Tetraedru înscris. Care este diferența dintre un tetraedru și o piramidă?

Tetraedrul, sau piramidă triunghiulară, este cel mai simplu dintre poliedre, la fel cum un triunghi este cel mai simplu dintre poligoane pe un plan. Cuvântul "tetraedru" este format din două cuvinte grecești: tetra - "patru" și hedra - "bază", "față". Tetraedrul ABCD este definit prin cele patru vârfuri ale sale - punctele A, B, C, D, care nu se află în același plan; fețele tetraedrului sunt patru triunghiuri; pe tetraedru sunt șase coaste. Spre deosebire de o piramidă n-cărbune arbitrară (pentru n ≥ 4), orice față a tetraedrului poate fi aleasă ca bază.

Multe proprietăți ale tetraedrului sunt similare proprietăților corespunzătoare ale triunghiurilor. În particular, 6 planuri trase prin punctele de mijloc ale marginilor tetraedrului perpendicular pe ele se intersectează într-un punct. În același punct, O intersectează, de asemenea, 4 linii drepte trase prin centrele circumscrise despre fețele cercurilor perpendiculare pe planurile fețelor, iar O este centrul sferei descrise lângă tetraedru (Fig. 1). În mod similar, 6 semi-planuri bisectoare ale tetraedrului, adică semiplanurile care împart unghiurile diedre la marginile tetraedrului în jumătate, se intersectează de asemenea într-un punct - în centrul sferei înscrise în tetraedru - sfera atingând toate cele patru fețe ale tetraedrului. Orice triunghi are, pe lângă cele înscrise, încă 3 cercuri inscripționate (vezi Triunghiul), dar tetraedrul poate avea orice număr - de la 4 la 7 sfere suplimentare inscripționate, adică sferele care ating planurile celor patru fețe ale tetraedrului. Există întotdeauna 4 sfere înscrise în unghi triedic trunchiat, dintre care una este prezentată în Fig. 2, în dreapta. Încă 3 sfere pot fi înscrise (nu întotdeauna!) În unghiuri diedre trunchiate la marginile tetraedrului - una dintre ele este prezentată în Fig. 2, în stânga.

Pentru un tetraedru, există o altă posibilitate a aranjamentului său reciproc cu sfera - atingerea unei anumite sfere cu toate marginile sale (Fig. 3). O astfel de sferă - numită uneori „pe jumătate înscrisă” - există doar atunci când sumele lungimilor marginilor opuse ale tetraedrului sunt egale: AB + CD \u003d AC + BD \u003d AD + BC (Fig. 3).

Pentru orice tetraedru, este valabil un analog al teoremei de la intersecția medianelor unui triunghi la un moment dat. Anume, 6 planuri trase prin marginile tetraedrului și mijlocul marginilor opuse se intersectează într-un punct - în centroidul tetraedrului (Fig. 4). 3 „linii medii” trec, de asemenea, prin centroid M - segmentele care leagă punctele mijlocii ale trei perechi de margini opuse și împart punctul M în jumătate. În cele din urmă, 4 „medii” ale tetraedrului trec de asemenea prin M - segmentele care leagă vârfurile cu centroidele fețelor opuse și sunt împărțite în punctul M în raportul 3: 1, numărând de la vârfuri.

Cea mai importantă proprietate a unui triunghi - egalitatea ∠A + ∠B + ∠C \u003d 180 ° (sau π) - nu are un analog „tetraedru” rezonabil: suma tuturor celor 6 unghiuri diedre ale unui tetraedru poate lua orice valoare între 2π și 3π. (Desigur, suma celor 12 unghiuri plane ale tetraedrului - 3 la fiecare vertex - este independentă de tetraedru și este egală cu 4π.)

Triunghiurile sunt clasificate de obicei în funcție de gradul lor de simetrie: triunghiurile obișnuite sau echilaterale au trei axe de simetrie, izoscelele - unul. Clasificarea tetraedrului în funcție de gradul de simetrie este mai bogată. Cel mai simetric tetraedru este regulat, delimitat de patru triunghiuri regulate. Are 6 planuri de simetrie - trec prin fiecare nervură perpendiculară pe coasta opusă - și 3 axe de simetrie care trec prin mijlocul coastelor opuse (Fig. 5). Piramidele triunghiulare regulate (3 planuri de simetrie, Fig. 6) și tetraedrul egal (adică tetraedrul cu fețe egale - 3 axe de simetrie, Fig. 7) sunt mai puțin simetrice.

În concluzie, oferim două formule pentru calculul volumului unui tetraedru. Nu sunt foarte asemănătoare cu formulele bine cunoscute pentru aria unui triunghi, dar se poate urmări oarecare analogie.

unde înălțimea h D în acest caz este distanța de la vertexul D până la planul feței ABC.

unde (∠AB) este unghiul diedru la marginea AB. Există alte formule pentru calcularea volumului unui tetraedru.

Definiție Un tetraedru este un poliedru cu patru fețe triunghiulare, cu 3 fețe convergând la fiecare vertex. Tetraedrul are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. Cuvântul „tetraedru” este format din două cuvinte grecești: tetra- „patru” și hedra- „bază”, „față”.

Definițiile medianei, bimedianului (liniilor mijlocii) și înălțimii tetraedrului Segmentul care conectează vertexul tetraedrului cu punctul de intersecție al medianelor feței opuse se numește mediana omisă din acest vertex. Segmentul care leagă punctele de mijloc ale marginilor care se intersectează tetraedrul se numește bimedian, conectând datele marginilor. Segmentul care leagă vertexul cu punctul feței opuse și perpendicular pe această față se numește înălțimea sa, omisă din acest vertex.

Tipuri de tetraedru Un tetraedru izometric este un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri egale. Un tetraedru ortocentric este un tetraedru în care toate înălțimile căzute de la vârfuri către fețele opuse se intersectează la un moment dat. Un tetraedru dreptunghiular este un tetraedru în care toate marginile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare între ele. Un tetraedru obișnuit este un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale. Un tetraedru proporțional ale cărui înălțimi egale sunt egale. Un tetraedru concentric este un tetraedru în care segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise în fețele opuse se intersectează la un moment dat.

Toate cele patru fețe ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri regulate. Dacă lungimea muchiei unui tetraedru obișnuit este notată cu un, atunci puteți calcula: suprafața completă Raza sferei descrise Volum Unghiul muchiei Înălțimea Unghi de înclinare a feței Raza sferei înscrise Unghiul solid la vertex Tetraedrul corect

Proprietatea unui tetraedru Fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri. Deci, suma unghiurilor plane la fiecare vertex va fi egală cu 180º. Un octaedru poate fi introdus în tetraedrul corect. Tetraedrul corect poate fi înscris în icosaedru, în plus, cele patru vârfuri ale tetraedrului vor fi aliniate cu cele patru vârfuri ale icosaedrului. Tetraedrul corect poate fi introdus în cub în două moduri, în plus, cele patru vârfuri ale tetraedrului vor fi aliniate cu cele patru vârfuri ale cubului.

Unde este folosit tetraedrul? Tetra Classic® un carton sub forma unui tetraedru pentru depozitarea laptelui, creat în 1950 de Tetra Pak. Din 1959, a fost furnizat și utilizat pe scară largă în URSS, unde aceste pachete erau de obicei numite „piramidele” sau „pungi triunghiulare”. Piramidele aveau două dimensiuni principale: mari (pentru lapte și kefir) și mai mici (pentru cremă). Au fost decorate diferit în funcție de tipul de produs. S-a dovedit că este convenabil să lipici o astfel de tetraedru pe transportor, tăind spațiile pentru ele de pe un furtun de carton.

Tetraedri în viața sălbatică Unele fructe, patru într-o mână, sunt localizate la vârfurile tetraedrului, care este aproape de cea corectă. Acest design se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating între ele se află la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele asemănătoare cu bile formează un aranjament similar. De exemplu, nucile pot fi așezate în acest fel.

Tetraedri în construcție Tetraedrul formează o structură rigidă, determinabilă static. Un tetraedru format din tije este adesea folosit ca bază pentru structuri portante de încărcare a spațiilor clădirilor, podelelor, grinzilor, truselor, podurilor, etc. Tijele experimentează doar sarcini longitudinale.

Reflector de colț Un reflector de colț este un dispozitiv sub forma unui tetraedru dreptunghiular cu planuri reflectorizante perpendiculare. Radiația care intră în reflectorul de colț este reflectată în direcția strict opusă. Folosit: pentru măsurarea exactă a distanțelor (pentru amplasarea cu laser a lunii, satelit, sondaj topografic, construcție); pentru a returna radiațiile exact înapoi (reflector, război electronic).

Tetraedri în microworld Molecula de metan CH 4 Molecula de amoniac NH 3 Tetraedru Diamond C cu marginea egală cu 2,5220 angstromi Fluorita CaF2, tetraedru cu o margine egală cu 3, 8626 angstrom Sphalerite, ZnS, tetraedru cu o margine egală cu 3.823 ioni de complex Angstrom, 2, 2 - -, 2+ Silicați, care se bazează pe tetraedrul siliciu-oxigen 4-20

Tetraedrul și piramida sunt poliedre, sau suprafețe închise formate din poligoane (definiție științifică). Există un număr infinit de poliedre, dar vom sta pe aceste două. Care este diferența dintre un tetraedru și o piramidă și ce este comun între ei? Să aruncăm o privire mai atentă.

piramidă

piramidă   în mintea multor oameni este ferm asociat cu mormintele antice ale faraonilor egipteni. Într-adevăr, toate sunt piramidele cu o bază pătrată (sau aproape de pătrat). Din cele spuse, este clar că există piramidele cu baze de altă formă. O piramidă de geometrie este un poliedru, una dintre părțile căreia (baza) este un poligon arbitrar (adică poate avea chiar o formă neregulată), iar restul fețelor sunt triunghiuri cu un vertex comun.

Diferența dintre un tetraedru și o piramidă este că poate exista orice număr de soiuri din acesta din urmă. Se disting următoarele elemente ale piramidei, caracterizând forma acesteia:

• fețe laterale (triunghiuri convergente în vârf);
• bază;
• coastele laterale (laturile comune ale fețelor adiacente);
• înălțime;
• apex;
• apotem (doar piramidele obișnuite au acest element, adică cele a căror bază este un poligon regulat (având laturile egale)).

comparație

tetraedru   este cel mai simplu poliedru. Are patru fețe și șase margini, mai puțin este pur și simplu imposibil. Fețele sunt triunghiuri. Dacă toate sunt echilaterale, atunci un astfel de tetraedru se numește regulat. În consecință, un tetraedru este în același timp o piramidă triunghiulară regulată, a cărei bază poate fi oricare dintre fețe. Tetraedrul este utilizat pe scară largă în tehnologie și este frecvent în viața sălbatică: fructele unor plante sunt colectate în peria de o astfel de formă.

Celulele unor structuri metalice deschise au, de asemenea, forma unui tetraedru, astfel încât acestea țin mai bine sarcina. Și în microworld acest poliedru este comun. De exemplu, forma tetraedrului este inerentă moleculei de amoniac. La „regele mineralelor”, diamantul, în rețeaua de cristal, fiecare dintre atomii de carbon este situat în centrul tetraedrului, iar cei patru atomi cei mai apropiați servesc drept vârfuri. Această structură este cea care face din diamant cel mai greu mineral de pe Pământ.

  În URSS, au vândut lapte în pachete sub formă de tetraedru

tabel

Este clar care este diferența dintre un tetraedru și o piramidă: un tetraedru este un caz special al unei piramide triedice. Simplitatea sa a devenit baza creării unor structuri foarte rigide, atât naturale (grilă de cristal de diamant) cât și artificiale (celule de structuri metalice). Vezi rezultatul comparației în tabelul de mai jos.

	piramidă	tetraedru
formă	Baza este un poligon de formă arbitrară, fețele laterale sunt triunghiuri cu un vertex comun	Piramidă cu bază triunghiulară, toate fețele laterale sunt congruente cu baza (tetraedru obișnuit), de aceea ele însele sunt bazele (dacă tetraedrul este întors)
Răspândit în natură	Forma piramidei quadrangulare este inerentă moleculelor unor compuși	Tetraedrul are forma unei molecule de amoniac, o rețea de cristal cu diamant, perii din fructele unor plante (de exemplu, nuci)
Aplicație în gospodărie, inginerie și construcții	Piramidele cvadrangulare sunt clădiri religioase ale mai multor civilizații antice (Maya, Egiptul Antic, azteci)	Forma tetraedrului obișnuit a fost în pungi cu lapte din URSS, celulele mai multor structuri metalice au de asemenea această formă