Ceea ce se numește poliedru ale cărui două fețe. Lucrări de proiectare și cercetare: „Figuri uimitoare: poliedre obișnuite
Instituția de învățământ municipal
Liceul № 26
geometrie
Principalele tipuri de poliedre și proprietățile lor
El a respectat:
Elev de gradul 9-1
Baysakova Lyazzat
profesor:
Sysoeva Elena Alekseevna
Chelyabinsk
introducere
Suprafata multifacetata. poliedru
piramidă
paralelipiped
Volumul corpului
concluzie
Lista literaturilor folosite
introducere
Până acum, pe parcursul geometriei, am fost angajați în planimetrie - am studiat proprietățile figurilor geometrice plane, adică a figurilor situate complet în plan. Dar majoritatea obiectelor din jurul nostru nu sunt complet plate, sunt localizate în spațiu. Secțiunea de geometrie în care sunt studiate proprietățile figurilor în spațiu este numită stereometrie (din alte greci στερεός, „stereo” - „solid, spațial” și μετρέω - „măsură”).
Principalele figuri în spațiu sunt punct, drept și avionul. Alături de aceste figuri cele mai simple din stereometrie, sunt luate în considerare corpurile geometrice și suprafețele lor. Când studiați corpuri geometrice, utilizați imaginile din desen.
Figura 1 Figura 2
Figura 1 prezintă o piramidă, figura 2 - un cub. Aceste corpuri geometrice sunt numite poliedre.Luați în considerare unele tipuri și proprietăți de poliedre.
Suprafata multifacetata. poliedru
O suprafață poliedrică este o uniune a unui număr finit de poligoane plane astfel încât fiecare parte a oricăruia dintre poligoane să fie în același timp latura unui alt (dar numai un) poligon, numit adiacent primului poligon.
De la oricare dintre poligonii care alcătuiesc suprafața poliedrică, puteți merge la oricare altul, deplasându-se de-a lungul poligonilor adiacenți.
Poligonii care alcătuiesc o suprafață poliedrică se numesc fețele sale; laturile poligonilor se numesc muchii, iar vârfurile se numesc vertexurile unei suprafețe poliedrice.
Figura 1 prezintă unirea poligonilor care satisfac cerințele specificate și sunt suprafețe poliedrice. Fig. 2 prezintă figuri care nu sunt suprafețe poliedrice.
O suprafață polivalentă împarte spațiul în două părți - regiunea interioară a suprafeței multifacetate și regiunea exterioară. Dintre cele două zone externe, va exista una în care este posibilă trasarea unor linii drepte care aparțin în întregime zonei.
5 Unirea unei suprafețe poliedrice și a regiunii sale interne se numește poliedru. Mai mult, suprafața poliedrică și regiunea sa interioară sunt numite suprafața și respectiv regiunea interioară a poliedrului. Fețele, marginile și vârfurile suprafeței unui poliedru se numesc fețele, marginile și vertexurile respectiv ale poliedrului.
piramidă
Un poliedru, dintre care una dintre fețe este un poliedru arbitrar, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vertex comun, numit piramidă.
Poligonul se numește baza piramidei, iar fețele rămase (triunghiuri) se numesc fețele laterale ale piramidei.
Distingeți triunghiular, patrulater, pentagonal etc. piramidele în funcție de tipul de poligon situat la baza piramidei.
Piramida triunghiulară se mai numește tetraedru. Figura 1 prezintă piramida quadrangulară SABCD cu baza ABCD și fețele laterale SAB, SBC, SCD, SAD.
Laturile fețelor piramidei se numesc marginile piramidei. Coaste aparținând bazei piramidei se numesc coaste ale bazei, iar toate celelalte coaste se numesc coaste laterale. Vertexul comun al tuturor triunghiurilor (fețelor laterale) se numește partea superioară a piramidei (în Fig. 1, punctul S este partea superioară a piramidei; segmentele SA, SB, SC, SD sunt marginile laterale, segmentele AB, BC, CD, AD sunt marginile bazei).
Înălțimea piramidei este segmentul perpendicularului desenat de la vârful piramidei S până la planul bazei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularului). În Fig. 1, SO este înălțimea piramidei.
Piramida corectă. O piramidă este numită regulată dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar proiecția ortogonală a vertexului pe planul bazei coincide cu centrul poligonului care se află la baza piramidei.
Toate coastele laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele; toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.
Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trase din vârful ei se numește apotemul acestei piramide. În Fig. 2, SN este un apotem. Toate apoteamele piramidei corecte sunt egale între ele.
prismă
Un poliedru ale cărui două fețe sunt egale n-goni care se află în planuri paralele, iar restul n fețe - paralelograme, numite n-pismă personală.
paralelipiped piramida poliedrului paralelipiped
O pereche de egali n-goni au numit bazele prismei. Fetele rămase ale prismei se numesc fețele laterale, iar unirea lor se numește suprafața laterală a prismei. Figura 1 prezintă o prismă pentagonală.
Lățile fețelor prismei se numesc muchii, iar capetele marginilor se numesc vârfurile prismei. Costurile care nu aparțin bazei prismei se numesc coaste laterale.
O prismă ale cărei coaste laterale sunt perpendiculare pe planurile de bază se numește prismă directă. În caz contrar, prisma se numește înclinată.
Segmentul perpendicular pe planurile bazelor prismei, ale căror capete aparțin acestor planuri, se numește înălțimea prismei.
O prismă directă bazată pe un poligon regulat este numită prismă regulată.
paralelipiped
Un paralelipiped este un hexagon, ale cărui fețe opuse sunt paralele în perechi. paralelipiped are 8 vârfuri, 12 muchii; fețele sale sunt paralelograme egale în perechi.
paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei (în acest caz, 4 fețe laterale sunt dreptunghiuri); dreptunghiular dacă aceasta paralelipiped dreptunghiul este linia dreaptă și baza (prin urmare, 6 fețe sunt dreptunghiuri);
paralelipiped, toate fețele cărora sunt pătrate, numite cub.
volum paralelipiped egală cu produsul zonei bazei sale în funcție de înălțime.
Volumul corpului
Fiecare poliedru are un volum care poate fi măsurat folosind unitatea de măsură selectată de volume. Pentru o unitate de măsură a volumelor, se ia un cub a cărui margine este egală cu unitatea de măsură a segmentelor. Se numește un cub cu o margine de 1 cm centimetru cub. La fel definite metru cubși milimetru cubetc.
În procesul de măsurare a volumelor cu unitatea de măsură selectată, volumul corpului este exprimat printr-un număr pozitiv, care arată câte unități de măsură de volume și părțile sale se încadrează în acest corp. Numărul care exprimă volumul corpului depinde de alegerea unității de măsură a volumelor. Prin urmare, unitatea de măsură a volumelor este indicată după acest număr.
Principalele proprietăți ale volumelor:
1. Corpurile egale au volume egale.
2. Dacă corpul este compus din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri.
Pentru a găsi volumele de corpuri, în unele cazuri este convenabil să folosiți o teoremă numită principiul Cavalieri.
Principiul Cavalieri este următorul: dacă la intersecția a două corpuri cu orice plan paralel cu un plan dat, se obțin secțiuni de suprafață egală, atunci volumele corpurilor sunt egale între ele.
concluzie
Deci, poliedrele studiază o secțiune de geometrie numită stereometrie. Poliedrele vin în diferite tipuri (piramidă, prismă etc.) și au proprietăți diferite. De asemenea, trebuie menționat că poliedrele, spre deosebire de figurile plane, au volum și sunt localizate în spațiu.
Majoritatea obiectelor din jurul nostru se află în spațiu, iar studiul poliedrelor ne ajută să ne facem o idee despre realitatea care ne înconjoară în termeni de geometrie.
Lista literaturilor folosite
1. Geometrie. Manual pentru clasele 7-9.
3. Wikipedia
5. Dicționar
Instituția de învățământ municipal Gimnaziul nr. 26 Rezumat Geometrie Principalele tipuri de poliedre și proprietățile lor Realizate: Gradul 9-1 elev Baysakova Lyazzat Profesor: Sysoeva Elena AleLucrări de proiectare și cercetare:
"Figuri uimitoare: poliedre obișnuite."
Scurtă adnotare.Anul acesta, în clasele cercului matematic, am studiat poliedre regulate, care sunt numite și solide platonice. Realizându-și modelele, am fost surprinși de neobișnuitul și frumosul unora dintre ei. Cu ajutorul scanărilor, am învățat cum să construim aceste cifre. Dar pentru a construi o scanare trebuie să aveți un complex de cunoștințe matematice, abilități de desen, gândire spațială.
Am decis să aflăm mai multe despre poliedrele corecte, să facem cunoștință cu istoria apariției lor, să învățăm cum să le construim optim, ușor și rapid, să explorăm rolul lor în lumea din jurul nostru și, în final, să aflăm dacă aceste figuri și cunoștințe despre ele ne sunt utile în viața practică
Scopul studiului:
Obiectivele cercetării:
- să studieze sursele de informații pe acest subiect;
-
Obiectul studiului: cele corectepoliedre.
Obiectul cercetării: h
Metode de cercetare:
-
- de supraveghere;
chestionare;
- munca practică.
Lucrând pe acest subiect, am îndeplinit toate obiectivele și obiectivele pe care ni le-am propus: au învățat cum să construiască modele de poliedre obișnuite, au studiat istoria apariției, proprietățile lor, au găsit o legătură între formele poliedrului obișnuit și obiectele naturale și au găsit aplicarea în viața de zi cu zi. Ne-am asigurat că aceste cifre sunt de interes pentru alții. În plus, am învățat să rezolvăm unele probleme matematice cu ajutorul unei busole și a unui conducător, îmbunătățind astfel abilitățile noastre de desen și cunoștințele matematice. Acest lucru ne este foarte util, deoarece deja anul viitor trebuie să studiem geometria.
Ca urmare a muncii practice, am îmbunătățit abilitățile motrice fine ale mâinilor, am dezvoltat imaginația și imaginația, munca grea și perseverența în atingerea obiectivelor noastre.
Cuprins.
Introducere. 4
Conceptul unui poliedru regulat 5-6
Din istoria poliedrelor 6-7
Utilizarea formularelor și aplicarea regulată a poliedrelor 7-9
Realizarea poliedrului regulat 9-10
Concluzie. 11
Lista surselor de informații. 12
Apendicele 13-18
introducere
În lumea noastră, multe lucruri neobișnuite și frumoase. Suntem înconjurați de obiecte ale căror forme ne surprind. Astfel, de exemplu, sunt poliedre obișnuite. Aceste figuri posedă atât frumusețea, cât și perfecțiunea formelor și atractivitatea.
Încă din copilărie, ne întâlnim deja cu poliedri obișnuiți, jucând cuburi și dezvoltând constructori, rezolvând puzzle-uri ale Cubului Rubik și soiurile sale. Arhitecții, constructorii și designerii întruchipează ideile lor originale folosind aceste figuri.
Anul acesta, în clasele cercului matematic, am studiat poliedre regulate, care sunt numite și solide platonice. În manualele de geometrie pentru un curs de liceu, se oferă informații foarte slabe despre poliedre. Foarte puține probleme sunt propuse pe acest subiect, motiv pentru care posibilitățile subiectului nu sunt deloc dezvăluite. Dar teoretic este foarte bogat, ne permite să formulăm multe probleme interesante. Soluția problemelor propuse ne va permite să vedem că anumite tehnici de construcție ajută foarte mult la simplificarea atât a construcției, cât și a înțelegerii proprietăților figurii.
Studiind proprietățile acestor figuri, construindu-le scanările, îndoind poliedrele, ne-am dat seama că este interesant pentru noi.Am decis să aflăm mai multe despre poliedrele obișnuite, să facem cunoștință cu istoria apariției lor, să explorăm rolul lor în lumea din jurul nostru și să găsim aplicarea lor practică.
ipoteza: poliedrele obișnuite sunt forme armonioase și profitabile și pot fi utilizate pe scară largă.
Scopul studiului: extinderea cercului de cunoștințe despre poliedre obișnuite, studiind aplicații practice în lumea exterioară.
Obiectivele cercetării:
- să studieze surse literare pe această temă;
Creează o colecție de poliedre obișnuite și urmărește interesul pentru ele.
- găsiți exemple de poliedre obișnuite în mediul natural și în mediul casnic;
Dovedește că formele de poliedre obișnuite sunt aplicabile în viața de zi cu zi.
Obiectul studiului: cele corectepoliedre.
Obiectul cercetării: h începutul și aplicarea acestor cifre
Metode de cercetare:
- căutarea, colectarea și procesarea informațiilor pe această temă
- de supraveghere;
- munca practică.
chestionare;
Conceptul unui poliedru obișnuit.poliedre - acestea sunt cele mai simple figuri din spațiu, cum ar fi, de exemplu, poligoane - cele mai simple cifre din plan. Dacă luăm în considerare poliedrul din punctul de vedere al geometriei, atunci aceasta este partea de spațiu delimitată de poligoane plate numite fețe. Lățile și vârfurile fețelor sunt numite muchii și vârfuri ale poliedrului în sine.
Un poliedru obișnuit este o figură care are următoarele proprietăți:
Este convex;
Toate fețele sale sunt poligoane egale egale;
La fiecare dintre vârfurile sale, converge același număr de fețe;
Toate unghiurile sale diedre sunt egale.
Existența a doar cinci poliedre obișnuite este dovedită.
| tetraedru format din patru triunghiuri echilaterale. Fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri. | |
| Cub (hexaedru) format din șase pătrate. Fiecare vertex al cubului este vârful a trei pătrate. |
|
| octaedru format din opt triunghiuri echilaterale. Fiecare vertex al octaedrului este vertexul a patru triunghiuri. |
|
| dodecaedru format din douăsprezece pentagoni obișnuiți. Fiecare vertex al dodecedrului este vertexul a trei pentagoni obișnuiți. |
|
| icosahedronformat din douăzeci de triunghiuri echilaterale. Fiecare vertex al icosaedrului este partea de sus a cinci triunghiuri. |
|
Numele acestor cifre sunt foarte ușor de reținut. Tradus din greacă, „edra” înseamnă o față, „tetra” - 4, „hexa” - 6, „octa” - 8, „icosa” - 20, „dodeca” - 12.
Principalele caracteristici ale unui poliedru sunt numărul și tipul de fețe, numărul de vârfuri și numărul de muchii. Aceste caracteristici pentru poliedre obișnuite sunt prezentate în tabel (Apendicele 1)
Studiind cu atenție conținutul tabelului, am văzut un model: dacă numărul marginilor poliedrului în cauză este crescut cu 2, atunci obținem un număr egal cu suma numărului de fețe și vertexuri ale acestui poliedru. Formulăm această regulă după cum urmează:„Suma numărului de fețe și vârfuri este egală cu numărul de margini crescut cu 2”, adică Г + В \u003d Р + 2.
| dreapta poliedru | NUMĂRUL GRAN + TOP | NUMĂRURI |
| TETRAEDR | 4 + 4 = 8 | 6 |
| KUB | 6 + 8 = 14 | 12 |
| octoedre | 8 + 6 = 14 | 12 |
| dodecaedru | 12 + 20 = 32 | 30 |
| icosahedron | 20 + 12 = 32 | 30 |
Astfel, am descoperit o formulă care a fost dedusă pentru prima dată de René Descartes în 1640, iar mai târziu redescoperită de Euler în 1752, pe care o poartă de atunci. Formula lui Euler este valabilă pentru orice poliedre convexe.
Din istoria poliedrelor.
| Omenirea știe de mult timp despre poliedre obișnuite. Modelele lor ornamentale pot fi găsite pe bile sculptate din pietre apărute în Scoția , cu mult înainte să le descopere Platon. Diferitele zaruri din acea vreme seamănă și cu poliedre obișnuite în formă. |
|
|
| Chiar și atunci, oamenii au folosit analogii de bronz ale acestor figuri uimitoare.
|
Onoarea descoperirii și studiului detaliat al poliedrelor obișnuite este atribuită cercetătorilor greci antici. În unele surse, puteți găsi informații că Pitagora a identificat pentru prima dată aceste cifre. Alte surse susțin că el cunoștea doar tetraedrul, cubul și dodecaedrul, în timp ce octaedrul și icosaedrul au fost descoperite de Teetetul Atenei, care a descris și cei cinci poliedri obișnuiți.
El a dedicat o atenție considerabilă poliedrelor obișnuite Platon în cinstea căreia sunt numiți „solidele platonice”. El a asociat cu fiecare dintre cele patru elemente ale Pământului, Aerului, Apei și Focului un anumit poliedru obișnuit. Cubul sau Hexaedrul era pentru Pământ, Octaedrul pentru Aer, Icozaedrul pentru Apă și Tetraedrul pentru Foc. O astfel de comparație este foarte ușor de explicat: căldura focului este resimțită clar și ascuțit ca niște tetraedre mici; aerul este format din octaedre: componentele sale cele mai mici sunt la fel de netede ca picăturile de apă, cu care icosaedrele sunt cel mai asemănătoare; în contrast cu apa, cuburile stabile alcătuiesc pământul. În ceea ce privește cel de-al cincilea element, dodecedrul, Platon a scris: „… zeul său s-a identificat pentru univers și a recurs la el ca model”.
Euclid a dat o descriere matematică completă a cinci poliedre obișnuite și a dovedit că nu există niciun alt poliedru regulat.
Ideile lui Platon cu privire la conexiunea poliedrelor obișnuite cu o aranjare armonioasă a lumii au fost continuate în timpul nostru. În anii 80. Inginerii de la Moscova V. Makarov și V. Morozov au exprimat o ipoteză științifică interesantă: nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care are un efect activ asupra proceselor naturale care au loc pe planetă. Câmpul de forță al razelor acestui cristal formează structura icosaedru-dodecaedru al Pământului. Se manifestă prin faptul că, așa cum s-a spus, apar proiecții de poliedre obișnuite înscrise pe glob: în crusta pământului: icosaedrul și dodecaedrul.
S-a dovedit că multe zăcăminte minerale sunt localizate chiar de-a lungul rețelei icosaedru-dodecaedru: 62 de vârfuri și puncte medii ale marginilor poliedrului au proprietăți speciale care permit explicarea multor fenomene de pe planeta noastră. Centrele celor mai vechi culturi și civilizații se află aici: Peru, Mongolia de Nord, Haiti, cultura Ob și altele. În aceste puncte, se observă maxime și minime ale presiunii atmosferice, turbulența uriașă a oceanelor. În aceste noduri se află Lacul Loch Ness, triunghiul Bermudelor.
Folosirea formularelor și aplicarea regulilor poliedre.
Poliedrele corecte sunt cele mai profitabile forme. Omul și natura folosesc acest lucru pe scară largă. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. De exemplu, cristalele de sare au formă de cub. Am fost convinși de acest lucru examinând cristale de sare într-un microscop electronic din cabinetul de biologie(Apendicele 2)
Și cum Lumea cristalelor, care sunt poliedre naturale, este diversă.Trăim într-o lume a cristalelor: ne plimbăm prin cristale, construim din cristale, procesăm cristale în fabrici, creștem cristale în laboratoare, creăm dispozitive și produse din cristal, folosim pe scară largă cristale în știință și tehnologie, mâncăm cristale și suntem tratate cu cristale. În biroul de geografie, am găsit cristale de cristal de rocă și cuarț, cu o suprafață prismatică hexagonală. Acest mineral are proprietăți vindecătoare. Anterior, pentru copiii mici, această piatră era atârnată pe piept, legând-o pe o frânghie, astfel încât copilul să nu prindă o răceală și să sufere de frig. De asemenea, ne-am asigurat că cristalele de sare de potasiu au forma unui hexaedru. Acest mineral este utilizat la fabricarea îngrășămintelor minerale.
Multe bacterii și virusuri diferite sunt poliedre. Dar toate au o formă icosaedrică sau dodecaedru. De exemplu, scheletul unui organism unicelular al feodariei seamănă cu un icosaedru în formă.
Dintre toate poliedrele cu același număr de fețe, icosaedrul este cel mai mare volum cu cea mai mică suprafață. Această proprietate ajută corpul marin să depășească presiunea coloanei de apă.
Majoritatea feudariilor trăiesc în marea adâncă și servesc drept pradă peștilor de corali. Dar cel mai simplu animal se protejează cu ace care ies din vârfurile scheletului. Așa că arată mai mult ca un poliedru stelar.
Armonia și simplitatea poliedrelor obișnuite ne-au permis să creăm o serie de jucării, puzzle-uri și designeri. Jucând aceste jucării, dezvoltăm gândirea logică, imaginația și abilitățile motrice fine ale mâinilor noastre sunt îmbunătățite.
În clasa de matematică, înainte de a trage dezvoltarea și lipirea poliedrului din hârtie, am asamblat dezvoltarea și poliedrul corect în sine folosind un constructor magnetic.
Forme de poliedre obișnuite sunt de asemenea utilizate în articole de uz casnic și la ambalarea mărfurilor: pungi de ceai și lapte, cutii și diverse suveniruri, etc. Am mers într-o excursie la muzeul școlii secundare din Sarsinsky, unde am văzut suveniruri sub formă de cub și un tetraedru cu mână de pământ din îndelungul Leningrad, acum St. Petersburg - cadou postbelic de la fabrica de sticlă Leningrad, care în timpul Marelui Război Patriotic a fost evacuată la Sars.
Și ce idei neobișnuite și îndrăznețe sunt întruchipate de arhitecți, constructori și designeri, folosind formele de poliedre obișnuite. Pe Internet, am găsit o mulțime de fotografii despre modul în care aceste cifre uimitoare sunt utilizate în construcția clădirilor, la proiectarea parcurilor și la proiectarea soluțiilor interioare pentru gospodării. (Apendicele 3)
Artiști din diferite epoci au arătat un interes constant pentru studiul și imaginea poliedrelor. Culmea acestui interes este, desigur, în Renaștere. Studiind fenomenele naturii, artiștii au căutat să găsească metode de reprezentare a acestora, justificate din punct de vedere științific. Învățături despre perspectivă, clarobscuritate și proporții,construită pe matematică, optică, anatomie, devin baza noii arte. Aceștia au permis artistului să creeze un spațiu tridimensional pe un plan, pentru a atinge un sentiment al volumului și al reliefului obiectelor. Pentru unii maeștri, poliedrele au fost un model foarte convenabil pentru cinstirea măiestriei imaginii în perspectivă. Au fost cei care și-au admirat sincer simetria și frumusețea laconică.. Era îndrăgit de poliedre și le scria adesea pe pânzele sale de celebrul Leonardo da Vinci (1452-1519). El a îmbogățit cu imagini cu poliedre cartea călugărului prietenului său Luke Palochi (1445 - 1514) „Despre proporția divină”.
Salvador Dali în tabloul „Ultima cină” l-a înfățișat pe Iisus Hristos cu discipolii săi pe fundalul unui imens dodecaedru transparent.
În secolele XIII-XVII. poliedrele au stat la baza structurilor arhitecturale, au fost utilizate cele mai multe cuburi, dar pe măsură ce s-au dezvoltat, au fost utilizate și alte tipuri de poliedre, cum ar fi tetraedrul și octaedrul.
Astăzi, poliedrele sunt principalele descoperiri ale omenirii. Suntem înconjurați constant de poliedri: multe articole de uz casnic sunt sub formă de poliedre, toate structurile arhitecturale sunt construite în stilul modelelor multifacetice.
Producția de modele de poliedre.
Am cunoscut și am folosit această metodă de fabricare a modelelor de poliedre, care se numește metoda de dezvoltare.
Cel mai adesea, atunci când se creează modele de poliedre de la șlefuitoare plane, unul folosește reamerele în care fețele sunt adiacente una cu cealaltă cu margini, iar modelul este construit prin îndoirea armăturilor de-a lungul marginilor. De exemplu, atunci când se creează modele de poliedre obișnuite, se folosesc cel mai adesea măturaturile următoare(Apendicele 4)
Puteți tăia fiecare față separat, apoi lipiți-le într-un poliedru. Această metodă economisește consumabile.
Pe lângă fabricarea poliedrelor cu ajutorul scanărilor, există și alte modalități de construcție a acestor figuri. Aceasta, de exemplu, fabricarea solidelor platonice prin țesut, folosind origami. Aceste metode vă permit să creați modele uimitor de frumoase. Într-o excursie la școala gimnazială Sarsinsky, am văzut într-adevăr ce figuri minunate apar și am obținut o clasă de master în realizarea poliedrului potrivit folosind tehnica origami (Prilozhenie5)
Astfel, am creat o colecție de poliedri obișnuiți, iar unii dintre ei și-au găsit propria aplicație practică. De exemplu, 12 fețe ale unui dodecaedru pot fi folosite ca calendar pentru desktop și orice alt poliedru poate fi proiectat ca o jucărie de Crăciun sau ca un album foto cu diverse subiecte de conținut.
Și aici îl avem!
În plus, am organizat o expoziție a activității noastre în clasă și am realizat un mic sondaj în clasele I, 5, 8 și 11.
Te-ai întâlnit cu poliedre obișnuite înainte? Dacă da, atunci unde?
Aceste cifre îți trezesc interesul? Dacă da, care dintre ele?
Vrei să încerci să le faci singur?
Ce credeți: unde poate fi găsită aplicarea formei de poliedre obișnuite?
Dintre cei 64 de respondenți, aproape toți elevii s-au întâlnit anterior cu poliedrele corecte: sub formă de jucării, suveniruri, pachete de obiecte, candelabre, ajutoare vizuale în sala de matematică.
Tuturor participanților la sondaj le-au plăcut cifrele prezentate, iar gradul I și gradul al cincilea le-au plăcut în special pe cele care încă nu fuseseră întocmite, pentru că voiau să viseze și să inventeze ceva propriu cu aceste cifre. Cele mai interesante au fost dodecaedrul (44 de studenți) și icosaedrul (52 de elevi), pentru că sunt neobișnuite și frumoase și ar dori să învețe cum să le facă. Am explicat cum se face acest lucru și că nu este dificil și, cel mai important, o activitate utilă, deoarece se dezvoltă abilități motrice fine ale mâinilor, imaginație și abilități creative. La întrebarea unde să găsim aplicația pentru aceste cifre, am primit o mare varietate de răspunsuri: hrănitoare pentru păsări, casete, suveniruri, bijuterii și chiar mobilă.
Sondajul a arătat că poliedrele corecte sunt de interes, mulți doresc să se implice într-o astfel de creativitate și, cel mai important - aceste cifre își găsesc aplicarea în activitățile educaționale și în viața de zi cu zi.
Concluzie.
Ne-am întâlnit cu figuri frumoase, perfecte și armonioase - poliedre obișnuite, am aflat numele oamenilor de știință, artiștii care și-au dedicat lucrările. Din nou am fost convinși că sursele matematice sunt în natură, în realitatea care ne înconjoară.
Am învățat cum să construim modele de poliedre obișnuite, am studiat istoricul apariției, proprietățile lor, am găsit o legătură între formele poliedrelor obișnuite și obiectele naturale și am găsit aplicarea în viața de zi cu zi. Ne-am asigurat că aceste cifre sunt de interes pentru alții.
Modelele acestor figuri pot găsi aplicații în lecțiile de fizică, matematică, chimie, biologie ca material ilustrativ și ilustrativ, precum și material pentru studii ulterioare ale tuturor celor interesați.
http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21
http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21
Apendicele 1
Caracteristicile poliedrelor obișnuite
| Denumire poliedru | vedere | Numărul de fețe | Numărul de vârfuri | Numărul de coaste |
| tetraedru | 4 | 4 | 6 |
|
| cub | 6 | 8 | 12 |
|
| octaedru | 8 | 6 | 12 |
|
| icosahedron | 20 | 12 | 30 |
|
| dodecaedru | 12 | 20 | 30 |
Apendicele 2
Cercetarea cristalelor
Apendicele 3
Utilizarea formelor de poliedre obișnuite în domeniile gospodărești.
PPT / 13,63 Mb
Poliedrele corecte din cele mai vechi timpuri au atras atenția filozofilor, constructorilor, arhitecților, artiștilor, matematicienilor. Au fost loviți de frumusețea, perfecțiunea, armonia acestor figuri.
Un poliedru obișnuit este o figură geometrică convexă tridimensională, toate fețele fiind aceleași poligoane regulate și toate unghiurile poliedrice de la vârfuri sunt egale între ele. Există multe poligoane obișnuite, dar doar cinci poliedre obișnuite. Numele acestor poliedre provin din Grecia Antică și indică numărul (tetra - 4, hexa - 6, octa - 8, dodeca - 12, ikosa - 20) fețe (edra) .
Acești poliedri obișnuiți au fost numiți solide platonice cu numele vechiului filosof grec Platon, care le-a dat un sens mistic, dar erau cunoscute chiar înainte de Platon. Tetraedrul personifica focul, deoarece vârful său este îndreptat în sus, ca o flacără arzătoare; icosaedrul - ca cel mai eficient - apa; cubul este cel mai stabil dintre cifre - pământul, iar octaedrul - aer. Dodecaedrul a fost identificat cu întregul univers și a fost venerat ca fiind cel mai important.
Poliedre regulate se găsesc în viața sălbatică. De exemplu, scheletul unui organism unicelular al feodariei seamănă cu un icosaedru în formă. Cristalul de pirită (sulfură de pirită, FeS2) are forma unui dodecaedru.
Tetraedrul este o piramidă triunghiulară regulată, iar hexaedrul este un cub - figuri cu care ne întâlnim constant în viața reală. Pentru a simți mai bine forma altor solide platonice, ar trebui să le creezi singur din hârtie groasă sau carton. Efectuarea unui model de mătura plat este ușor. Crearea poliedrului potrivit este extrem de distractivă prin procesul de conturare în sine.
Formele complete și bizare de poliedre obișnuite sunt utilizate pe scară largă în arta decorativă. Formele volumetrice pot fi făcute mai distractive dacă poligoanele obișnuite sunt reprezentate de alte forme care se încadrează în poligon. De exemplu: un pentagon obișnuit poate fi înlocuit cu o stea. O astfel de figură voluminoasă nu va avea margini. Puteți colecta legând capetele razelor stelelor. Și 10 stele vor scana plat. O figură tridimensională este obținută după fixarea celor 2 stele rămase.
Dacă copilului tău îi place să facă meserii cu mâinile sale iscusite, oferă-i asamblați o figură tridimensională a unui poliedru dintr-un dodecaedru din stele plate de plastic. Rezultatul lucrării vă va încânta copilul: el va realiza cu propriile sale mâini un design decorativ original care poate decora camera pentru copii. Dar, cel mai remarcabil lucru este că bila deschisă strălucește în întuneric. Stelele din plastic sunt făcute cu adăugarea unei substanțe moderne inofensive - fosforul.
Poliedrele sunt cele mai simple corpuri din spațiu, la fel ca poligoanele sunt cele mai simple figuri din plan. Vom vedea zilnic forme pe mai multe fețe: cutie de chibrituri, carte, cameră, clădire cu mai multe etaje (cu acoperiș orizontal) - paralelipipede dreptunghiulare; pachete-tetraedre de lapte sau paralelipipede; creion fațetat, piuliță oferă o idee despre prisme (totuși, cutia este și o prismă cvadrangulară). Multe structuri arhitecturale sau detaliile lor sunt piramidele sau piramidele trunchiate - celebrele piramide egiptene sau turnurile din Kremlin au astfel de forme. Multe forme multifacetate, de exemplu „casa” din Fig. 1 și „casa rotundă” din Fig. 2, nu au nume speciale. Din punct de vedere pur geometric, un poliedru este o parte a spațiului delimitat de fețe poligonale plane. Lățile și vârfurile fețelor sunt numite muchii și vârfuri ale poliedrului în sine. Fațetele formează așa-numita suprafață multifacetă. Pentru a exclude din considerare figuri multifacetate de tipul ilustrat în Fig. 3, care nu sunt numite în mod obișnuit poliedre, următoarele restricții sunt de obicei impuse pe o suprafață poliedrică:
1) fiecare muchie trebuie să fie o latură comună a două fețe și doar două, numite adiacente;
2) fiecare două fețe pot fi conectate printr-un lanț de fețe adiacente succesiv;
3) pentru fiecare vertex, unghiurile fețelor adiacente acestui vertex trebuie să limiteze un unghi poliedric.
Un poliedru este numit convex dacă se află pe o parte a planului oricăreia dintre fețele sale. Această condiție este echivalentă cu fiecare din celelalte două: 1) segmentul cu capete în orice două puncte ale poliedrului se află în întregime în poliedru, 2) poliedrul poate fi reprezentat ca intersecția mai multor jumătăți de spații.
Pentru orice poliedru convex, formula Euler este valabilă (vezi. Topologie), care stabilește o conexiune între numărul de vertexuri B, marginile P și fețele G:
Pentru poliedrele neconvexe, această relație, în general, nu este adevărată, de exemplu, pentru suprafața poliedrică prezentată în Fig. 2; , de aceea. Numărul se numește caracteristica Euler a poliedrului și poate fi egal 
. Caracteristica Euler arată, aproximativ vorbind, câte „găuri” are un poliedru. Numărul de găuri (sau).
Cea mai simplă clasificare după numărul de vârfuri (unghiuri, laturi) pentru poliedre este ineficientă. Cele mai simple poliedre - tetraedre sau tetraedre - sunt întotdeauna limitate de patru fețe triunghiulare. Dar pentaedrele pot fi deja de tipuri complet diferite, de exemplu: o piramidă quadrangulară este limitată de patru triunghiuri și un patrulater (Fig. 4, a), iar o prismă triunghiulară este limitată de două triunghiuri și trei patrate (Fig. 4, b). Exemple de cinci vârfuri sunt o piramidă quadrangulară și un diodru triunghiular (Fig. 4, c).
Cei mai comuni poliedri din lumea din jurul nostru, desigur, au nume speciale. Deci, piramida -gonală are o -gon la bază și fețe triunghiulare laterale convergând în vârful comun al triunghiurilor (Fig. 4, a, unde); -prisma zonală este limitată de două -gregule egale, paralele și la distanțe egale - baze - și paralelograme - fețe laterale care leagă laturile respective ale bazelor (Fig. 4, b, unde).
Poziția intermediară dintre piramidele și prisme este ocupată de piramidele trunchiate obținute din piramidele prin tăierea piramidelor mai mici cu planurile paralele cu bazele (Fig. 5). Printre formele naturale ale cristalelor se află dihedrele, sau bipiramidele, compuse din două piramide cu o bază comună (Fig. 4, c). Arhimede a considerat, de asemenea, antiprisme α-unghiulare delimitate de două unghiuri paralele, dar întoarse unul față de celălalt și conectându-le, așa cum se arată în Fig. 6, -triangles (cu un antiprism mare este similar cu un tambur de pionierat - Fig. 6).
La fel ca poligoanele, poliedrele sunt clasificate și în funcție de gradul lor de simetrie. Dintre piramidele, se disting cele obișnuite: la bază au un poligon regulat, iar înălțimea - perpendiculara desenată de sus pe planul bazei - se încadrează în centrul bazei piramidei.
Un analog al unei paralelograme este un paralelipiped; la fel ca o paralelogramă, paralelipipedul are un centru de simetrie la care toate cele patru diagonale se intersectează și se împart în jumătate (segmente care leagă vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe). Prismele regulate din baze au poligoane regulate dispuse astfel încât linia care trece prin centrele lor să fie perpendiculară pe planurile bazelor. Bazele unui antiprism unghiular regulat ar trebui să fie, de asemenea, localizate, dar numai o bază ar trebui să fie rotită cu un unghi față de cealaltă. Toate poliedrele obișnuite au o mulțime de auto-alinieri - rotații și simetrii care traduc poliedrul în sine. Ansamblul tuturor aliniamentelor de sine, inclusiv identitatea, formează așa-numita grupă de simetrie a poliedrului. Conform grupurilor de simetrie din cristalografie, se clasifică cristale simple, care, de regulă, au o formă multifacetă.
Simetria și corectitudinea poliedrelor considerate mai sus nu sunt complet complete - pot avea fețe inegale, unghiuri poliedrice diferite. O excepție sunt trei poliedre: un tetraedru regulat - o piramidă triunghiulară regulată cu margini egale, delimitate de patru triunghiuri regulate (Fig. 7, a); un cub, sau hexaedru obișnuit, este o prismă cuadrangulară regulată cu margini egale, delimitată cu șase pătrate (Fig. 7, b); în sfârșit, octaedrul este un diedru cuadrangular regulat cu margini egale, delimitat de opt triunghiuri regulate (Fig. 7, c); octaedrul poate fi definit și ca un antiprism triunghiular regulat, cu margini egale. Spre deosebire de piramidele obișnuite, prisme, dihedre și antiprisme arbitrare - tetraedrul, cubul, octaedrul sunt astfel încât oricare dintre fețele lor (și oricare două unghiuri poliedrice) pot fi combinate folosind o oarecare auto-aliniere a întregului poliedru. În plus, unghiurile lor poliedrice sunt regulate, adică. au unghiuri diedre egale plane și egale.
În mod similar cu poligoanele obișnuite de pe un plan, pot fi definite „în general” poliedre obișnuite: acestea sunt poliedre convexe delimitate de poligoane regulate egale și au unghiuri poliedrice regulate egale. Se dovedește că, pe lângă cele trei tipuri de poliedre obișnuite menționate mai sus - tetraedrul obișnuit, cubul și octaedrul - există doar alte două tipuri de poliedre obișnuite: dodecedrul (douăsprezece fețe) și icosaedrul (douăzeci față), respectiv limitat de 12 pentagoni obișnuiți și 20 de triunghiuri regulate - fig. 8, a, b. Aceste două poliedre sunt interconectate în același mod ca un cub și un tetraedru (vezi Cube): centrii fețelor dodecedrului sunt vârfurile icosaedrului - Fig. 9, - și invers.
Faptul existenței a doar cinci poliedre cu adevărat obișnuite este uimitor - există infinit multe poligoane regulate pe plan.
Toți poliedrii corecți au fost cunoscuți chiar și în Grecia Antică, iar cartea finală, XIII, a celebrului „Început” al lui Euclid le-a fost dedicată. Acești poliedri sunt adesea numiți solide platonice - în imaginea idealistă a lumii oferită de marele gânditor grec Platon, patru dintre ele au reprezentat cele patru elemente: tetraedrul - foc, cubul - pământ, icosaedrul - apa și octaedrul - aerul; al cincilea poliedru, dodecedrul, simboliza întregul univers - în latină au început să-l numească quinta essentia („a cincea esență”). Aparent, nu a fost dificil să vină cu tetraedrul, cubul, octaedrul drept, mai ales că aceste forme au cristale naturale, de exemplu: cubul este un singur cristal de clorură de sodiu (NaCl), un octaedru este un singur cristal de alumină-aluminiu potasiu 
. Există o presupunere că vechii greci au primit forma dodecedrului, luând în considerare cristale de pirită (piriti sulfide FeS). Având dodecaedrul, nu este dificil să construim un icosaedru: așa cum am menționat deja, vârfurile sale vor fi centrele celor douăsprezece fețe ale dodecedrului - Fig. 9.
