავი. სტერეომეტრიის ამ უმარტივეს ფიგურებთან ერთად, გეომეტრიული ორგანოები და მათი ზედაპირი განიხილება. გეომეტრიული სხეულების შესწავლისას გამოიყენეთ ნახატები ნახატში.

სურათი 1 სურათი 2

სურათი 1 გვიჩვენებს პირამიდას, ფიგურა 2 - კუბს. ამ გეომეტრიულ სხეულებს უწოდებენ პოლიდედონები.განვიხილოთ პოლიედრას ზოგიერთი ტიპი და თვისება.

  მრავალმხრივი ზედაპირი. პოლიდერონი

მრავალკუთხედი ზედაპირი არის პლანეტარული მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობის კავშირი ისეთი, რომ რომელიმე პოლიგონის თითოეული მხარე ერთდროულად არის სხვა (მაგრამ მხოლოდ ერთი) მრავალკუთხედის მხარე, რომელსაც პირველი პოლიგონის მიმდებარე ეწოდება.

ნებისმიერი მრავალკუთხედისგან, რომელიც ქმნის პოლიეთერის ზედაპირს, შეგიძლიათ წასვლა ნებისმიერ სხვაზე, მიმდებარე პოლიგონების გასწვრივ გადაადგილდეთ.

მრავალკუთხედებს, რომლებიც ქმნიან პოლიეთერის ზედაპირს, ეწოდება მისი სახეები; პოლიგონების მხარეებს უწოდებენ კიდეებს, ხოლო ვერტიკებს უწოდებენ პოლიეთერული ზედაპირის ვერტიკებს.

სურათი 1 გვიჩვენებს მრავალკუთხედების გაერთიანებას, რომლებიც აკმაყოფილებენ მითითებულ მოთხოვნებს და წარმოადგენს პოლიეთერული ზედაპირი. სურათი 2 გვიჩვენებს ფიგურებს, რომლებიც არ არის პოლიეთერული ზედაპირი.

მრავალმხრივი ზედაპირი სივრცეს ორ ნაწილად ყოფს - მრავალმხრივი ზედაპირის შიდა მხარე და გარეთა რეგიონი. ორი გარე უბნიდან იქნება ერთი, რომელშიც შესაძლებელია სწორი ხაზების დახაზვა, რომლებიც მთლიანად მიეკუთვნება ტერიტორიას.

5 მრავალმხრივი ზედაპირისა და მისი შიდა რეგიონის შეერთებას ეწოდება პოლიედრიონი. უფრო მეტიც, პოლიეთრესიულ ზედაპირს და მის შიდა რეგიონს, შესაბამისად, პოლიდერონის ზედაპირი და შიდა რეგიონი ეწოდება. პოლიედონის ზედაპირის სახეებს, კიდეებს და ვერტიკებს ეწოდება, შესაბამისად, პოლიდერონის სახეები, კიდეები და ვერტიკები.

პირამიდა

მრავალკუთხედი, რომლის ერთ – ერთი სახე არის თვითნებური პოლიედრიონი, ხოლო დანარჩენი სახეები სამკუთხედებია, რომელთაც აქვთ ერთი საერთო ხერხი, რომელსაც პირამიდა ეწოდება.

პოლიგონს ეწოდება პირამიდის ფუძე, ხოლო დანარჩენ სახეებს (სამკუთხედები) ეწოდება პირამიდის გვერდითი სახეები.

განასხვავებენ სამკუთხა, ოთხკუთხა, პენტაგონალურ და ა.შ. პირამიდები დამოკიდებულია პირამიდის ბაზაზე მოთავსებული მრავალკუთხედის ტიპზე.

სამკუთხა პირამიდას ასევე უწოდებენ ტეტრედრონს. სურათი 1 გვიჩვენებს ოთხკუთხა პირამიდის SABCD ერთად ბაზა ABCD და გვერდითი სახეები SAB, SBC, SCD, SAD.

პირამიდის სახეების მხარეებს უწოდებენ პირამიდის კიდეებს. პირამიდის ფუძეს მიკუთვნებულ ნეკნებს უწოდებენ ბაზის ნეკნებს, ხოლო ყველა სხვა ნეკნს გვერდითი ნეკნები ეწოდება. ყველა სამკუთხედის (გვერდითი სახეების) საერთო ხერხემლს უწოდებენ პირამიდის ზედა ნაწილს (ნახ. 1, წერტილი S არის პირამიდის ზემოდან. სეგმენტები SA, SB, SC, SD არის გვერდითი კიდეები, სეგმენტები AB, BC, CD, AD არის ბაზის კიდეები).

პირამიდის სიმაღლე არის პირამიდის S- ის ზემოდან ამოღებული პერპენდიკულური სეგმენტი, რომლის ბაზის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოები არის პირამიდის ზედაპირი და პერპენდიკულარის ფუძე). ნახაზში 1, SO არის პირამიდის სიმაღლე.

სწორი პირამიდა. პირამიდას ეწოდება რეგულარული, თუ პირამიდის ფუძე არის რეგულარული პოლიგონი, ხოლო ვერტიკუსის ორთოგონალური პროექცია ფუძის სიბრტყეზე ემთხვევა პირამიდის ფსკერზე მოთავსებული პოლიგონის ცენტრს.

რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი ნეკნი ერთმანეთის ტოლია; ყველა გვერდითი სახე თანაბარი isosceles სამკუთხედებია.

მისი ზემოდან ამოღებული რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება ამ პირამიდის აპოთემს. სურ .2, SN არის apothem. სწორი პირამიდის ყველა აპოთეკა ერთმანეთის ტოლია.

პრიზმა

პოლიედრონი, რომლის ორი სახე ტოლია ნ- პარალელურად თვითმფრინავებში იწვა, დანარჩენები ნ  სახეები - პარალელოგრამები, მოუწოდა ნ–გონალური პრიზმი.

პოლიდედრონის პირამიდის პრიზმა პარალელეპიპედირებული

წყვილი ტოლი ნ-გონიმებს უწოდებენ პრიზმის საფუძველს. პრიზმის დანარჩენ სახეებს მისი გვერდითი სახეები ეწოდებათ, ხოლო მათ კავშირს ეწოდება პრიზმის გვერდითი ზედაპირი. სურათი 1 გვიჩვენებს პენტაგონალური პრიზმა.

პრიზმის სახეების მხარეებს კიდეებს უწოდებენ, ხოლო კიდეების ბოლოებს პრიზმის ვერტიკებს უწოდებენ. პრიზებს, რომლებიც პრიზმის საფუძველს არ მიეკუთვნებიან, გვერდითი ნეკნები ეწოდება.

პრიზმა, რომლის გვერდითი ნეკნები ფუძეთა თვითმფრინავების პერპენდიკულურად არის მიჩნეული, ეწოდება პირდაპირი პრიზმი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, პრიზმას მიდრეკილება ეწოდება.

პრიზმის ფენების პერპენდიკულარის სეგმენტს, რომლის ბოლოებიც ამ თვითმფრინავებს განეკუთვნება, ეწოდება პრიზმის სიმაღლეს.

რეგულარულ პოლიგონზე დაფუძნებულ პირდაპირ პრიზს ეწოდება რეგულარული პრიზმი.

პარალელეპიპედი

პარალელეპიპედი არის ექვსკუთხედი, რომლის საპირისპირო სახეები პარალელურად არის წყვილი. პარალელეპიპედი  აქვს 8 ვერტიკალი, 12 კიდე; მისი სახეები ერთმანეთთან თანაბარი პარალელოგრამებია.

პარალელეპიპედი  ეწოდება სწორი, თუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულურია (ამ შემთხვევაში, 4 გვერდითი სახე ოთხკუთხედია); მართკუთხა თუ ეს პარალელეპიპედი  მართკუთხედი არის სწორი ხაზი და ფუძე (შესაბამისად, 6 სახე არის ოთხკუთხედი);

პარალელეპიპედი, რომლის ყველა სახე არის კვადრატი, რომელსაც კუბს ეძახიან.

მოცულობა პარალელეპიპედი  ტოლია მისი ბაზის ფართობის პროდუქტის მიხედვით სიმაღლით.

სხეულის მოცულობა

თითოეულ პოლიდერონს აქვს მოცულობა, რომლის გაზომვაც შესაძლებელია მოცულობის გაზომვის არჩეული ერთეულის გამოყენებით. მოცულობის გაზომვის ერთეულისთვის იღებენ კუბს, რომლის ზღვარი ტოლია სეგმენტების გაზომვის ერთეულთან. ეწოდება კუბი, რომლის კიდეც 1 სმ-ია კუბური სანტიმეტრი. ანალოგიურად განსაზღვრული კუბური მეტრიდა კუბური მილიმეტრიდა ა.შ.

გაზომვის შერჩეულ ერთეულთან მოცულობის გაზომვისას, სხეულის მოცულობა გამოიხატება დადებითი რიცხვით, რაც გვიჩვენებს, თუ რამდენი ზომის ერთეულის მოცულობა და მისი ნაწილები ჯდება ამ სხეულში. სხეულის მოცულობის გამოხატვის რაოდენობა დამოკიდებულია მოცულობების გაზომვის ერთეულის არჩევანზე. აქედან გამომდინარე, მოცულობის გაზომვის ერთეული მითითებულია ამ რიცხვის შემდეგ.

მოცულობის ძირითადი თვისებები:

1. თანაბარი ორგანოები აქვთ თანაბარი მოცულობები.

2. თუ სხეული შედგება რამდენიმე ორგანოსგან, მაშინ მისი მოცულობა ტოლია ამ ორგანოების მოცულობის ჯამში.

სხეულების მოცულობის პოვნა, ზოგიერთ შემთხვევაში მოსახერხებელია გამოიყენოთ თეორემა, რომელსაც ეწოდება კავალიერის პრინციპი.

კავალიერის პრინციპი ასეთია: თუ კვეთაზე ორი ორგანოს რომელიმე თვითმფრინავის კვეთაზე, რომელიმე მოცემული თვითმფრინავის პარალელურად, მიიღება თანაბარი ფართობის მონაკვეთები, მაშინ სხეულების მოცულობები ერთმანეთის ტოლია.

  დასკვნა

ამრიგად, პოლიდედა სწავლობს გეომეტრიის მონაკვეთს, რომელსაც ეწოდება სტერეომეტრია. პოლიედრა მოდის სხვადასხვა ტიპებში (პირამიდა, პრიზმი და ა.შ.) და აქვს სხვადასხვა თვისებები. ასევე, უნდა აღინიშნოს, რომ პოლიჰედრას, თვითმფრინავის ფიგურებისგან განსხვავებით, აქვს მოცულობა და განლაგებულია სივრცეში.

ჩვენს ირგვლივ არსებული ობიექტების უმეტესობა სივრცეშია, ხოლო პოლიედრას შესწავლა გეომეტრიული თვალსაზრისით დაგვეხმარება ვიცოდეთ ჩვენს გარშემო არსებული რეალობის შესახებ.

  გამოყენებული ლიტერატურის სია

1. გეომეტრია. სახელმძღვანელო 7-9 კლასებისთვის.

3. ვიკიპედია

5. ლექსიკონი

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება გიმნაზია 2626 რეზიუმე გეომეტრია პოლიhedრის ძირითადი ტიპები და მათი თვისებები შესრულებული: მე –9 კლასის მოსწავლე ბეისაკოვა ლიაზზატი მასწავლებელი: Sysoeva Elena Ale

საპროექტო და კვლევითი სამუშაოები:

"საოცარი ფიგურები: რეგულარული პოლიჰედრა."

მოკლე ანოტაცია.

წელს, მათემატიკური წრის კლასებში, შევისწავლეთ რეგულარული პოლიედრა, რომელსაც ასევე უწოდებენ პლატონური მყარი. მათი მოდელების გაკეთებისას, ჩვენ გააკვირვა ზოგიერთი მათგანის უჩვეულო და ლამაზი. სკანირების დახმარებით შევიტყვეთ, თუ როგორ უნდა ჩამოაყალიბოთ ეს ფიგურები. მაგრამ სკანირების შესაქმნელად საჭიროა მათემატიკური ცოდნის კომპლექსი, ნახაზის უნარი, სივრცითი აზროვნება.

ჩვენ გადავწყვიტეთ უფრო მეტი გავეცნოთ სწორი პოლიდედას, გავეცნოთ მათი გარეგნობის ისტორიას, ვისწავლოთ თუ როგორ უნდა ავაშენოთ ისინი ოპტიმალურად, მარტივად და სწრაფად, შეისწავლეთ მათი როლი ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროში, და, ბოლოს და ბოლოს, გავარკვიეთ, რამდენად სასარგებლოა ეს ფიგურები და ცოდნა მათ შესახებ პრაქტიკულ ცხოვრებაში

კვლევის მიზანი:

კვლევის მიზნები:

- შეისწავლონ ინფორმაციის წყაროები ამ თემაზე;

-

სასწავლო ობიექტი: სწორიპოლიდედონები.

კვლევის საგანი: თ

კვლევის მეთოდები:

-

- დაკვირვება;

დაკითხვა;

- პრაქტიკული მუშაობა.

ამ თემაზე მუშაობისას, ჩვენ დავასრულეთ ყველა ის მიზანი და ამოცანა, რომელიც ჩვენ თავად დავსახეთ:  მათ შეიტყო, თუ როგორ უნდა შექმნან რეგულარული პოლიჰედების მოდელები, შეისწავლეს მოვლენის ისტორია, მათი თვისებები, იპოვნეს კავშირი რეგულარულ პოლიჰედრასა და ბუნებრივ საგნებს შორის, და გამოიყენეს ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ეს ციფრები სხვებისთვის საინტერესოა. გარდა ამისა, ჩვენ ვისწავლეთ რამდენიმე მათემატიკური პრობლემის მოგვარება კომპასის და მმართველის დახმარებით, ამით გავაუმჯობესოთ ჩვენი ნახაზის უნარი და მათემატიკური ცოდნა. ეს ჩვენთვის ძალზე სასარგებლოა, რადგან უკვე მომდევნო წელს უნდა შევისწავლოთ გეომეტრია.

პრაქტიკული მუშაობის შედეგად ჩვენ გავაუმჯობესეთ ხელების მშვენიერი საავტომობილო უნარები, განვავითარეთ წარმოსახვა და წარმოსახვა, შრომა და შრომა ჩვენი მიზნების მისაღწევად.

შინაარსის ცხრილი.

შესავალი 4

რეგულარული პოლიჰიდრონის 5-6 კონცეფცია

პოლიhedრას 6-7 ისტორიიდან

ფორმების გამოყენება და რეგულარული პოლიეთრის 7-9 გამოყენება

რეგულარული პოლიეთრის გაკეთება 9-10

დასკვნა 11

ინფორმაციის წყაროების სია. 12

დანართი 13-18

შესავალი

ჩვენს სამყაროში ბევრი არაჩვეულებრივი და ლამაზია. ჩვენ გარშემო ვართ ობიექტები, რომელთა ფორმები გვაოცებს. მაგალითად, ასეთია რეგულარული პოლიჰიდონები. ეს ფიგურები ფლობს როგორც სილამაზეს, ასევე ფორმების სრულყოფას და მიმზიდველობას.

ადრეული ბავშვობიდან ჩვენ უკვე ვხვდებით ჩვეულებრივ პოლიდერონებს, ვთამაშობთ კუბებს და ვვითარდებით კონსტრუქტორებს, ვხსნით რუბიკის კუბის და მის ჯიშებს. არქიტექტორები, მშენებლები და დიზაინერები განასახიერებენ თავიანთ თავდაპირველ იდეებს ამ ციფრების გამოყენებით.

წელს, მათემატიკური წრის კლასებში, შევისწავლეთ რეგულარული პოლიედრა, რომელსაც ასევე უწოდებენ პლატონური მყარი.  საშუალო სკოლის კურსის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში მოცემულია პოლიჰედების შესახებ ძალიან ცუდი ინფორმაცია. ამ თემაზე ძალიან ცოტა პრობლემაა შემოთავაზებული, რის გამოც თემის შესაძლებლობები საერთოდ არ ვლინდება. მაგრამ ის თეორიულად ძალიან მდიდარია, ეს საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ მრავალი საინტერესო პრობლემა. შემოთავაზებული პრობლემების გადაჭრა საშუალებას მოგვცემს ვნახოთ, რომ გარკვეული სამშენებლო ტექნიკა დიდად ეხმარება გამარტივებას, როგორც თავად მშენებლობაში, ასევე ფიგურის თვისებების გაგებაში.

ამ ფიგურების თვისებების შესწავლა, მათი სკანირების აგება, პოლიედერის დასაკეცი, მივხვდით, რომ ეს ჩვენთვის საინტერესო იყო.ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ გავეცნოთ რეგულარულ პოლიდედრონებს, გავეცნოთ მათი გარეგნობის ისტორიას, გავეცნოთ მათ როლს ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროში და იპოვოთ მათი პრაქტიკული გამოყენება.

ჰიპოთეზა:   რეგულარული პოლიჰიდრა ჰარმონიული და მომგებიანი ფორმებია და მათი ფართო გამოყენება შეიძლება.

კვლევის მიზანი:   ცოდნის წრის გაფართოება რეგულარული პოლიhedრის შესახებ, შესწავლა პრაქტიკული პროგრამების გარე სამყაროში.

კვლევის მიზნები:

- ლიტერატურული წყაროების შესწავლა თემაზე;

შეადგინეთ რეგულარული პოლიhedრის კოლექცია და გაეცანით მათ ინტერესს

- იპოვნეთ რეგულარული პოლიhedრის მაგალითები ბუნებრივ გარემოში და შიდა გარემოში;

დაამტკიცეთ, რომ რეგულარული პოლიჰედების ფორმები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

სასწავლო ობიექტი: სწორიპოლიდედონები.

კვლევის საგანი: თ ამ ციფრების დასაწყისი და გამოყენება

კვლევის მეთოდები:

- თემაზე ინფორმაციის მოძიება, შეგროვება და დამუშავება

- დაკვირვება;

- პრაქტიკული მუშაობა.

დაკითხვა;

რეგულარული პოლიჰედონის კონცეფცია.

პოლიდედა   - ეს არის უმარტივესი ფიგურები სივრცეში, როგორც, მაგალითად, პოლიგონები - თვითმფრინავში ყველაზე მარტივი ფიგურები. თუ გეომეტრიის თვალსაზრისით მრავალკუთხედს განვიხილავთ, მაშინ ეს არის სივრცის ის ნაწილი, რომელსაც ესაზღვრება ბრტყელი მრავალკუთხედები სახელწოდებით. თავად მხარეებს და ვერტიკებს უწოდებენ თავად პოლიედრონის კიდეებს და ვერტიკებს.

რეგულარული პოლიედრონი არის ფიგურა, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:

არის ამოზნექილი;

მისი ყველა სახე თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედებია;

მის თითოეულ ვერტიკზე, სახის ერთნაირი რაოდენობა ახლავს ერთმანეთს;

მისი ყველა ტაძრის კუთხე ტოლია.

მხოლოდ ხუთი რეგულარული პოლიდედას არსებობა დასტურდება.

ტეტრაიდრონი   შედგება ოთხი ტოლი სამკუთხედისგან. თითოეული მისი vertices არის სამი სამკუთხედის მწვერვალი.
კუბი (ჰექსანდრონი) შედგება ექვსი მოედნისგან. კუბის თითოეული ვერტიკალი სამი კვადრატის თავშია.
ოქტაიდრონი  შედგება რვა ტოლი სამკუთხედისგან. ოკეჰედონის თითოეული ვერტიკალი ოთხი სამკუთხედის ვერტიკალია.
დოდეკედედონი  შედგება თორმეტი რეგულარული პენტაგონისგან. დოდეკედედონის თითოეული ხრტილი არის სამი რეგულარული პენტაგონის ვერტიკალი.
Icosahedronოცი თანაბარი სამკუთხედისგან შედგება. Icosahedron- ის თითოეული ვერტიკალი ხუთი სამკუთხედის ტოლია.

ამ ციფრების სახელების დასამახსოვრებლად ძალიან მარტივია. ბერძნულიდან თარგმნილია „ედრა“ - სახე, „ტეტრა“ - 4, „ჰექსა“ - 6, „ოქტა“ - 8, „აიკოზა“ - 20, „დოდეკა“ - 12.

პოლიედონის ძირითადი მახასიათებლებია სახეების რაოდენობა და ტიპი, ვერტიკების რაოდენობა და კიდეების რაოდენობა. რეგულარული პოლიჰედრასთვის ეს მახასიათებლები მოცემულია ცხრილში (დანართი 1)

ცხრილის შინაარსის ყურადღებით შესწავლით, ჩვენ დავინახეთ შაბლონი: თუ განსახილველი პოლიდერონის კიდეების რაოდენობა იზრდება 2-ით, მაშინ მივიღებთ რიცხვს, რაც ტოლია ამ პოლიედრონის სახის და ვერტიკების რაოდენობის ჯამი. ჩვენ ამ წესს შემდეგნაირად ვაყალიბებთ:”სახეებისა და ვერტიკალების რაოდენობის ჯამი ტოლია კიდეების რიცხვზე 2-ით გაზრდილი”, ანუ Г + В \u003d Р + 2.

მართალია პოლიდერონი	NUMBER გრანი + ტოპ	NUMBER RIBS
ტეტრაიდრი	4 + 4 = 8	6
კუბი	6 + 8 = 14	12
OCTAEDR	8 + 6 = 14	12
დოდეკედედონი	12 + 20 = 32	30
ICOSAEDR	20 + 12 = 32	30

ამრიგად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ ფორმულა, რომელიც პირველად გამოიღო რენე დეკარტმა 1640 წელს, მოგვიანებით კი ელულერმა აღმოაჩინა 1752 წელს, რომელსაც მას ამ დროიდან ეწოდა. ეულერის ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიდედასთვის.

პოლიედრას ისტორიიდან.

კაცობრიობამ დიდი ხნის განმავლობაში იცოდა რეგულარული პოლიჰედრას შესახებ. მათი ორნამენტული ნიმუშების ნახვა შეგიძლიათ ქვებით მოჩუქურთმებულ ბურთებზე შოტლანდია , სანამ პლატონმა აღმოაჩინა ისინი. იმდროინდელი სხვადასხვა კამათლები ასევე წააგავს ფორმაში რეგულარულ პოლიდერონებს.

მაშინაც კი, ადამიანები იყენებდნენ ამ საოცარი ფიგურების ბრინჯაოს ანალოგებს.

რეგულარული პოლიჰიდრონების აღმოჩენისა და დეტალური შესწავლის პატივი ძველ ბერძნულ მეცნიერებს ენიჭებათ. ზოგიერთ წყაროში შეგიძლიათ იპოვოთ ინფორმაცია, რომ პითაგორამ პირველად დაასახელა ეს ციფრები. სხვა წყაროები ირწმუნებიან, რომ მან იცოდა მხოლოდ ტეტრაჰედრონი, კუბი და დოდეკედრონი, ხოლო ოქტჰედრონი და იკასედრონი აღმოაჩინა ათენის თეეტემ, რომელიც ასევე აღწერდა ხუთივე ჩვეულებრივ პოლიდედას.

მან მნიშვნელოვანი ყურადღება დაუთმო რეგულარულ პოლიჰედრას პლატონი რომლის საპატივცემულოდ მათ უწოდებენ "პლატონური მყარი". იგი უკავშირდებოდა დედამიწის ოთხივე ელემენტს, ჰაერს, წყალს და ხანძარს გარკვეულ რეგულარულ პოლიდერონთან. კუბი ან ჰექსაედრონი იყო დედამიწისთვის, ოქტჰედრონი საჰაერო, Icosahedron წყლისთვის და Tetrahedron for fire. ასეთი შედარება მარტივად არის ახსნილი: ხანძრის სიცხე იგრძნობა აშკარად და მკვეთრად, როგორც პატარა ტეტრაჰიდრონები; ჰაერი შედგება octahedrons: მისი ყველაზე მცირე კომპონენტები ისეთივე გლუვია, როგორც წყლის წვეთები, რომელთა icosahedrons ყველაზე ჰგავს; წყლისგან განსხვავებით, დედამიწა სტაბილური კუბურები ქმნის. მეხუთე ელემენტთან დაკავშირებით, დოდეკედრონიკთან დაკავშირებით, პლატონმა დაწერა: "... მისმა ღმერთმა იდენტიფიცირება სამყაროსთვის და მას მიმართა, როგორც მოდელი".

ევკლიდმა სრული მათემატიკური აღწერა მიაწყო ხუთი რეგულარული პოლიჰედრას და დაამტკიცა, რომ სხვა რეგულარული პოლიჰედრა არ არსებობს.

პლატონის იდეები მსოფლიოს ჰარმონიულ მოწყობასთან რეგულარულ პოლიჰედრასთან კავშირის შესახებ გაგრძელდა ჩვენს დროში. 80-იან წლებში. მოსკოვის ინჟინრებმა ვ. მაკაროოვმა და ვ. მოროზოვმა გამოთქვეს საინტერესო სამეცნიერო ჰიპოთეზა: დედამიწის ბირთვს აქვს მზარდი ბროლის ფორმა და თვისებები, რაც ახდენს გავლენას ახდენს პლანეტაზე მომდინარე ბუნებრივ პროცესებზე. ამ ბროლის სხივების ძალის ველი ქმნის დედამიწის იკოსაკატორულ-დოდეკედედურ სტრუქტურას. ეს ვლინდება იმ გარემოებაში, რომ, როგორც ეს იყო, მსოფლიოში მსოფლიოში ჩაწერილი რეგულარული პოლიედრის პროექციები ჩნდება: დედამიწის ქერქში: იკოსედრონი და დოდეკედრონი.

დადასტურებულია, რომ მრავალი მინერალური საბადო არის განლაგებული მხოლოდ icosahedral-dodecahedron ქსელის გასწვრივ: პოლიდედის კიდეების 62 ვერტიკსა და შუალედურ წერტილს აქვს განსაკუთრებული თვისებები, რაც საშუალებას იძლევა ახსნას მრავალი ფენომენი ჩვენს პლანეტაზე. აქ მდებარეობს უძველესი კულტურებისა და ცივილიზაციების ცენტრები: პერუ, ჩრდილოეთ მონღოლეთი, ჰაიტი, ობ კულტურა და სხვ. ამ წერტილებში შეინიშნება ატმოსფერული წნევის მაქსიმუმი და მინიმუმი, ოკეანეების გიგანტური ტურბულენტობა. ამ კვანძებში არის ტბა ლოჰ ნესი, ბერმუდის სამკუთხედი.

ფორმების გამოყენება და რეგულარული პოლიდედას გამოყენება.

სწორი პოლიჰედონები ყველაზე მომგებიანი ფორმებია. ადამიანი და ბუნება ამას ფართოდ იყენებენ. ეს დასტურდება ზოგიერთი კრისტალის ფორმის მიხედვით. მაგალითად, მარილის კრისტალებს აქვთ კუბის ფორმა. ამაში დარწმუნებულნი ვიყავით, ბიოლოგიის კაბინეტში ელექტრონული მიკროსკოპით მარილის კრისტალების შემოწმება(დანართი 2)

და როგორ  კრისტალების სამყარო, რომლებიც ბუნებრივი პოლიჰედრია, მრავალფეროვანია.ჩვენ ვცხოვრობთ კრისტალების სამყაროში: ვსეირნობთ კრისტალების გარშემო, ვქმნით კრისტალებს, ვამუშავებთ კრისტალებს ქარხნებში, ვვითარდებით კრისტალებს ლაბორატორიებში, ვქმნით მოწყობილობებსა და ბროლის პროდუქტებს, ვრცელდება კრისტალები მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში, ვჭამთ კრისტალებს და მკურნალობენ კრისტალებით. გეოგრაფიის ოფისში აღმოვაჩინეთ კლდის ბროლის და კვარცის კრისტალები, ექვსკუთხა პრიზმული ზედაპირით. ამ მინერალს აქვს სამკურნალო თვისებები. ადრე, პატარა ბავშვებისთვის, ეს ქვა ეყარა მკერდზე, მიბმული მას თოკზე, ისე, რომ ბავშვი არ იჭერდა სიცივეს და იტანჯებოდა სიცივისგან. ჩვენ ასევე დავრწმუნდით, რომ კალიუმის მარილის კრისტალებს აქვთ ჰექსაედრონის ფორმა. ეს მინერალი გამოიყენება მინერალური სასუქების წარმოებაში.

მრავალფეროვანი ბაქტერიები და ვირუსები პოლიჰიდრონია. მაგრამ ყველა მათგანს აქვს იკოსაჰედის ან დოდეკადედონის ფორმა. მაგალითად, ფეოდარიას უჯრედული ორგანიზმის ჩონჩხი ფორმის icosahedron წააგავს.

ყველა იმ პოლიდედრში, რომელსაც ერთნაირი სახე აქვს, ეს არის icosahedron, რომელსაც ყველაზე დიდი მოცულობა აქვს ყველაზე მცირე ზომის ფართობით. ეს ქონება ეხმარება საზღვაო სხეულს წყლის სვეტის წნევის გადალახვაში.

ფეოდალების უმეტესობა ღრმა ზღვაში ცხოვრობს და ემსახურება მარჯნის თევზს. მაგრამ უმარტივესი ცხოველი თავს იცავს ჩონჩხის ზემოდან წარმოქმნილი ნემსებით. ასე რომ, ის უფრო ჰგავს ვარსკვლავურ პოლიდერონს.

რეგულარული პოლიჰედრას ჰარმონია და სიმარტივე საშუალებას მოგვცემია, სათამაშოების, თავსატეხების და დიზაინერების სერია შეგვექმნა. ამ სათამაშოების თამაშით, ჩვენ ვვითარდებით ლოგიკური აზროვნების, წარმოსახვის დახვეწილი უნარების გაუმჯობესებას.

მათემატიკის კლასში, სანამ განვითარებას შევასრულებდით და პოლიედრონს ქაღალდისგან გავცლით, ჩვენ შევიკრიბეთ განვითარება და თავად სწორი პოლიედრონი მაგნიტური კონსტრუქტორის გამოყენებით.

რეგულარული პოლიდედონების ფორმები ასევე გამოიყენება საყოფაცხოვრებო ნივთებში და საქონლის შეფუთვაში: ჩაი და რძის ჩანთები, ყუთები და სხვადასხვა სუვენირები და ა.შ. ჩვენ ექსკურსიაზე წავედით სამსინსკის საშუალო სკოლის მუზეუმში, სადაც დავინახეთ სუვენირები კუბის და ტეტრედრონის სახით მუწუკებით დატვირთული ლენინგრადის მიწის ნაკვეთით. პეტერბურგი - ომის შემდგომი საჩუქარი ლენინგრადის მინის ქარხნისგან, რომელიც დიდი სამამულო ომის დროს გადაეცა სარსს.

და რა უჩვეულო და თამამი იდეები განასახიერებს არქიტექტორები, მშენებლები და დიზაინერები, რომლებიც იყენებენ რეგულარულ პოლიედრას ფორმებს. ინტერნეტში აღმოვაჩინეთ უამრავი ფოტო, თუ როგორ გამოიყენება ეს საოცარი ფიგურები შენობების მშენებლობაში, პარკების დიზაინში და საყოფაცხოვრებო ინტერიერის გადაწყვეტილებების დიზაინში.  (დანართი 3)

სხვადასხვა ეპოქის შემსრულებლებმა მუდმივი ინტერესი გამოხატეს პოლიედრას შესწავლისა და გამოსახულების მიმართ. ამ ინტერესის პიკი, რა თქმა უნდა, რენესანსშია. ბუნების ფენომენების შესწავლის მიზნით, მხატვრები ცდილობდნენ იპოვონ თავიანთი გამოსახვის მეთოდები, რომლებიც გამართლებულია მეცნიერების თვალსაზრისით. სწავლება პერსპექტივის, ქიაროსკურისა და პროპორციების შესახებ,მათემატიკაზე, ოპტიკაზე, ანატომიაზე აგებული და ახალი ხელოვნების საფუძველი ხდება. მათ საშუალებას აძლევდნენ მხატვარს შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცე თვითმფრინავში, მიაღწიონ ობიექტების მოცულობის და რელიეფის განცდას. ზოგიერთი ოსტატისთვის პოლიედრა ძალიან მოსახერხებელი მოდელი იყო პერსპექტიული გამოსახულების ოსტატობისთვის. იყვნენ ისეთებიც, ვინც გულწრფელად აღფრთოვანებული იყო მათი სიმეტრიით და ლაკონური სილამაზით.. მას უყვარდა პოლიედრა და ხშირად მის ტილოებზე წერდა ცნობილ ლეონარდო და ვინჩის (1452-1519). მან პოლიედრიონების სურათებით გაამდიდრა მისი მეგობარი ბერის ლუკა პალოჩის (1445 - 1514) წიგნი "ღვთიური პროპორციით".

სალვადორ დალი ნახატში "ბოლო ვახშამი" ასახული იყო იესო ქრისტე თავის მოწაფეებთან უზარმაზარი გამჭვირვალე დოდეკედრონის ფონზე.

XIII-XVII საუკუნეებში. პოლიედრა იყო არქიტექტურული ნაგებობების საფუძველი, კუბები ყველაზე მეტად გამოიყენებოდა, მაგრამ, როგორც ისინი განვითარდნენ, გამოყენებული იქნა სხვა ტიპის პოლიჰედონები, როგორიცაა ტეტრაჰედონი და ოქტაედრონი.

დღეს, პოლიდედა კაცობრიობის ძირითადი აღმოჩენაა. ჩვენ მუდმივად გვხვდება პოლიhedrons: ბევრი საყოფაცხოვრებო ნივთები არის polyhedrons სახით, ყველა არქიტექტურული სტრუქტურა აგებულია მრავალმხრივი მოდელების სტილში.

პოლიედრას მოდელების წარმოება.

ჩვენ შევხვდით და გამოვიყენეთ პოლიედრის მოდელების წარმოების ეს მეთოდი, რომელსაც განვითარების მეთოდი ეწოდება.

ყველაზე ხშირად, ბინის რემეტებისგან პოლიჰედების მოდელების შექმნისას, იყენებენ რემეტერებს, რომლებშიც სახეები ერთმანეთთან მიმდებარედ აქვთ კიდეებით, ხოლო მოდელი იქმნება კიდეების გასწვრივ რემეტერების გასწორებით. მაგალითად, რეგულარული პოლიჰედერის მოდელების შექმნისას, ყველაზე ხშირად გამოიყენება შემდეგი ცხრილები(დანართი 4)

თქვენ შეგიძლიათ მოჭრილიყავით თითოეული სახე ცალკე, შემდეგ კი წებოთი მათ პოლიჰედში. ეს მეთოდი დაზოგავს სახარჯო მასალებს.

გარდა სკედერის დახმარებით პოლიედრას დამზადებისა, არსებობს ამ ფიგურების მშენებლობის სხვა გზებიც. მაგალითად, ეს არის პლატონური მყარი ნაჭრების დამზადება, ორიგამის გამოყენებით. ეს მეთოდები საშუალებას გაძლევთ შექმნათ საოცრად ლამაზი დიზაინები. ექსკურსიაზე Sarsinsky საშუალო სკოლაში, ჩვენ ნამდვილად დავინახეთ, თუ რა შესანიშნავი მოღვაწეები გამოირკვა და მასტერკლასი მივიღეთ ორიგინალის ტექნიკის გამოყენებით სწორი პოლიედრის დამზადებაზე.დანართი5)

ამრიგად, ჩვენ შევქმენით რეგულარული პოლიჰიდრონების კოლექცია და ზოგიერთმა მათგანმა იპოვა საკუთარი პრაქტიკული გამოყენება. მაგალითად, დოდეკაჰედონის 12 სახე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როგორც საგამომცემლო კალენდარი, ხოლო ნებისმიერი სხვა პოლიდედრონი შეიძლება შეიქმნას საშობაო სათამაშო, ან როგორც ფოტო ალბომი, სხვადასხვა შინაარსის თემებით.

და აქ ჩვენ ის გვაქვს!

გარდა ამისა, მოვაწყვეთ ჩვენი ნამუშევრების გამოფენა კლასში და ჩავატარეთ მცირე გამოკითხვა 1-ლი, მე -5, მე -8 და მე -11 კლასებში.

ადრე შეხვდით რეგულარულ პოლიჰიდრონებს? თუ კი, მაშინ სად?

ეს ციფრები თქვენს ინტერესს იწვევს? თუ კი, რომელი?

გსურთ შეეცადოთ თავად გახადოთ ისინი?

როგორ ფიქრობთ: სად შეიძლება იპოვოთ რეგულარული პოლიჰედერის ფორმის გამოყენება?

64 გამოკითხულთაგან, თითქმის ყველა სტუდენტი ადრე შეხვდა სწორად პოლიდედრომებს: სათამაშოების, სუვენირების, საგნების პაკეტების, ჭაღები, ვიზუალური დამხმარე საშუალებების მათემატიკის ოთახში.

კვლევის ყველა მონაწილეს მოეწონა წარმოდგენილი ფიგურები, ხოლო პირველკლასელებს და მეხუთეკლასელებს განსაკუთრებით მოეწონათ ის, რაც ჯერ არ იყო შედგენილი, რადგან მათ სურდათ ოცნებობდნენ და საკუთარი თავის გამოგონება ამ ციფრებთან ერთად. ყველაზე საინტერესო იყო დოდკაჰედრონი (44 სტუდენტი) და იკოსიედრონი (52 სტუდენტი), რადგან ისინი არაჩვეულებრივი და ლამაზია და მსურს ვისწავლოთ როგორ გააკეთოთ ისინი. ჩვენ ავუხსენით, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს და რომ ეს არ არის რთული და, რაც მთავარია, სასარგებლო საქმიანობა, რადგანაც ვითარდება ხელების, წარმოსახვისა და შემოქმედებითი შესაძლებლობების შესანიშნავი საავტომობილო უნარები. კითხვაზე, თუ სად ვიპოვოთ განაცხადი ამ ფიგურებისთვის, მივიღეთ პასუხის მრავალფეროვნება: ფრინველების მიმწოდებლები, ყუთები, სუვენირები, სამკაულები და კიდევ ავეჯი.

გამოკითხვამ აჩვენა, რომ სწორი პოლიდედონები საინტერესოა, ბევრს სურს ჩაერთოს ასეთი შემოქმედებითობა და რაც მთავარია - ეს ფიგურები პოულობენ მათ გამოყენებას საგანმანათლებლო საქმიანობაში და ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დასკვნა

ჩვენ შევხვდით მშვენიერ, სრულყოფილ და ჰარმონიულ ფიგურებს - რეგულარულ პოლიჰიდრონებს, შევიტყვეთ მეცნიერთა, მხატვრების სახელები, რომლებმაც თავიანთი ნამუშევრები მიუძღვნეს ამისათვის. კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ მათემატიკის წყარო არის ბუნებაში, ჩვენს გარშემო მყოფ რეალობაში.

ჩვენ შევიტყვეთ, თუ როგორ უნდა ჩამოაყალიბოთ რეგულარული პოლიჰედების მოდელები, შევისწავლეთ ხდომილობის ისტორია, მათი თვისებები, დავაფიქსირეთ კავშირი რეგულარული პოლიჰედრას ფორმებსა და ბუნებრივ საგნებს შორის, და ვიპოვნეთ გამოყენების ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ეს ციფრები სხვებისთვის საინტერესოა.

ამ ფიგურების მოდელებში შეგიძლიათ იხილოთ ფიზიკის, მათემატიკის, ქიმიის, ბიოლოგიის გაკვეთილები, როგორც საილუსტრაციო და ილუსტრაციური მასალა, ასევე მასალა დაინტერესებული პირების შემდგომი შესწავლისთვის.

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21

დანართი 1

რეგულარული პოლიედრასის მახასიათებლები

პოლიდედონის სახელი	ხედი	სახეების რაოდენობა	ვერტიკების რაოდენობა	ნეკნების რაოდენობა
ტეტრაიდრონი		4	4	6
კუბი		6	8	12
ოქტაიდრონი		8	6	12
Icosahedron		20	12	30
დოდეკედედონი		12	20	30

დანართი 2

ბროლის კვლევა

დანართი 3

საყოფაცხოვრებო მინდვრებში რეგულარული პოლიჰედრას ფორმების გამოყენება.

PPT / 13.63 Mb

ანტიკურ დროში სწორი პოლიდედონები მიიპყრო ფილოსოფოსებმა, მშენებლებმა, არქიტექტორებმა, მხატვრებმა, მათემატიკოსებმა. მათ დაარტყა ამ ფიგურების სილამაზე, სრულყოფილება და ჰარმონია.

რეგულარული პოლიდედრონი არის სამგანზომილებიანი ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა, რომლის ყველა სახე ერთნაირი რეგულარული მრავალკუთხედია და ვერტიკალურზე მყოფი ყველა პოლითერული კუთხე ერთმანეთის ტოლია. ბევრი რეგულარული პოლიგონია, მაგრამ მხოლოდ ხუთი რეგულარული პოლიჰედია. ამ პოლიჰედების სახელები ძველი საბერძნეთიდან მოდის და მათ რიცხვში მიუთითებს (თეთრა - 4, ჰექსა - 6, ოქტა - 8, დოდეკა - 12, ikosa - 20) სახეები (ედრა) .

ამ რეგულარულ პოლიდედრს პლატონური მყარი ეწოდებოდა ძველი ბერძენი ფილოსოფოსის, პლატონის სახელით, რომელმაც მათ მისტიკური მნიშვნელობა მისცა, მაგრამ მათ პლატონის ადრეც კი იცნობდნენ. ტეტრაჰედონი ახასიათებს ცეცხლს, რადგან მისი ზემო მიმართულება არის ზემოთ, ცეცხლის ცეცხლის მსგავსი. icosahedron - როგორც ყველაზე ნაკადი - წყალი; კუბი ფიგურათაგან ყველაზე სტაბილურია - დედამიწა, ხოლო ოკეჰედონი - ჰაერი. დოდეკადედონი იდენტიფიცირდა მთელ სამყაროსთან და აღიარებულია, როგორც ყველაზე მნიშვნელოვანი.

რეგულარული პოლიედრა გვხვდება ველურ ბუნებაში. მაგალითად, ფეოდაარიის უჯრედული ორგანიზმის ჩონჩხი იკონედრონის მსგავსია. პირიტის (პირიტული სულფიდი, FeS2) კრისტალს აქვს დოდეკედრონის ფორმა.

ტეტრაჰედონი არის ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდა, ხოლო ჰექსაიდრო არის კუბი - ფიგურები, რომლებთანაც მუდმივად ვხვდებით რეალურ ცხოვრებაში. სხვა პლატონური მყარი ფორმის უკეთესობისთვის, მათ თავად უნდა შექმნათ სქელი ქაღალდიდან ან მუყაოდან. ბრტყელი შაბლონის გაკეთება მარტივია. სწორი პოლიედრის შექმნა ძალზე გასართობია საკუთარი თავის ფორმირების პროცესში.

რეგულარული პოლიhedრის დასრულებული და უცნაური ფორმები ფართოდ გამოიყენება დეკორატიულ ხელოვნებაში. მოცულობითი ფორმები შეიძლება უფრო გასართობი გახდეს, თუ ბრტყელი რეგულარული მრავალკუთხედები წარმოდგენილია სხვა ფორმებით, რომლებიც მოთავსებულია მრავალკუთხედში. მაგალითად: ჩვეულებრივი პენტაგონი შეიძლება შეიცვალოს ვარსკვლავი. ასეთი მოცულობითი ფიგურა არ ექნება კიდეებს. თქვენ შეგიძლიათ შეაგროვოთ იგი ვარსკვლავების სხივების ბოლოების დამაგრებით. და 10 ვარსკვლავი აპირებს ბრტყელ სკანირებას. სამგანზომილებიანი ფიგურა მიიღება დარჩენილი 2 ვარსკვლავის დაფიქსირების შემდეგ.

თუ თქვენს შვილს უყვარს ხელნაკეთობების გაკეთება თავისი გამოცდილი ხელებით, შესთავაზეთ მას შეიკრიბეთ სამგანზომილებიანი ფიგურა პოლიდედრონის დოდეჰედრონის ბრტყელი პლასტიკური ვარსკვლავებისგან.  სამუშაოს შედეგი თქვენს შვილს აღფრთოვანებს: ის საკუთარი ხელით გახდის ორიგინალურ დეკორატიულ დიზაინს, რომელსაც შეუძლია დაამშვენებს ბავშვთა ოთახი. ყველაზე გასაოცარი ის არის, რომ openwork ბურთი ანათებს სიბნელეში. პლასტიკური ვარსკვლავები მზადდება თანამედროვე უვნებელი ნივთიერების - ფოსფორის დამატებით.

Polyhedra არის უმარტივესი ორგანოები სივრცეში, ისევე, როგორც პოლიგონები არის უმარტივესი ფიგურები თვითმფრინავში. ყოველდღიურად ვხვდებით მრავალმხრივ ფორმებს: მატჩის ყუთი, წიგნი, ოთახი, მრავალსართულიანი კორპუსი (ჰორიზონტალური სახურავით) - მართკუთხა პარალელეპიპედი; რძის პაკეტები-ტეტრაჰიდონები ან პარალელეპიპედები; სახის ფანქარი, თხილი იდეას აყენებს პრიზმებს (თუმცა, ყუთი ასევე არის ოთხკუთხა პრიზმი). მრავალი არქიტექტურული ნაგებობა ან მათი დეტალები პირამიდაა ან დამსკდარი პირამიდაა - კრემლის ცნობილ ეგვიპტურ პირამიდებს ან კოშკებს აქვთ ასეთი ფორმები. მრავალი მრავალმხრივი ფორმა, მაგალითად, "სახლი" ფიგურაში. 1 და "მრგვალი სახლი" ნახ. 2, არ აქვს სპეციალური სახელები. წმინდა გეომეტრიული თვალსაზრისით, პოლიედრონი არის სივრცის ის ნაწილი, რომელსაც ესაზღვრება ბრტყელი მრავალკუთხედები - სახეები. თავად მხარეებს და ვერტიკებს უწოდებენ თავად პოლიედრონის კიდეებს და ვერტიკებს. Facets ქმნიან ე.წ. მრავალმხრივ ზედაპირს. განსახილველად გამოვრიცხოთ ფიგურაში გამოსახული ტიპის მრავალმხრივი ფიგურები. 3, რომელსაც ჩვეულებრივ არ უწოდებენ პოლიდერას, შემდეგნაირად შეზღუდვებია დაწესებული პოლითერული ზედაპირზე:

1) თითოეული კიდე უნდა იყოს საერთო მხარე ორიდან, და მხოლოდ ორი, სახე, რომელსაც მიმდებარე ეწოდება;

2) ყოველი ორი სახე შეიძლება დაკავშირებული იყოს თანმიმდევრულად მიმდებარე სახის ჯაჭვით;

3) თითოეული ხერხემლისთვის, ამ ვერტმასის მახლობლად მოქცეული სახეების კუთხეები უნდა შეიზღუდოს პოლიეთილენის რამდენიმე კუთხით.

პოლიდერონს ეწოდება ამოზნექილი, თუ იგი იწევს თვითმფრინავის რომელიმე მხარეს მისი რომელიმე სახის სიბრტყეზე. ეს პირობა ექვივალენტია დანარჩენი ორიდან: 1) პოლიედონის ნებისმიერი ორი წერტილით მთავრდება სეგმენტი მთლიანად მრავალკუთხედშია, 2) პოლიედრონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც რამდენიმე ნახევარფაზის კვეთა.

ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიდედონისთვის, Euler– ის ფორმულა მოქმედებს (იხ. ტოპოლოგია), რომელიც ადგენს კავშირს ვერტიკების B, კიდეებს P და G– ს სახეებს შორის.

არაგვეზური პოლიჰედრისთვის ეს ურთიერთობა, ზოგადად რომ ვთქვათ, სიმართლეს არ შეესაბამება, მაგალითად, ნახ. 2; , მაშასადამე. რიცხვს ეწოდება Euler, რომელიც ახასიათებს პოლიდედონს და შეიძლება ტოლი იყოს . Euler- ის მახასიათებელი, უხეშად რომ ვთქვათ, რამდენი ხვრელი აქვს პოლიედრონს. ხვრელების რაოდენობა (ან).

პოლიდედრომებისთვის ვერტიკების (კუთხეები, მხარეები) რიცხვის უმარტივე კლასიფიკაცია არაეფექტურია. უმარტივესი პოლიდედა - ტეტრაჰიდრონები ან ტეტრაჰიდრონები - ყოველთვის შემოიფარგლება ოთხი სამკუთხა სახის. მაგრამ pentahedrons უკვე შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული ტიპები, მაგალითად: ოთხკუთხა პირამიდა შემოიფარგლება ოთხი სამკუთხედითა და ერთი ოთხკუთხედით (ნახ. 4, ა), ხოლო სამკუთხა პრიზმა შემოიფარგლება ორი სამკუთხედითა და სამი ოთხკუთხედით (სურათი 4, ბ). ხუთი მწვერვალის მაგალითებია ოთხკუთხა პირამიდა და სამკუთხა დიდერონი (ნახ. 4, გ).

ჩვენს ირგვლივ მსოფლიოში ყველაზე გავრცელებულ პოლითედრას, რა თქმა უნდა, განსაკუთრებული სახელები აქვს. ასე რომ, მეგრულ პირამიდას აქვს ბაზა და გვერდითი სამკუთხა სახეები სამკუთხედების საერთო ზედა ნაწილზე გადახვევისას (ნახ. 4, ა, სად); გონალური პრიზმა შემოიფარგლება ორი თანაბარი, პარალელური და თანაბრად გადანაწილებული ზოლებით - ბაზებით - და პარალელოგრამებით - ბაზის შესაბამისი მხარეების დამაკავშირებელი გვერდითი სახეებით (ნახ. 4, ბ, სად).

შუალედური პოზიცია პირამიდებსა და პრიზებს შორის იკავებს პირამიდებისგან მოპოვებული ნაკვეთი პირამიდებით, ბაზების პარალელურად თვითმფრინავით პატარა პირამიდების გათიშვით (ნახ. 5). კრისტალების ბუნებრივ ფორმებს შორის არსებობს დიადრონები, ანუ ბიპირამიდები, რომლებიც შედგება ორი პირამიდისგან, რომელთაც აქვთ საერთო ბაზა (ნახ. 4, გ). არქიმედემ ასევე მიიჩნია α- კუთხური ანტიპრიზმები, რომლებიც შემოზღუდულია ორი პარალელურად-კუთხით, მაგრამ ერთმანეთთან შედარებით და ერთმანეთთან შედარებით, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. 6, სამკუთხედები (დიდი ანტიპრიმი აქვს პიონერული დრამის მსგავსი - სურ. 6).

პოლიგონების მსგავსად, პოლიედრა ასევე კლასიფიცირდება მათი სიმეტრიის ხარისხის მიხედვით. პირამიდებს შორის, რიგითი მხარეები გამოირჩევიან: ძირში მათ აქვთ რეგულარული პოლიგონი, ხოლო სიმაღლე - პერპენდიკულურიდან, რომელიც შედგენილია ზემოდან საყრდენ თვითმფრინავამდე - ხვდება პირამიდის ფუძის ცენტრში.

პარალელოგრამის ანალოგი არის პარალელეპიპედი; პარალელოგრამის მსგავსად, პარალელეპიპედს აქვს სიმეტრიის ცენტრი, რომლის დროსაც ოთხივე დიაგონალი კვეთს და იყოფა ნახევარში (ვერტიკალების დამაკავშირებელი სეგმენტები, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სახეს). ბაზებში რეგულარული პრიზები აქვს რეგულარულ მრავალკუთხედებს ისე, რომ მათი ცენტრების გავლით ხაზი არის პერპენდიკულარული ბაზების სიბრტყეების მიმართ. ასევე უნდა იყოს განლაგებული რეგულარული კუთხოვანი ანტიპრიმიზმის საფუძვლები, მაგრამ მხოლოდ ერთი ფუძე უნდა შეიცვალოს კუთხესთან შედარებით. ყველა რეგულარულ პოლიჰედრას აქვს საკმაოდ ბევრი თვითრეგულირება - ბრუნვები და სიმეტრიები, რომლებიც თავად თარგმნიან პოლიდედრს. ყველა თვითრეგულირების ნაკრები, მათ შორის თვითმყოფადობა, ქმნის პოლიედრონის ეგრეთ წოდებულ სიმეტრიულ ჯგუფს. კრისტალოგრაფიაში არსებული სიმეტრიული ჯგუფების მიხედვით, კლასიფიცირდება ერთჯერადი კრისტალები, რომლებიც, როგორც წესი, აქვთ მრავალმხრივ ფორმას.

ზემოთ განხილული პოლიედრენების სიმეტრია და სისწორე არ არის სრულად - მათ შეიძლება ჰქონდეთ არათანაბარი სახეები, სხვადასხვა პოლიეთერული კუთხეები. გამონაკლისი არის სამი პოლიდედა: რეგულარული ტეტრაჰიდრონი - რეგულარული სამკუთხა პირამიდა თანაბარი კიდეებით, ესაზღვრება ოთხი რეგულარული სამკუთხედი (სურ. 7, ა); კუბი, ან რეგულარული ჰექსაიდრონი, არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, თანაბარი კიდეებით, ესაზღვრება ექვს კვადრატს (ნახ. 7, ბ); დაბოლოს, ოქტადრონი არის რეგულარული ოთხკუთხა დიედრონი, თანაბარი კიდეებით, რომელიც შემოზღუდულია რვა რეგულარული სამკუთხედის მიხედვით (სურ. 7, გ); octahedron ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ჩვეულებრივი სამკუთხა ანტიპრიმი თანაბარი კიდეებით. თვითნებური რეგულარული პირამიდებისგან განსხვავებით, პრიზმები, დიდერობები და ანტიპრიზმები - ტეტრაჰიდრონი, კუბი, ოქტაჰიდრონი ისეთია, რომ მათი ნებისმიერი ორი სახე (და ნებისმიერი ორი პოლიეთერული კუთხე) შეიძლება კომბინირებული იყოს მთელი პოლიჰედონის გარკვეული თვითრეგულირების გამოყენებით. გარდა ამისა, მათი პოლიეთერული კუთხეები რეგულარულია, ე.ი. აქვს თანაბარი ბრტყელი და თანაბარი ტაძრის კუთხეები.

თვითმფრინავში რეგულარული მრავალკუთხედების მსგავსად, შეიძლება განისაზღვროს რეგულარული პოლიედრა "ზოგადად": ეს არის ამოზნექილი პოლიჰედია, რომელიც შემოზღუდულია თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედებით და აქვთ თანაბარი რეგულარული პოლიეთერული კუთხეები. გამოდის, რომ ზემოხსენებული რეგულარული პოლიდედას სამი ტიპისა გარდა - რეგულარული ტეტრაჰიდრონი, კუბი და ოქტაჰიდრონი - რეგულარული პოლიდედის კიდევ ორი \u200b\u200bსახეობა არსებობს: დოდეკადედონი (თორმეტი ცალმხრივი) და იკოსედრონი (ოც ცალმხრივი), შესაბამისად შემოიფარგლება 12 რეგულარული პენტაგონი და 20 რეგულარული სამკუთხედი, - ლეღვი. 8, ა, ბ. ეს ორი პოლიჰედი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ერთმანეთთან, როგორც კუბი და ტეტრაჰიდრონი (იხ. კუბი): დოდეკედრონის სახეების ცენტრებია icosahedron– ის ვერტიკალები - ნახ. 9, - და პირიქით.

მხოლოდ ხუთი მართლაც რეგულარული პოლიდედის არსებობის ფაქტი საოცარია - თვითმფრინავში უსასრულოდ ბევრი რეგულარული პოლიგონია.

ყველა სწორი პოლიდერონი ცნობილი იყო ძველ საბერძნეთშიც, და ევქლიდის ცნობილი "დასაწყისი" -ის საბოლოო, XIII წიგნი მიეძღვნა მათ. ამ პოლიჰედებს ხშირად უწოდებენ პლატონური მყარიც - დიდი ძველი ბერძენი მოაზროვნის პლატონის მიერ მოცემული სამყაროს იდეალისტურ სურათში, ოთხი მათგანი წარმოადგენდა ოთხ ელემენტს: ტეტრაჰიდრონი - ცეცხლი, კუბი - დედამიწა, იკოსიედრონი - წყალი და ოქსეტრონი - ჰაერი; მეხუთე პოლიდედონი, დოდეკადედონი, სიმბოლოა მთელ სამყაროს - ლათინურად მათ უწოდეს quinta essentia ("მეხუთე არსი"). როგორც ჩანს, რთული არ იყო სწორი ტეტრაჰიდრონის, კუბის, ოქტაჰიდრონის წარმოება, მით უმეტეს, რომ ამ ფორმებს ბუნებრივი კრისტალები აქვთ, მაგალითად: კუბი არის ნატრიუმის ქლორიდის (NaCl) ერთი კრისტალი, ოქტაჰიდონი წარმოადგენს ალუმ-კალიუმის ალუმის ერთ კრისტალს. . არსებობს ვარაუდი, რომ ძველმა ბერძნებმა მიიღეს დოდეჰედრონის ფორმა პიროტის კრისტალების (პირისტული სულფიდის FeS) გათვალისწინებით. დიოდეკედრონის არსებობის პირობებში, არ არის რთული იკოსედონის აგება: როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მისი ვერტიკები იქნება დოდეკადედონის თორმეტივე სახის ცენტრები - ნახ. 9.