Tetrahedron tertulis. Apa perbedaan antara tetrahedron dan piramida?

Tetrahedron, atau segitiga piramida, adalah yang paling sederhana dari polyhedra, seperti halnya segitiga adalah yang paling sederhana dari poligon pada suatu bidang. Kata "tetrahedron" terbentuk dari dua kata Yunani: tetra - "empat" dan hedra - "base", "face". Tetrahedron ABCD didefinisikan oleh empat simpulnya - titik A, B, C, D, tidak terletak pada bidang yang sama; wajah tetrahedron adalah empat segitiga; ada enam tulang rusuk di tetrahedron. Berbeda dengan piramida n-batubara sembarang (untuk n ≥ 4), setiap wajah tetrahedron dapat dipilih sebagai dasarnya.

Banyak sifat tetrahedra mirip dengan sifat segitiga yang sesuai. Secara khusus, 6 pesawat ditarik melalui titik tengah tepi tetrahedron tegak lurus dengan mereka berpotongan pada satu titik. Pada titik yang sama, O juga memotong 4 garis lurus yang ditarik melalui pusat-pusat dibatasi tentang wajah lingkaran tegak lurus dengan bidang wajah, dan O adalah pusat bola yang dijelaskan di dekat tetrahedron (Gambar 1). Demikian pula, 6 bidang setengah-bidang tetrahedron, yaitu, setengah-bidang yang membagi sudut-sudut dihedral di tepi-tepi tetrahedron menjadi dua, juga berpotongan pada satu titik - di tengah bola yang tertulis dalam tetrahedron - bola yang menyentuh keempat muka tetrahedron. Segitiga apa pun memiliki, selain yang bertuliskan, 3 lingkaran yang lebih bertuliskan (lihat Segitiga), tetapi tetrahedron dapat memiliki nomor berapapun - dari 4 hingga 7 bola bertulis tambahan, mis., Bola yang menyentuh bidang keempat bidang tetrahedron. Selalu ada 4 bola yang tertulis dalam sudut trihedral terpotong, salah satunya ditunjukkan pada Gambar. 2, di sebelah kanan. 3 bola lebih dapat ditulisi (tidak selalu!) Dalam sudut dihedral terpotong di tepi tetrahedron - salah satunya ditunjukkan pada Gambar. 2, di sebelah kiri.

Untuk tetrahedron, ada kemungkinan lain pengaturan bersama dengan bola - menyentuh dengan bola tertentu dengan semua ujungnya (Gbr. 3). Bola seperti itu - kadang-kadang disebut "setengah-tertulis" - hanya ada ketika jumlah panjang tepi yang berlawanan dari tetrahedron adalah sama: AB + CD \u003d AC + BD \u003d AD + BC (Gbr. 3).

Untuk tetrahedron apa pun, analog teorema pada persimpangan median segitiga pada satu titik adalah valid. Yaitu, 6 pesawat yang ditarik melalui tepi tetrahedron dan bagian tengah tepi yang berseberangan berpotongan pada satu titik - di pusat massa tetrahedron (Gbr. 4). 3 "garis tengah" juga melewati M centroid - segmen yang menghubungkan titik tengah dari tiga pasang tepi yang berlawanan, dan mereka membagi titik M menjadi dua. Akhirnya, 4 "median" dari tetrahedron juga melewati M - segmen yang menghubungkan simpul dengan centroid dari wajah yang berlawanan, dan mereka dibagi pada titik M dalam rasio 3: 1, menghitung dari simpul.

Properti paling penting dari sebuah segitiga - kesetaraan ∠A + ∠B + \u003dC \u003d 180 ° (atau π) - tidak memiliki analog "tetrahedral" yang masuk akal: jumlah semua 6 sudut dihedral dari tetrahedron dapat mengambil nilai antara 2π dan 3π. (Tentu saja, jumlah dari semua 12 bidang sudut tetrahedron - 3 pada setiap titik - tidak tergantung pada tetrahedron dan sama dengan 4π.)

Segitiga biasanya diklasifikasikan menurut tingkat simetri mereka: segitiga biasa atau sama sisi memiliki tiga sumbu simetri, sama kaki - satu. Klasifikasi tetrahedra menurut tingkat simetri lebih kaya. Tetrahedron yang paling simetris adalah teratur, dibatasi oleh empat segitiga reguler. Ini memiliki 6 bidang simetri - mereka melewati setiap tulang rusuk tegak lurus ke tulang rusuk yang berlawanan - dan 3 sumbu simetri melewati tengah rusuk yang berlawanan (Gbr. 5). Piramida segitiga reguler (3 bidang simetri, Gambar 6) dan tetrahedra yang sama (yaitu tetrahedra dengan wajah yang sama - 3 sumbu simetri, Gambar 7) kurang simetris.

Sebagai kesimpulan, kami memberikan dua rumus untuk menghitung volume tetrahedron. Mereka tidak sangat mirip dengan rumus terkenal untuk area segitiga, tetapi beberapa analogi masih dapat dilacak.

di mana ketinggian h D dalam hal ini adalah jarak dari titik D ke bidang wajah ABC.

di mana (∠AB) adalah sudut dihedral di tepi AB. Ada rumus lain untuk menghitung volume tetrahedron.

Definisi Tetrahedron adalah polyhedron dengan empat wajah segitiga, dengan 3 wajah berkumpul di setiap titik. Tetrahedron memiliki 4 wajah, 4 simpul dan tepi 6. Kata "tetrahedron" dibentuk dari dua kata Yunani: tetra "empat" dan hedra "dasar", "wajah".

Definisi median, bimedian (garis tengah) dan ketinggian tetrahedron. Segmen yang menghubungkan titik puncak tetrahedron dengan titik persimpangan median dari wajah yang berlawanan disebut median yang dihilangkan dari titik ini. Segmen yang menghubungkan titik tengah dari tepi yang bersilangan dari tetrahedron disebut bimediannya, yang menghubungkan data tepi tersebut. Segmen yang menghubungkan titik dengan titik wajah yang berlawanan dan tegak lurus dengan wajah ini disebut tingginya, dihilangkan dari titik ini.

Jenis Tetrahedra Tetrahedron isometrik adalah tetrahedron di mana semua wajah adalah segitiga sama. Tetrahedron ortosentris adalah tetrahedron di mana semua ketinggian turun dari simpul ke wajah berlawanan berpotongan pada satu titik. Tetrahedron persegi panjang adalah tetrahedron di mana semua tepi yang berdekatan dengan salah satu simpul tegak lurus satu sama lain. Tetrahedron biasa adalah tetrahedron di mana semua wajah adalah segitiga sama sisi. Tetrahedron yang sepadan dengan ketinggian yang sama adalah sama. Tetrahedron konsentris adalah tetrahedron di mana segmen-segmen yang menghubungkan simpul-simpul tetrahedron dengan pusat-pusat lingkaran yang tertulis pada wajah-wajah yang berlawanan berpotongan pada satu titik.

Keempat wajah tetrahedron biasa adalah segitiga biasa. Jika panjang tepi tetrahedron biasa dilambangkan dengan a, maka kita dapat menghitung: Area permukaan penuh Radius dari bola yang dijelaskan Volume Sudut tepi Tinggi Sudut kemiringan wajah Radius dari bola yang ditorehkan

Properti tetrahedron Masing-masing simpulnya adalah puncak dari tiga segitiga. Jadi, jumlah sudut datar di setiap titik akan sama dengan 180º. Sebuah octahedron dapat dimasukkan dalam tetrahedron yang benar. Tetrahedron yang benar dapat ditorehkan dalam icosahedron, apalagi, empat simpul tetrahedron akan disejajarkan dengan empat simpul icosahedron. Tetrahedron yang benar dapat dimasukkan ke dalam kubus dengan dua cara, apalagi, empat simpul dari tetrahedron akan disejajarkan dengan empat simpul kubus.

Di mana tetrahedron digunakan? Tetra Classic® karton dalam bentuk tetrahedron untuk menyimpan susu, dibuat pada 1950 oleh Tetra Pak. Sejak 1959, telah dipasok dan digunakan secara luas di Uni Soviet, di mana paket-paket ini biasanya disebut "piramida" atau "tas segitiga". Piramida terdiri dari dua ukuran utama: besar (untuk susu dan kefir) dan lebih kecil (untuk krim). Mereka didekorasi secara berbeda tergantung pada jenis produk. Ternyata lebih nyaman untuk merekatkan tetrahedra pada conveyor, memotong kosong untuk mereka dari selang kardus.

Tetrahedron dalam margasatwa Beberapa buah, empat di satu tangan, terletak di simpul tetrahedron, yang dekat dengan yang benar. Desain ini disebabkan oleh fakta bahwa pusat-pusat dari empat bola identik yang saling bersentuhan berada di simpul tetrahedron biasa. Oleh karena itu, buah seperti bola membentuk susunan yang serupa. Misalnya, kenari dapat ditempatkan dengan cara ini.

Tetrahedron dalam konstruksi Tetrahedron membentuk struktur yang kaku dan dapat ditentukan secara statis. Tetrahedron yang terbuat dari batang sering digunakan sebagai dasar untuk struktur penahan beban spasial dari bentang bangunan, lantai, balok, rangka, jembatan, dll. Batang hanya mengalami beban memanjang.

Reflektor sudut Reflektor sudut adalah perangkat dalam bentuk tetrahedron persegi panjang dengan bidang reflektif yang saling tegak lurus. Radiasi memasuki reflektor sudut tercermin dalam arah yang benar-benar berlawanan. Digunakan: untuk pengukuran jarak yang akurat (untuk lokasi laser bulan, satelit, survei topografi, konstruksi); untuk mengembalikan radiasi tepat kembali (reflektor, peperangan elektronik).

Tetrahedron dalam molekul Metana dunia mikro CH 4 Molekul amonia NH 3 Tetrahedron berlian C dengan tepi sama dengan 2,5220 angstrom Fluorit CaF2, tetrahedron dengan tepi sama dengan 3, 8626 angstrom Sphalerite, ZnS, tetrahedron dengan tepi sama dengan 3,823 angstrom 2, 2, 2 -, 2+ Silikat, yang didasarkan pada tetrahedron silikon-oksigen 4-20

Tetrahedron dan piramida adalah polyhedra, atau permukaan tertutup yang terbuat dari poligon (definisi ilmiah). Ada polyhedra yang jumlahnya tak terbatas, tetapi kita akan membahas keduanya. Apa perbedaan antara tetrahedron dan piramida dan apa yang umum di antara mereka? Mari kita lihat lebih dekat.

Piramida

Piramida  dalam benak banyak orang, itu terkait erat dengan makam kuno para firaun Mesir. Memang, mereka semua adalah piramida dengan basis persegi (atau dekat dengan persegi). Dari apa yang telah dikatakan, jelas bahwa ada piramida dengan basis dari bentuk yang berbeda. Piramida geometri adalah polyhedron, yang salah satu sisinya (alas) adalah poligon yang sewenang-wenang (artinya, ia bahkan dapat memiliki bentuk tidak beraturan), dan bagian wajah lainnya berbentuk segitiga dengan simpul umum.

Perbedaan antara tetrahedron dan piramida adalah bahwa ada sejumlah varietas yang terakhir. Elemen-elemen piramida berikut dibedakan, mencirikan bentuknya:

• wajah sisi (segitiga berkumpul di atas);
• basis;
• rusuk samping (sisi umum dari wajah yang berdekatan);
• tinggi
• atas
• apothem (hanya piramida biasa yang memiliki elemen ini, yaitu, mereka yang basisnya adalah poligon reguler (memiliki sisi yang sama)).

Perbandingan

Tetrahedron  adalah polyhedron paling sederhana. Ini memiliki empat wajah dan enam tepi, lebih sedikit tidak mungkin. Wajah adalah segitiga. Jika semuanya adalah sama sisi, maka tetrahedron seperti itu disebut biasa. Dengan demikian, tetrahedron pada saat yang sama adalah piramida segitiga biasa, yang dasarnya dapat berupa salah satu wajah. Tetrahedron banyak digunakan dalam teknologi dan umum pada satwa liar: buah-buahan dari beberapa tanaman dikumpulkan dalam bentuk seperti itu.

Sel-sel dari beberapa struktur logam kerawang juga memiliki bentuk tetrahedron - sehingga lebih baik menahan beban. Dan di microworld, polyhedron ini biasa digunakan. Sebagai contoh, bentuk tetrahedron melekat dalam molekul amonia. Di "raja mineral", berlian, dalam kisi kristal, masing-masing atom karbon terletak di tengah tetrahedron, dan empat atom terdekat berfungsi sebagai simpul. Struktur inilah yang menjadikan berlian mineral paling sulit di Bumi.

  Di Uni Soviet, mereka menjual susu dalam bentuk tetrahedron

Meja

Jelaslah apa perbedaan antara tetrahedron dan piramida: tetrahedron adalah kasus khusus dari piramida trihedral. Kesederhanaannya menjadi dasar untuk pembuatan struktur yang sangat kaku, baik alami (kisi kristal berlian) maupun buatan (sel-sel struktur logam). Lihat hasil perbandingan pada tabel di bawah ini.

	Piramida	Tetrahedron
Formulir	Basis adalah poligon dengan bentuk sewenang-wenang, sisi-sisinya berbentuk segitiga dengan simpul umum	Piramida dengan alas segitiga, semua muka samping kongruen dengan alas (tetrahedron biasa), oleh karena itu mereka sendiri adalah pangkalan (jika tetrahedron dibalik)
Tersebar di alam	Bentuk piramida segi empat melekat dalam molekul beberapa senyawa	Tetrahedron memiliki bentuk molekul amonia, kisi kristal berlian, kuas buah-buahan dari beberapa tanaman (misalnya, kenari)
Aplikasi dalam rumah tangga, teknik dan konstruksi	Piramida segi empat adalah bangunan keagamaan dari sejumlah peradaban kuno (Maya, Mesir Kuno, Aztec)	Bentuk tetrahedron biasa berada di dalam tas dengan susu di USSR, sel-sel dari sejumlah struktur logam juga memiliki bentuk ini.