To sa nazýva mnohosten, ktorého dve tváre. Dizajn a výskum: „Úžasné postavy: pravidelné mnohosteny

Obecná vzdelávacia inštitúcia

Gymnázium č. 26

geometria

Hlavné typy mnohostenov a ich vlastnosti

riadil:

Študent triedy 9-1

Baysakova Lyazzat

učiteľ:

Sysoeva Elena Alekseevna

Čeľabinsk

úvod

Viacúčelový povrch. mnohosten

pyramída

kváder

Objem tela

záver

Zoznam použitej literatúry

úvod

Doteraz sme sa v priebehu geometrie zaoberali planimetriou - študovali sme vlastnosti rovinných geometrických útvarov, to znamená, útvarov úplne umiestnených v rovine. Ale väčšina objektov okolo nás nie je úplne plochá, sú umiestnené vo vesmíre. Nazýva sa časť geometrie, v ktorej sa študujú vlastnosti čísel v priestore stereometria (z iných gréčtiny στερεός, „stereo“ - „solídny, priestorový“ a μετρέω - „miera“).

Hlavné postavy vo vesmíre sú bod, rovno  a lietadlo, Spolu s týmito najjednoduchšími obrázkami v stereometrii sa berú do úvahy geometrické útvary a ich povrchy. Pri štúdiu geometrických telies použite obrázky na výkrese.

Obrázok 1 Obrázok 2

Obrázok 1 zobrazuje pyramídu, obrázok 2 - kocka. Tieto geometrické telá sa nazývajú polyhedra.Zvážte niektoré typy a vlastnosti mnohostenov.

  Viacúčelový povrch. mnohosten

Polyhedrálny povrch je spojenie konečného počtu rovinných polygónov tak, že každá strana ktoréhokoľvek z polygónov je súčasne stranou iného (ale iba jedného) mnohouholníka, nazývaného vedľa prvého polygónu.

Z ľubovoľného polygónu, ktorý tvorí polyhedrálny povrch, môžete ísť k akémukoľvek inému a pohybovať sa pozdĺž susedných polygónov.

Polygóny, ktoré tvoria viacstenný povrch, sa nazývajú jeho tváre; strany polygónov sa nazývajú hrany a vrcholy sa nazývajú vrcholy polyhedrálneho povrchu.

Obrázok 1 zobrazuje spojenie polygónov, ktoré spĺňajú špecifikované požiadavky a sú mnohostennými povrchmi. Obrázok 2 zobrazuje obrázky, ktoré nie sú mnohostennými povrchmi.

Mnohostranný povrch rozdeľuje priestor na dve časti - vnútornú oblasť mnohostranného povrchu a vonkajšiu oblasť. Z dvoch vonkajších plôch bude jedna, v ktorej bude možné nakresliť priame čiary, ktoré úplne patria do oblasti.

5 Spojenie mnohostennej plochy a jej vnútornej oblasti sa nazýva mnohosten. Okrem toho sa polyhedrický povrch a jeho vnútorná oblasť nazývajú povrch a vnútorná oblasť mnohostenníka. Plochy, hrany a vrcholy povrchu mnohostenu sa nazývajú plochy, hrany a vrcholy mnohostenu.

pyramída

Polyhedron, ktorého jedna z tvárí je ľubovoľný mnohosten, a ostatné tváre sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol, nazývaný pyramída.

Mnohoúhelník sa nazýva základňa pyramídy a zostávajúce steny (trojuholníky) sa nazývajú bočné plochy pyramídy.

Rozlišujte trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď. pyramídy v závislosti od typu mnohouholníka ležiaceho na spodku pyramídy.

Trojuholníková pyramída sa tiež nazýva štvorstena. Obrázok 1 zobrazuje štvoruholníkový pyramídový SABCD so základňou ABCD a bočnými plochami SAB, SBC, SCD, SAD.

Strany bokov pyramídy sa nazývajú okraje pyramídy. Rebrá, ktoré patria do základne pyramídy, sa nazývajú rebrá základne a všetky ostatné rebrá sa nazývajú bočné rebrá. Spoločný vrchol všetkých trojuholníkov (bočné steny) sa nazýva vrchol pyramídy (na obrázku 1 je bod S vrcholom pyramídy, segmenty SA, SB, SC, SD sú bočné okraje, segmenty AB, BC, CD, AD sú okraje základne).

Výška pyramídy je segment kolmice nakreslený od vrcholu pyramídy S k rovine základne (konce tohto segmentu sú vrcholom pyramídy a základňou kolmice). Na obrázku 1 je SO výška pyramídy.

Správna pyramída. Pyramída sa nazýva pravidelná, ak je základňou pyramídy pravidelný mnohouholník a pravouhlá projekcia vrcholu na rovinu základne sa zhoduje so stredom mnohouholníka ležiaceho pri základni pyramídy.

Všetky bočné rebrá pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovnaké; všetky bočné steny sú rovnoramenné trojuholníky.

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, ktorá je nakreslená z jej vrcholu, sa nazýva apotém tejto pyramídy. Na obrázku 2 je SN apotém. Všetky apotémy správnej pyramídy sú si navzájom rovnaké.

hranol

Polyhedron, ktorého dve tváre sú rovnaké n- ležia v rovnobežných rovinách a ostatné n  tváre - rovnobežníky, zvané n-gonálny hranol.

prizmatický polyhedrický pyramídový hranol

Dvojica rovnakých n-gons nazval hranolové základne. Ostatné tváre hranolu sa nazývajú jeho bočné tváre a ich spojenie sa nazýva bočná plocha hranolu. Obrázok 1 zobrazuje päťuholníkový hranol.

Strany strán hranolu sa nazývajú hrany a konce hrán sa nazývajú vrcholy hranolu. Rebrá, ktoré nepatria do spodnej časti hranolu, sa nazývajú bočné rebrá.

Hranol, ktorého bočné rebrá sú kolmé na základné roviny, sa nazýva priamy hranol. V opačnom prípade sa hranol nazýva naklonený.

Segment kolmý na roviny hranolových základní, ktorého konce patria do týchto rovín, sa nazýva výška hranolu.

Priamy hranol založený na pravidelnom mnohouholníku sa nazýva pravidelný hranol.

kváder

Rovnobežník je šesťuholník, ktorého protiľahlé plochy sú párovo rovnobežné. kváder  má 8 vrcholov, 12 hrán; jeho plochy sú rovnobežníky rovnobežných párov.

kváder  sa nazýva rovný, ak jeho bočné okraje sú kolmé na rovinu základne (v tomto prípade sú 4 bočné plochy obdĺžniky); obdĺžnikový, ak je to kváder  obdĺžnik je priamka a základňa (preto je 6 stien obdĺžnikmi);

kváder, ktorých všetky tváre sú štvorce, nazývané kocka.

objem kváder  rovná sa produktu plochy jeho základne z výšky.

Objem tela

Každý mnohosten má objem, ktorý je možné merať pomocou vybranej jednotky merania objemov. Na jednotku merania objemu sa odoberie kocka, ktorej okraj sa rovná jednotke merania segmentov. Nazýva sa kocka s okrajom 1 cm kubický centimeter, Podobne definované kubický metera kubický milimeteratď.

V procese merania objemov s vybranou jednotkou merania je objem tela vyjadrený kladným číslom, ktoré ukazuje, koľko jednotiek merania objemov a ich častí zapadá do tohto telesa. Číslo vyjadrujúce objem tela závisí od výberu jednotky merania objemu. Preto je za týmto číslom uvedená jednotka merania objemu.

Hlavné vlastnosti zväzkov:

1. Rovnaké telá majú rovnaké objemy.

2. Ak je telo zložené z niekoľkých orgánov, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto orgánov.

Na nájdenie objemov tiel je v niektorých prípadoch vhodné použiť tzv princíp Cavalieri.

Princíp Cavalieri je nasledujúci: ak sa v priesečníku dvoch telies s akoukoľvek rovinou rovnobežnou s niektorou danou rovinou získajú rezy rovnakej plochy, potom sa objemy telies navzájom rovnajú.

  záver

Polyhedra študuje časť geometrie nazývanú stereometria. Polyhedra prichádzajú v rôznych druhoch (pyramída, hranol atď.) A majú rôzne vlastnosti. Malo by sa tiež poznamenať, že polyhedra má na rozdiel od rovinných útvarov objem a je umiestnená v priestore.

Väčšina objektov okolo nás je vo vesmíre a štúdium polyhedry nám pomáha získať predstavu o realite, ktorá nás obklopuje z hľadiska geometrie.

  Zoznam použitej literatúry

1. Geometria. Učebnica pre ročníky 7-9.

3. Wikipedia

5. Slovník

26 Abstraktná geometria Hlavné typy polyhedry a ich vlastnosti Realizované: ročník 9-1 študent Baysakova Lyazzat Učiteľ: Sysoeva Elena Ale

Dizajnové a výskumné práce:

"Úžasné postavy: pravidelný mnohosten."

Stručná anotácia.

Tento rok sme v triedach matematického kruhu študovali pravidelný mnohosten, ktorý sa tiež nazýva platonické tuhé látky. Pri ich modeloch nás prekvapilo nezvyčajné a krásne niektoré z nich. Pomocou skenov sme sa naučili, ako tieto čísla zostaviť. Ale na vytvorenie skenovania musíte mať komplex matematických vedomostí, kresliacich schopností, priestorového myslenia.

Rozhodli sme sa dozvedieť viac o správnom mnohostene, zoznámiť sa s históriou ich vzhľadu, naučiť sa ich optimálne, ľahko a rýchlo stavať, skúmať ich úlohu vo svete okolo nás a nakoniec zistiť, či sú tieto čísla a vedomosti o nich pre nás užitočné v praktickom živote.

Účel štúdie:

Ciele výskumu:

- študovať informačné zdroje na túto tému;

-

Predmet štúdia: tie správnepolyhedra.

Predmet výskumu: h

Metódy výskumu:

-

- sledovanie;

dotazníky;

- praktická práca.

Pri tejto téme sme splnili všetky ciele a ciele, ktoré sme si sami stanovili:  naučili sa, ako zostavovať modely pravidelných mnohostenov, študovali históriu výskytu, ich vlastnosti, našli spojenie medzi formami pravidelných mnohostenov a prírodnými objektmi a našli uplatnenie v každodennom živote. Zabezpečili sme, aby tieto čísla boli zaujímavé pre ostatných. Okrem toho sme sa naučili riešiť niektoré matematické problémy pomocou kompasu a pravítka, čím sme zlepšili naše zručnosti v kreslení a matematické znalosti. To je pre nás veľmi užitočné, pretože už budúci rok musíme študovať geometriu.

Výsledkom praktickej práce bolo zlepšenie jemných pohybových schopností rúk, rozvíjanie fantázie a fantázie, tvrdá práca a vytrvalosť pri dosahovaní našich cieľov.

Obsah.

Úvod. 4

Koncept pravidelného mnohostena 5-6

Z histórie polyhedry 6-7

Používanie formulárov a používanie pravidelných mnohostenov 7-9

Tvorba pravidelného mnohostenov 9-10

Záver. 11

Zoznam zdrojov informácií. 12

Dodatok 13-18

úvod

V našom svete, veľa nezvyčajných a krásnych. Sme obklopení predmetmi, ktorých formy nás prekvapujú. Takými sú napríklad bežné mnohosteny. Tieto postavy majú krásu, dokonalosť tvarov a príťažlivosť.

Od útleho detstva sa už stretávame s pravidelnými mnohostenmi, hráme na kocky a vyvíjame staviteľov, riešime hádanky Rubikovej kocky a jej odrôd. Architekti, stavitelia a dizajnéri stelesňujú svoje originálne nápady pomocou týchto obrázkov.

Tento rok sme v triedach matematického kruhu študovali pravidelný mnohosten, ktorý sa tiež nazýva platonické tuhé látky.  V učebniciach o geometrii pre stredoškolské štúdium sú uvedené veľmi zlé informácie o polyhedre. K tejto téme je navrhnutých len veľmi málo problémov, preto nie sú možnosti tejto témy vôbec odhalené. Teoreticky je však veľmi bohatá, umožňuje nám formulovať veľa zaujímavých problémov. Riešenie navrhovaných problémov nám umožní vidieť, že určité stavebné techniky pomáhajú výrazne zjednodušiť samotnú stavbu aj pochopenie vlastností obrázku.

Štúdiom vlastností týchto figúr, zostavovaním ich snímok, skladaním mnohostenov sme si uvedomili, že to pre nás bolo zaujímavé.Rozhodli sme sa dozvedieť sa viac o bežných mnohostenách, zoznámiť sa s históriou ich vzhľadu, preskúmať ich úlohu vo svete okolo nás a nájsť ich praktické uplatnenie.

hypotéza:   Bežný mnohosten je harmonický a ziskový tvar a môže sa široko používať.

Účel štúdie:   rozširovanie okruhu vedomostí o pravidelných mnohostenách, štúdium praktických aplikácií vo vonkajšom svete.

Ciele výskumu:

- študovať literárne zdroje na túto tému;

Vytvorte zbierku pravidelných mnohostenov a sledujte ich záujem.

- nájsť príklady pravidelných mnohostenov v prírodnom prostredí av domácom prostredí;

Dokážte, že formy bežného mnohostenu sú použiteľné v každodennom živote.

Predmet štúdia: tie správnepolyhedra.

Predmet výskumu: h začiatok a uplatňovanie týchto údajov

Metódy výskumu:

- vyhľadávanie, zhromažďovanie a spracovanie informácií na danú tému

- sledovanie;

- praktická práca.

dotazníky;

Koncept pravidelného mnohostena.

mnohosten   - to sú najjednoduchšie postavy v priestore, napríklad polygóny - najjednoduchšie postavy v rovine. Ak uvažujeme polyhedron z hľadiska geometrie, je to časť priestoru ohraničená plochými polygónmi nazývanými tváre. Strany a vrcholy stien sa nazývajú hrany a vrcholy samotného mnohostenu.

Bežný mnohosten je obrázok, ktorý má nasledujúce vlastnosti:

Je vypuklý;

Všetky jeho tváre sú rovnaké pravidelné polygóny;

Na každom z jeho vrcholov sa zbližuje rovnaký počet tvárí;

Všetky jeho stredové uhly sú rovnaké.

Je dokázaná existencia iba piatich pravidelných mnohostenov.

štvorsten   pozostáva zo štyroch rovnostranných trojuholníkov. Každý z jeho vrcholov je vrcholom troch trojuholníkov.
Kocka (hexahedron) pozostáva zo šiestich štvorcov. Každý vrchol kocky je vrchom troch štvorcov.
octahedron  pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol osemstena je vrcholom štyroch trojuholníkov.
dodecahedron  pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov. Každý vrchol dodekahedronu je vrcholom troch pravidelných päťuholníkov.
icosahedronpozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol icosahedronu je vrchol piatich trojuholníkov.

Názvy týchto čísel sú veľmi ľahko zapamätateľné. Preložené z gréčtiny, „edra“ znamená tvár, „tetra“ - 4, „hexa“ - 6, „okta“ - 8, „icosa“ - 20, „dodeca“ - 12.

Hlavnými charakteristikami mnohostenu sú počet a typ plôch, počet vrcholov a počet hrán. Tieto charakteristiky pre pravidelnú polyhedru sú uvedené v tabuľke (Dodatok 1)

Po dôkladnom preštudovaní obsahu tabuľky sme videli vzor: ak sa počet hrán uvažovaného mnohostenu zvýši o 2, dostaneme číslo rovnajúce sa súčtu počtu plôch a vrcholov tohto mnohostenu. Toto pravidlo formulujeme takto:„Súčet stien a vrcholov sa rovná počtu hrán zvýšených o 2“, tj Г + В \u003d Р + 2.

doprava mnohosten	ČÍSLO GRAN + TOP	NUMBER RIBS
tetraéderov	4 + 4 = 8	6
KUB	6 + 8 = 14	12
octahedra	8 + 6 = 14	12
dodecahedron	12 + 20 = 32	30
icosahedron	20 + 12 = 32	30

Objavili sme teda vzorec, ktorý prvýkrát odvodila René Descartesová v roku 1640 a neskôr ju znovu objavila Euler v roku 1752, od ktorej odvtedy nesie meno. Eulerov vzorec platí pre všetky konvexné mnohosteny.

Z histórie polyhedry.

Ľudstvo vie o pravidelných mnohostenách už dlho. Ich ozdobné vzory nájdete na vyrezávaných guľkách z kameňov, ktoré sa objavili v Škótsko , dlho predtým, ako ich Plato objavil. Rôzne kocky toho času sa tiež podobajú pravidelným mnohostenom.

Dokonca aj vtedy ľudia používali bronzové analógy týchto úžasných postáv.

Vyznamenanie za objav a podrobné štúdium pravidelných mnohostenov sa pripisuje starogréckym učencom. V niektorých zdrojoch nájdete informácie, ktoré Pythagoras prvýkrát identifikoval. Iné zdroje tvrdia, že poznal iba štvorsteny, kocky a dodekahedrony, zatiaľ čo oktaedron a ikosedron boli objavené atéskou Teetet, ktorá tiež opísala všetkých päť pravidelných mnohostenov.

Venoval značnú pozornosť pravidelnému mnohostenu plato na ich počesť sa volajú „platonické tuhé látky“. S každým zo štyroch prvkov Zeme, Vzduchu, Voda a Oheň spájal určitý pravidelný mnohosten. Kocka alebo Hexahedron bol pre Zem, Octahedron pre vzduch, Icosahedron pre vodu a Tetrahedron pre oheň. Takéto porovnanie je veľmi ľahké vysvetliť: ohnivé teplo sa pociťuje jasne a ostro ako malé štvorsteny; vzduch sa skladá z oktaedrónov: jeho najmenšie zložky sú rovnako hladké ako kvapky vody, ku ktorým sú ikosedróny najviac podobné; na rozdiel od vody tvoria stabilné kocky zem. Pokiaľ ide o piaty prvok, dodekandedón, Platón napísal: „... jeho boh sa identifikoval pre vesmír a uchýlil sa k nemu ako vzor.“

Euclid poskytol úplný matematický opis piatich pravidelných mnohostenov a preukázal, že neexistujú žiadne ďalšie pravidelné mnohosteny.

Platónove predstavy o spojení pravidelného mnohostenu s harmonickým usporiadaním sveta pokračovali v našej dobe. V 80. rokoch. Moskovskí inžinieri V. Makarov a V. Morozov vyjadrili zaujímavú vedeckú hypotézu: jadro Zeme má tvar a vlastnosti rastúceho kryštálu, ktorý má aktívny vplyv na prírodné procesy vyskytujúce sa na planéte. Sila poľa lúčov tohto kryštálu tvorí icosahedral-dodecahedronovú štruktúru Zeme. Prejavuje sa v tom, že tak ako to bolo, objavujú sa projekcie pravidelných mnohostenov vpísaných na zemeguli: v zemskej kôre: ikosedron a dodekahedron.

Je dokázané, že veľa ložísk nerastných surovín sa nachádza hneď vedľa siete ikosahedrálno-dodekahedrónov: 62 vrcholov a stredov okrajov mnohostenov má špeciálne vlastnosti, ktoré umožňujú vysvetliť mnoho javov na našej planéte. Nachádza sa tu strediská najstarších kultúr a civilizácií: Peru, Severné Mongolsko, Haiti, Ob kultúra a ďalšie. V týchto bodoch, maximách a minimách atmosférického tlaku, sa pozoruje obrovská turbulencia oceánov. V týchto uzloch sú jazero Loch Ness, trojuholník Bermudy.

Používanie formulárov a pravidelná polyhedra.

Správne mnohosteny sú najziskovejšie tvary. Ľudia a príroda to široko využívajú. Potvrdzuje to tvar niektorých kryštálov. Napríklad kryštály soli majú tvar kocky. Presvedčili sme sa o tom skúmaním kryštálov soli v elektrónovom mikroskope v biologickom kabinete(Dodatok 2)

A ako  Svet kryštálov, ktoré sú prírodnou polyhedrou, je rozmanitý.Žijeme vo svete kryštálov: prechádzame okolo kryštálov, budujeme z kryštálov, spracovávame kryštály v továrňach, pestujeme kryštály v laboratóriách, vyrábame zariadenia a výrobky z kryštálov, široko používame kryštály vo vede a technike, jeme kryštály a liečime ich kryštálmi. V kancelárii geografie sme našli kryštály skalného kryštálu a kremeňa so šesťuholníkovým prizmatickým povrchom. Tento minerál má liečivé vlastnosti. Predtým bol tento kameň pre malé deti zavesený na hrudi a priviazaný na lane, aby dieťa nezachytilo prechladnutie a nevychladlo. Tiež sme sa ubezpečili, že kryštály draselnej soli majú tvar hexahedrónu. Tento minerál sa používa na výrobu minerálnych hnojív.

Mnohosté baktérie a vírusy sú mnohostenmi. Všetky však majú tvar ikosahedrálny alebo dodekahedrónový. Napríklad kostra jednobunkového organizmu feodárie pripomína tvar ikosedronu.

Zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom tvárí je to najväčší objem s najmenšou plochou. Táto vlastnosť pomáha morskému telu prekonať tlak vodného stĺpca.

Väčšina feudárií žije v hlbokom mori a slúži ako korisť pre koralové ryby. Najjednoduchšie zviera sa však chráni ihlami vychádzajúcimi z vrcholov kostry. Vyzerá to skôr ako hviezdny mnohosten.

Harmónia a jednoduchosť bežného polyhedra nám umožnila vytvoriť sériu hračiek, hádaniek a dizajnérov. Pri hraní na tieto hračky rozvíjame logické myslenie, fantáziu a zlepšujeme jemné motorické schopnosti našich rúk.

V matematickej triede sme pred vývojom a prilepením polyhedronu z papiera zostavili vývoj a správny polyhedron pomocou magnetického konštruktora.

Tvary pravidelných mnohostenov sa používajú aj v domácnostiach a na balenie tovaru: sáčky na čaj a mlieko, škatule a rôzne suveníry atď. Vyšli sme na exkurziu do múzea Sarsinského stredného učilišťa, kde sme videli suveníry vo forme kocky a štvorstenu s hrsťami krajiny dlhotrvajúceho Leningradu, dnes sv. Petersburg - povojnový dar z Leningradskej sklárne, ktorý bol počas Veľkej vlasteneckej vojny evakuovaný do Sarsu.

A aké neobvyklé a odvážne myšlienky stelesňujú architekti, stavitelia a dizajnéri, ktorí používajú formy bežného mnohostenu. Na internete sme našli veľa fotografií o tom, ako sa tieto úžasné postavy používajú pri stavbe budov, pri navrhovaní parkov a pri navrhovaní riešení interiéru domácnosti.  (Dodatok 3)

Umelci z rôznych období sa neustále zaujímajú o štúdium a obraz polyhedry. Vrcholom tohto záujmu je, samozrejme, renesancia. Pri štúdiu prírodných javov sa umelci snažili nájsť metódy ich zobrazenia, opodstatnené z hľadiska vedy. Učenie o perspektíve, šerosvite a rozmeroch,postavený na matematike, optike, anatómii, stal sa základom nového umenia. Umožnili umelcovi vytvoriť trojrozmerný priestor v rovine, aby dosiahli pocit objemu a reliéfu objektov. Pre niektorých majstrov bol polyhedra veľmi pohodlným modelom pre honbovanie ovládnutia perspektívneho obrazu. Tam boli tí, ktorí úprimne obdivovali ich symetriu a lakonickú krásu., Mal rád polyhedru a často ich písal na jeho plátna slávnym Leonardom da Vinci (1452 - 1519). Obrazmi polyhedronov obohatil knihu svojho božského mnícha Luka Palochiho (1445 - 1514) „O božskom pomere“.

Salvador Dalí v maľbe „Posledná večera“ vykreslil Ježiša Krista so svojimi učeníkmi na pozadí veľkého priehľadného dodekahedrona.

V XIII-XVII storočia. polyhedra boli základom architektonických štruktúr, najčastejšie sa používali kocky, ale ako sa vyvíjali, používali sa aj iné typy mnohostenov, ako napríklad tetraedrón a oktaedron.

Polyhedra je dnes hlavným objavom ľudstva. Neustále sme obklopení polyhedrónmi: mnoho predmetov pre domácnosť je vo forme mnohostenov, všetky architektonické štruktúry sú postavené v štýle mnohostranných modelov.

Výroba modelov polyhedry.

Stretli sme sa a použili túto metódu výroby modelov polyhedry, ktorá sa nazýva metóda vývoja.

Najčastejšie sa pri vytváraní modelov polyhedry z plochých výstružníkov používa výstružník, v ktorom plochy priliehajú k sebe s hranami, a model sa skonštruuje ohýbaním výstružníkov pozdĺž týchto hrán. Napríklad pri vytváraní modelov pravidelných mnohostenov sa najčastejšie používajú nasledujúce cykly(Dodatok 4)

Môžete zrezať každú tvár osobitne a potom ich prilepiť na mnohosten. Táto metóda šetrí spotrebný materiál.

Okrem výroby polyhedry pomocou skenovania existujú aj iné spôsoby konštrukcie týchto čísel. Ide napríklad o výrobu platonických tuhých látok tkaním za použitia origami. Tieto metódy vám umožňujú vytvárať úžasne krásne vzory. Na exkurzii na Sarsinsky strednú školu sme skutočne videli, aké úžasné postavy sa ukážu a dostali majstrovskú triedu na výrobu toho pravého polyhedra pomocou techniky origami (Prilozhenie5)

Vytvorili sme tak kolekciu pravidelných mnohostenov a niektorí z nich našli vlastnú praktickú aplikáciu. Napríklad 12 tvárí dodekahedrónu sa môže použiť ako stolný kalendár a akýkoľvek iný polyhedron môže byť navrhnutý ako vianočná hračka alebo ako fotoalbum s rôznymi témami obsahu.

A tu to máme!

Okrem toho sme usporiadali výstavu našej práce v triede a vykonali malý prieskum v 1., 5., 8. a 11. ročníku.

Stretli ste sa už s pravidelnými mnohostenmi? Ak áno, tak kde?

Zaujímajú vás tieto čísla? Ak áno, ktoré?

Chcete sa ich pokúsiť vyrobiť sami?

Čo si myslíte: kde sa dá nájsť forma bežného mnohostenu?

Zo 64 respondentov sa takmer všetci študenti predtým stretli so správnymi polyhedrónmi: vo forme hračiek, suvenírov, balíkov predmetov, lustre, vizuálnych pomôcok v matematickej miestnosti.

Všetci účastníci prieskumu mali radi prezentované údaje a prví a piati porovnatelia mali radi najmä tie, ktoré ešte neboli vypracované, pretože sa chceli s týmito údajmi snívať a vymyslieť si niečo vlastné. Najzaujímavejšie boli dodekahedron (44 študentov) a ikosedron (52 študentov), \u200b\u200bpretože sú nezvyčajné a krásne a chceli by sa naučiť, ako ich vyrobiť. Vysvetlili sme, ako to urobiť a že to nie je ťažké a čo je najdôležitejšie, užitočná činnosť, pretože sa rozvíjajú jemné motorické ruky, predstavivosť a tvorivé schopnosti. Na otázku, kde nájsť uplatnenie pre tieto čísla, sme dostali širokú škálu odpovedí: kŕmidlá pre vtáky, rakvy, suveníry, šperky a dokonca aj nábytok.

Prieskum ukázal, že správne polyhedróny sú zaujímavé, mnohí sa chcú do takejto kreativity zapojiť a čo je najdôležitejšie - tieto čísla nachádzajú uplatnenie vo vzdelávacích činnostiach a v každodennom živote.

Záver.

Stretli sme sa s krásnymi, dokonalými a harmonickými postavami - pravidelnými mnohostenmi, naučili sme sa mená vedcov, umelcov, ktorí tomu venovali svoje diela. Opäť sme boli presvedčení, že zdroje matematiky sú v prírode, v realite, ktorá nás obklopuje.

Naučili sme sa, ako zostavovať modely pravidelných mnohostenov, študovať históriu výskytu, ich vlastnosti, nájsť spojenie medzi formami pravidelných mnohostenov a prírodnými objektmi a nájsť uplatnenie v každodennom živote. Zabezpečili sme, aby tieto čísla boli zaujímavé pre ostatných.

Modely týchto obrázkov môžu nájsť uplatnenie v hodinách fyziky, matematiky, chémie, biológie ako ilustratívny a ilustračný materiál, ako aj materiál na ďalšie štúdium všetkých zúčastnených.

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21

Dodatok 1

Charakteristiky pravidelného mnohostenu

Názov mnohostenu	vyhliadka	Počet tvárí	Počet vrcholov	Počet rebier
štvorsten		4	4	6
kocky		6	8	12
octahedron		8	6	12
icosahedron		20	12	30
dodecahedron		12	20	30

Dodatok 2

Krištáľový výskum

Dodatok 3

Využitie foriem pravidelného mnohostenu v poľných domácnostiach.

PPT / 13,63 Mb

Správne mnohosteny zo staroveku priťahovali pozornosť filozofov, staviteľov, architektov, umelcov, matematikov. Boli zasiahnutí krásou, dokonalosťou, harmóniou týchto postáv.

Pravidelný mnohosten je trojrozmerný konvexný geometrický útvar, ktorého všetky tváre sú rovnaké pravidelnými mnohouholníkmi a všetky polyhedrálne uhly vo vrcholoch sú navzájom rovnaké. Existuje mnoho pravidelných polygónov, ale iba päť pravidelných mnohostenov. Mená týchto mnohostenov pochádzajú zo starovekého Grécka a označujú počet (tetra - 4, hexa - 6, okt - 8, dodeca - 12, ikosa - 20) tvárí (edra). ,

Tieto pravidelné polyhedry sa nazývali platonické tuhé látky podľa mena starogréckeho filozofa Platóna, ktorý im dal mystický význam, ale boli známe ešte pred Platónom. Štvorstenový zosobnený oheň, pretože jeho vrchol je nasmerovaný nahor, ako horiaci plameň; icosahedron - ako najefektívnejšia - voda; kocka je najstabilnejšia z čísel - zeme a z oktaedrónu - vzduchu. Dodekandron bol identifikovaný s celým vesmírom a bol uctievaný ako najdôležitejší.

Pravidelná mnohosten sa vyskytuje v divočine. Napríklad kostra jednobunkového organizmu feodárie pripomína tvar ikosedronu. Kryštál pyritu (sulfid pyritu, FeS2) má formu dodekahedrónu.

Tetrahedron je pravidelná trojuholníková pyramída a hexahedron je kocka - postavy, s ktorými sa neustále stretávame v skutočnom živote. Aby ste lepšie cítili tvar iných platonických tuhých látok, mali by ste ich vytvoriť sami z hrubého papiera alebo lepenky. Vytvorenie plochého vzoru je jednoduché. Vytváranie správnej mnohosteny je veľmi zábavné procesom formovania sa.

Dokončené a bizarné formy bežného mnohostenu sa v dekoratívnom umení často používajú. Objemové tvary môžu byť zábavnejšie, ak sú ploché pravidelné polygóny reprezentované inými tvarmi, ktoré sa zmestia do mnohouholníka. Napríklad: bežný päťuholník môže byť nahradený hviezdou. Takáto objemná postava nebude mať hrany. Môžete ich zhromaždiť zviazaním koncov lúčov hviezd. A 10 hviezd sa chystá na ploché skenovanie. Po stanovení zvyšných 2 hviezd sa získa trojrozmerná postava.

Ak vaše dieťa rád robí remesla svojimi zručnými rukami, ponúknite mu zostaviť trojrozmernú postavu mnohostenu dodekahedronu z plochých plastových hviezd.  Výsledok práce poteší vaše dieťa: z vlastných rúk urobí originálny dekoratívny dizajn, ktorý ozdobí detskú izbu. Najpozoruhodnejšie však je, že loptička prelamované v tme svieti. Plastové hviezdy sa vyrábajú pridaním modernej neškodnej látky - fosforu.

Polyhedra sú najjednoduchšie telá vo vesmíre, rovnako ako mnohouholníky sú najjednoduchšie postavy v rovine. Denne vidíme mnohostranné tvary: krabica na zápalky, kniha, miestnosť, viacpodlažná budova (s vodorovnou strechou) - obdĺžnikové rovnobežné rúrky; mliečne balíčky - štvorsteny alebo rovnobežné rúrky; fazetová ceruzka, matica dávajú predstavu o hranoloch (krabica je však tiež hranolovitý hranol). Mnoho architektonických štruktúr alebo ich detailov sú pyramídy alebo skrátené pyramídy - také formy majú slávne egyptské pyramídy alebo veže Kremľa. Mnoho mnohostranných tvarov, napríklad „dom“ na obr. 1 a „okrúhly dom“ na obr. 2, nemajú špeciálne názvy. Z čisto geometrického hľadiska je polyhedron súčasťou priestoru ohraničeného plochými polygónmi - plochami. Strany a vrcholy stien sa nazývajú hrany a vrcholy samotného mnohostenu. Fazety tvoria takzvaný mnohostranný povrch. Aby sa z úvahy vylúčili mnohostranné obrázky typu znázorneného na obr. 3, ktoré sa bežne nenazývajú polyhedrou, sa na viacstenný povrch zvyčajne ukladajú tieto obmedzenia:

1) každá hrana by mala byť spoločnou stranou dvoch a iba dvoch plôch, nazývaných susedné;

2) každé dve steny môžu byť spojené reťazou postupne susedných plôch;

3) pre každý vrchol musia uhly stien susediacich s týmto vrcholom obmedzovať určitý polyhedrálny uhol.

Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny ktorejkoľvek jeho tváre. Táto podmienka je ekvivalentná každému z ďalších dvoch: 1) segment s koncami v ľubovoľných dvoch bodoch polyhedronu leží úplne v polyhedróne, 2) polyhedron môže byť reprezentovaný ako priesečník niekoľkých polpriestorov.

Pre každý konvexný mnohosten je platný Eulerov vzorec (pozri. Topológia), ktorý vytvára spojenie medzi počtom vrcholov B, hranami P a plochami G:

V prípade nekonvexných mnohostenov tento vzťah všeobecne neplatí napríklad pre polyhedrálny povrch znázornený na obr. 2; ,, preto. Číslo sa nazýva Eulerova charakteristika mnohostenu a môže sa rovnať , Eulerova charakteristika zhruba ukazuje, koľko „dier“ má mnohosten. Počet dier (alebo).

Najjednoduchšia klasifikácia podľa počtu vrcholov (uhlov, strán) polyhedronov je neúčinná. Najjednoduchšie mnohosteny - štvorsteny alebo štvorsteny - sú vždy obmedzené štyrmi trojuholníkovými plochami. Pentahedróny však môžu byť už napríklad úplne rôznych typov: štvoruholníková pyramída je obmedzená štyrmi trojuholníkmi a jedným štvoruholníkom (obr. 4, a) a trojuholníkový hranol je obmedzený dvoma trojuholníkmi a tromi štvoruholníkmi (obr. 4, b). Príkladmi piatich píkov sú kvadrangulárna pyramída a trojuholníkový dihedron (obr. 4, c).

Najbežnejšia polyhedra na svete okolo nás má, samozrejme, špeciálne názvy. Preto má -gonálna pyramída na spodnej strane a-bočné trojuholníkové plochy, ktoré sa zbiehajú v spoločnej hornej časti trojuholníkov (obr. 4, a, kde); - hranatý hranol je ohraničený dvoma rovnakými, rovnobežnými a rovnomerne rozmiestnenými uholníkmi - základnami - a rovnobežníkmi - bočnými plochami spájajúcimi príslušné strany základne (obrázok 4, b, kde).

Medziľahlá poloha medzi pyramidami a hranolmi je obsadená skrátenými pyramidami získanými z pyramíd pomocou odrezania menších pyramíd s rovinami rovnobežnými so základňami (obr. 5). Medzi prírodné formy kryštálov patria dihedróny alebo bipyramidy, ktoré sa skladajú z dvoch pyramíd so spoločnou bázou (obr. 4, c). Archimedes tiež považoval a-uhlové antiprizmy ohraničené dvoma rovnobežnými uhlami, ktoré sa však voči sebe otočili a spojili, ako je znázornené na obr. 6, trojuholníky (s veľkým antiprizmom sa podobajú priekopníckemu bubnu - obr. 6).

Podobne ako polygóny, aj polyhedra sa klasifikuje podľa stupňa symetrie. Spomedzi pyramíd sa rozlišujú pravidelné: na základni majú pravidelný mnohouholník a výška - kolmica nakreslená zhora k základnej rovine - spadá do stredu základne pyramídy.

Analóg rovnobežníka je rovnobežníková; rovnako ako rovnobežník má rovnobežník tvar stredu symetrie, pri ktorom sa všetky štyri uhlopriečky pretínajú a delia sa na polovicu (segmenty spájajúce vrcholy, ktoré nepatria k rovnakej tvári). Pravidelné hranoly v základniach majú pravidelné mnohouholníky usporiadané tak, že čiara prechádzajúca ich stredmi je kolmá na roviny základne. Mali by sa tiež nachádzať základne pravidelného uhlového antiprizmu, ale iba jedna základňa by sa mala otáčať o jeden relatívne proti druhému. Všetky pravidelné mnohosteny majú dosť veľa vyrovnaní - rotácie a symetrie, ktoré prekladajú mnohosten do seba. Súbor všetkých seba zarovnaní, vrátane identity, tvorí tzv. Symetrickú skupinu mnohostenu. Podľa skupín symetrie v kryštalografii sú jednotlivé kryštály klasifikované, ktoré majú spravidla mnohostranný tvar.

Symetria a správnosť uvedených mnohostenov nie je úplne úplná - môžu mať nerovnaké tváre, rôzne mnohostenné uhly. Výnimkou sú tri polyedry: pravidelný štvorsten - pravidelná trojuholníková pyramída s rovnakými okrajmi ohraničená štyrmi pravidelnými trojuholníkmi (obr. 7, a); kocka alebo pravidelný hexahedron je pravidelný štvoruholníkový hranol s rovnakými okrajmi ohraničený šiestimi štvorcami (obr. 7, b); nakoniec je oktaedron pravidelný štvoruholníkový dihedron s rovnakými okrajmi ohraničený ôsmimi pravidelnými trojuholníkmi (obr. 7, c); oktaedron môže byť tiež definovaný ako pravidelný trojuholníkový antiprizmus s rovnakými hranami. Na rozdiel od ľubovoľných pravidelných pyramíd, hranolov, dvojstenov a antiprizmov - tetrahedron, kocka, oktaedron sú také, že akékoľvek dve ich tváre (a akékoľvek dva mnohostenné uhly) sa môžu kombinovať pomocou určitého vyrovnania celého mnohostenníka. Navyše, ich mnohostenné uhly sú pravidelné, t.j. majú rovnaké ploché a rovnaké uhly.

Podobne ako pravidelné polygóny v rovine, je možné definovať aj obyčajný polyhedra „všeobecne“: sú to konvexné mnohosteny ohraničené rovnakými pravidelnými polygónmi, ktoré majú rovnaké pravidelné mnohostenné uhly. Ukazuje sa, že okrem vyššie uvedených troch typov pravidelných mnohostenov - pravidelných štvorstenov, kocky a osemstenov - existujú iba dva ďalšie typy pravidelných mnohostenov: dodekahedron (dvanásťstranný) a ikosedron (dvadsaťstranný), resp. 8, a, b. Tieto dva polyhedry sú vzájomne prepojené rovnakým spôsobom ako kocka a štvorsten (pozri kocka): stredy stien dodekahedronu sú vrcholy ikosedronu - obr. 9, - a naopak.

Samotná skutočnosť, že existuje iba päť skutočne pravidelných mnohostenov, je úžasná - v lietadle je nekonečne veľa pravidelných polygónov.

Všetky správne polyhedróny boli známe už v starovekom Grécku a bola im venovaná posledná kniha XIII slávneho Euclidu „Začiatky“. Tieto polyhedry sa často nazývajú aj platonické tuhé látky - v idealistickom obraze sveta, ktorý poskytol veľký starogrécky mysliteľ Platón, predstavovali štyri z nich štyri prvky: tetrahedronový oheň, kocka-zem, icosahedronová voda a oktaedrónový vzduch; piaty polyhedron, dodekahedron, symbolizoval celý vesmír - v latinčine ho začali nazývať quinta essentia („piata esencia“). Pravdepodobne nebolo ťažké prísť so správnym štvorstenom, kockou, oktaedronom, najmä preto, že tieto formy majú prírodné kryštály, napríklad: kocka je monokryštál chloridu sodného (NaCl), oktaedrón je monokryštál kamenec alum-draslík , Existuje predpoklad, že starí Gréci dostali tvar dodekahedronu zvažovaním kryštálov pyritu (pyrit sulfidu FeS). Pri použití dodekahedronu nie je ťažké vybudovať ikosedron: ako už bolo uvedené, jeho vrcholy budú centrami dvanástich stien dodekahedronu - obr. 9.