Inskriven tetraeder. Vad är skillnaden mellan en tetrahedron och en pyramid?

Tetrahedronen, eller triangulär pyramiden, är den enklaste av polyhedra, precis som en triangel är den enklaste av polygoner i ett plan. Ordet "tetrahedron" bildas av två grekiska ord: tetra - "fyra" och hedra - "bas", "ansikte". Tetrahedron ABCD definieras av dess fyra vertikaler - punkterna A, B, C, D, som inte ligger i samma plan; ansikterna på tetrahedronen är fyra trianglar; det finns sex revben vid tetrahedronen. I motsats till en godtycklig n-kolpyramid (för n ≥ 4) kan valfri yta på tetrahedronen väljas som bas.

Många egenskaper hos tetraedrar liknar motsvarande egenskaper hos trianglar. I synnerhet korsar 6 plan som dras genom mittpunkterna på kanterna på tetrahedronen vinkelrätt mot dem vid en punkt. På samma punkt korsar O också 4 raka linjer som dras genom mitten av de omkretsade om ytorna på cirklar vinkelrätt mot ytorna och O är centrum för den sfär som beskrivs nära tetrahedronen (Fig. 1). På liknande sätt korsar 6 halvfärgade halvplan i tetrahedronen, dvs halva plan som delar de dihedrala vinklarna vid kanterna av tetrahedronen i hälften, också i en punkt - i mitten av sfären inskriven i tetrahedronen - sfären som berör alla fyra ytor på tetrahedronen. Varje triangel har, utöver de inskrivna, ytterligare 3 inskrivna cirklar (se triangeln), men tetrahedronen kan ha valfritt antal - från 4 till 7 extra inskrivna sfärer, dvs de sfärer som berör planen för alla fyra ytorna på tetrahedronen. Det finns alltid fyra sfärer inskrivna i trunkerade trihedrala vinklar, varav en visas i fig. 2, till höger. Ytterligare tre sfärer kan skrivas in (inte alltid!) I avkortade dihedrala vinklar vid kanterna på tetrahedronen - en av dem visas i fig. 2, till vänster.

För en tetrahedron finns det en annan möjlighet att dess ömsesidiga arrangemang med sfären - beröring med en viss sfär med alla dess kanter (fig. 3). En sådan sfär - ibland kallad ”halvinskriven” - existerar endast när summan av längderna på motsatta kanter på tetrahedronen är lika: AB + CD \u003d AC + BD \u003d AD + BC (Fig. 3).

För alla tetraedrar är en analog av teoremet i skärningspunkten mellan medianerna i en triangel vid en punkt giltig. Nämligen korsar 6 plan som dras genom kanterna på tetrahedronen och mitten av de motstående kanterna i en punkt - i centrum av tetrahedronen (fig. 4). 3 "mittlinjer" passerar också genom centroid M - segmenten som förbinder mittpunkterna för tre par motstående kanter, och de delar punkten M i halva. Slutligen passerar fyra "medianer" av tetrahedronen också genom M - segmenten som förbinder hörnpunkterna med centroiderna på motsatta ytor, och de är indelade vid punkten M i förhållandet 3: 1, räknat från topparna.

Den viktigaste egenskapen hos en triangel - jämlikheten ∠A + ∠B + ∠C \u003d 180 ° (eller π) - har inte en rimlig "tetrahedral" -analog: summan av alla 6 dihedrala vinklar på en tetrahedron kan ta något värde mellan 2π och 3π. (Naturligtvis är summan av alla 12 planvinklarna på tetrahedronen - 3 vid varje toppunkt - oberoende av tetrahedronen och är lika med 4π.)

Trianglar klassificeras vanligtvis enligt sin symmetri: regelbundna eller liksidiga trianglar har tre symmetriaxlar, likben - en. Klassificeringen av tetrahedra enligt graden av symmetri är rikare. Den mest symmetriska tetraedern är regelbunden, avgränsad av fyra regelbundna trianglar. Den har 6 symmetriplan - de passerar genom varje revben vinkelrätt mot motsatta revben - och 3 symmetriaxlar som passerar genom mitten av de motstående ribborna (Fig. 5). Vanliga triangulära pyramider (3 symmetriplan, fig. 6) och lika tetraedrar (dvs tetraedrar med lika ytor - 3 symmetriaxlar, fig. 7) är mindre symmetriska.

Sammanfattningsvis ger vi två formler för att beräkna volymen på en tetraeder. De liknar inte de välkända formlerna för området för en triangel, men en viss analogi kan fortfarande spåras.

där höjden h D i detta fall är avståndet från toppunktet D till planet för ansiktet ABC.

där (∠AB) är den dihedrala vinkeln vid kanten AB. Det finns andra formler för att beräkna volymen på en tetrahedron.

Definition En tetrahedron är en polyhedron med fyra triangulära ytor, med 3 ansikten konvergerande vid varje toppunkt. Tetrahedronen har 4 ansikten, 4 vertikaler och 6 kanter. Ordet "tetrahedron" består av två grekiska ord: tetra- "fyra" och hedra- "bas", "ansikte".

Definitioner av median, bimedian (mellersta linjer) och höjden på tetrahedronen. Segmentet som förbinder toppvidden på tetrahedronen med skärningspunkten för medianerna i motsatt ansikte kallas dess median utelämnad från denna toppunkt. Segmentet som förbinder mittpunkterna på korsningen av tetrahedronen kallas dess bimedian, som förbinder kanterna. Det segment som förbinder vertex med punkten på motsatt yta och vinkelrätt mot detta ansikte kallas dess höjd, utelämnad från denna topp.

Typer av tetrahedra En isometrisk tetrahedron är en tetrahedron där alla ytor är lika trianglar. En ortocentrisk tetrahedron är en tetrahedron i vilken alla höjder släpps från topparna till motsatta ytor korsar varandra vid en punkt. En rektangulär tetrahedron är en tetrahedron där alla kanter intill en av topparna är vinkelräta mot varandra. En vanlig tetrahedron är en tetrahedron där alla ansikten är liksidiga trianglar. En jämn tetrahedron vars lika höjder är lika. En koncentrisk tetrahedron är en tetrahedron där segmenten som förbinder vertikorns toppar med centrum av cirklar inskriven i motsatta ytor korsar varandra vid en punkt.

Alla fyra ansikten på en vanlig tetrahedron är vanliga trianglar. Om kantlängden på en vanlig tetrahedron betecknas med a, kan du beräkna: Hel ytarea Radie för den beskrivna sfären Volym Vinkel på kanten Höjdvinkel på ansiktsradie Radie för den inskriven sfären Fast vinkel vid topppunkten Rätt tetrahedron

En tetrahedons egendom Var och en av dess toppar är spetsen av tre trianglar. Så summan av de plana vinklarna vid varje toppunkt kommer att vara lika med 180º. En oktaeder kan matas in i rätt tetraeder. Rätt tetrahedron kan skrivas in i icosahedron, dessutom kommer de fyra vertikalerna på tetrahedronen att vara i linje med de fyra vertikalerna på icosahedron. Rätt tetrahedron kan matas in i kuben på två sätt, dessutom kommer de fyra vertikalerna på tetrahedronen att anpassas till kubens fyra hörn.

Var används tetrahedronen? Tetra Classic® en kartong i form av en tetrahedron för lagring av mjölk, skapad 1950 av Tetra Pak. Sedan 1959 har den levererats och använts i stor utsträckning i Sovjetunionen, där dessa paket vanligtvis kallades "pyramider" eller "triangulära påsar". Pyramiderna hade två huvudstorlekar: stora (för mjölk och kefir) och mindre (för grädde). De var dekorerade på olika sätt beroende på typ av produkt. Det visade sig att det var bekvämt att lime en sådan tetraedra på transportören och skära bort ämnen för dem från en kartongslang.

Tetrahedroner i vilda djur Vissa frukter, fyra i ena handen, ligger vid topparna på tetrahedronen, som ligger nära den rätta. Denna design beror på det faktum att mitten av fyra identiska bollar som berör varandra ligger vid topparna på en vanlig tetrahedron. Därför bildar bollliknande frukter ett liknande arrangemang. Till exempel kan valnötter placeras på detta sätt.

Tetrahedroner i konstruktion Tetrahedronen bildar en styv, statiskt bestämbar struktur. En tetrahedron tillverkad av stavar används ofta som bas för rumsliga bärande strukturer i spann av byggnader, golv, balkar, takstolar, broar etc. Stänger upplever endast längsgående belastningar.

Hörnreflektor En hörnreflektor är en anordning i form av en rektangulär tetraedron med inbördes vinkelräta reflekterande plan. Strålning som kommer in i hörnreflektorn reflekteras i strikt motsatt riktning. Används: för exakt mätning av avstånd (för laserplats för månen, satellit, topografisk undersökning, konstruktion); för att returnera strålningen exakt tillbaka (reflektor, elektronisk krigföring).

Tetrahedroner i mikrotorn Metanmolekyl CH 4 Ammoniakmolekyl NH 3 Diamond C tetrahedron med en kant lika med 2.5220 ångström Fluorite CaF2, tetrahedron med en kant lika med 3, 8626 ångström Sphalerit, ZnS, tetrahedron med en kant lika med 3.823 ångströmkomplexjoner, 2, 2 - -, 2+ Silikater, som är baserade på kisel-syre-tetraeder 4-20

Tetrahedronen och pyramiden är polyeder eller stängda ytor som består av polygoner (vetenskaplig definition). Det finns ett oändligt antal polyeder, men vi kommer att bo på dessa två. Vad är skillnaden mellan en tetrahedron och en pyramid och vad är vanligt mellan dem? Låt oss titta närmare.

pyramid

pyramid   i många människors hjärnor är det starkt förknippat med de gamla egyptiska faraonernas gravar. De är faktiskt alla pyramider med en kvadratisk (eller nära kvadratisk) bas. Av vad som har sagts är det tydligt att det finns pyramider med baser av en annan form. En geometripyramid är en polyhedron, vars sidor (basen) är en godtycklig polygon (det vill säga den kan till och med ha en oregelbunden form), och resten av ansikten är trianglar med en gemensam topp.

Skillnaden mellan en tetrahedron och en pyramid är att det kan finnas valfritt antal sorter av det senare. Följande element i pyramiden skiljer sig och karaktäriserar dess form:

• sidoytor (trianglar som konvergerar upptill);
• bas;
• sidoribb (vanliga sidor på intilliggande ytor);
• höjd;
• apex;
• apotem (endast vanliga pyramider har detta element, det vill säga de vars bas är en vanlig (med lika sidor) polygon).

jämförelse

tetraeder   är den enklaste polyederen. Den har fyra ansikten och sex kanter, mindre är helt enkelt omöjligt. Ansikten är trianglar. Om alla är liksidiga kallas en sådan tetrahedron regelbunden. Följaktligen är en tetrahedron samtidigt en vanlig triangulär pyramid, vars bas kan vara vilken som helst av ansiktena. Tetrahedronen används i stor utsträckning inom teknik och är vanligt i djurlivet: frukt av vissa växter samlas i borsten med en sådan form.

Cellerna i vissa öppna metallstrukturer har också formen av en tetraeder - så att de bättre håller belastningen. Och i mikrovärlden är denna polyhedron vanlig. Till exempel är tetraederformen inneboende i ammoniakmolekylen. Vid "kungen av mineraler", diamant, i kristallgitteret, ligger var och en av kolatomerna i mitten av tetrahedronen, och de fyra närmaste atomerna fungerar som toppar. Det är denna struktur som gör diamant till det hårdaste mineral på jorden.

  I Sovjetunionen sålde de mjölk i paket i form av en tetrahedron

bord

Det är tydligt vad som är skillnaden mellan en tetrahedron och en pyramid: en tetrahedron är ett speciellt fall av en trihedral pyramid. Dess enkelhet blev grunden för skapandet av mycket styva strukturer, både naturliga (diamantkristallgitter) och konstgjorda (celler av metallstrukturer). Se resultatet av jämförelsen i tabellen nedan.

	pyramid	tetraeder
form	Basen är en polygon av godtycklig form, sidoytorna är trianglar med en gemensam topp	En pyramid med en triangulär bas, alla sidoytor överensstämmer med basen (vanlig tetrahedron), därför är de själva baserna (om tetrahedronen vänds)
Spred i naturen	Formen på den fyrkantiga pyramiden är inneboende i molekylerna i vissa föreningar	Tetraederen har formen av en ammoniakmolekyl, en kristallgitter av diamant, borstar av frukt av vissa växter (till exempel valnötter)
Tillämpning inom hushåll, teknik och konstruktion	Fyrkantiga pyramider är religiösa byggnader i ett antal forntida civilisationer (Maya, antika Egypten, Azteker)	Formen på den vanliga tetrahedronen var i påsar med mjölk i Sovjetunionen, celler i ett antal metallstrukturer har också denna form