Αυτό που ονομάζεται πολυεδρικό των οποίων τα δύο πρόσωπα. Σχεδιασμός και ερευνητική εργασία: "Καταπληκτικές μορφές: κανονικά πολυεδρικά
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα
Γραμματική Σχολή № 26
Γεωμετρία
Οι κύριοι τύποι πολυεδρών και οι ιδιότητές τους
Ολοκληρώθηκε:
Δάσκαλος βαθμού 9-1
Baysakova Lyazzat
Δάσκαλος:
Σιόεβα Έλενα Αλεκεσεβνά
Τσελιάμπινσκ
Εισαγωγή
Πολύπλευρη επιφάνεια. Πολύδρομο
Πυραμίδα
Παραλληλεπίπεδο
Ένταση σώματος
Συμπέρασμα
Κατάλογος χρησιμοποιούμενης βιβλιογραφίας
Εισαγωγή
Μέχρι τώρα, κατά τη διάρκεια της γεωμετρίας, έχουμε ασχοληθεί με την πλανητομετρία - μελετήσαμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών επίπεδων μορφών, δηλαδή των μορφών που ευρίσκονται εντελώς στο επίπεδο. Αλλά τα περισσότερα αντικείμενα γύρω μας δεν είναι εντελώς επίπεδη, βρίσκονται στο διάστημα. Εξετάζεται το τμήμα της γεωμετρίας στο οποίο μελετούνται οι ιδιότητες των μορφών στο χώρο στερεομετρία (από άλλα ελληνικά στερεός, "stereos" - "στερεό, χωρικό" και μεττρέω - "μέτρο").
Οι κύριες μορφές στο διάστημα είναι σημείο, απευθείας και αεροπλάνο. Μαζί με αυτές τις απλούστερες μορφές στη στερεομετρία, θεωρούνται γεωμετρικά σώματα και οι επιφάνειές τους. Όταν μελετάτε γεωμετρικά σώματα, χρησιμοποιήστε τις εικόνες στο σχέδιο.
Σχήμα 1 Σχήμα 2
Το σχήμα 1 δείχνει μια πυραμίδα, σχήμα 2 - ένας κύβος. Αυτά τα γεωμετρικά σώματα καλούνται πολυεδρών.Εξετάστε ορισμένους τύπους και ιδιότητες του polyhedra.
Πολύπλευρη επιφάνεια. Πολύδρομο
Μια πολυεδρική επιφάνεια είναι μια ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού επίπεδων πολυγώνων έτσι ώστε κάθε πλευρά οποιουδήποτε από τα πολύγωνα είναι ταυτόχρονα η πλευρά ενός άλλου (αλλά μόνο ενός) πολύγωνου, που ονομάζεται δίπλα στο πρώτο πολύγωνο.
Από οποιοδήποτε από τα πολύγωνα που συνθέτουν την πολυεδρική επιφάνεια, μπορείτε να πάτε σε οποιοδήποτε άλλο, κινούμενο κατά μήκος γειτονικών πολυγώνων.
Πολύγωνα που σχηματίζουν μια πολυεδρική επιφάνεια ονομάζονται τα πρόσωπά της. οι πλευρές των πολυγώνων ονομάζονται άκρα και οι κορυφές ονομάζονται κορυφές πολυεδρικής επιφάνειας.
Το σχήμα 1 δείχνει την ένωση πολυγώνων που πληρούν τις προδιαγραφόμενες απαιτήσεις και είναι πολυεδρικές επιφάνειες. Το σχήμα 2 δείχνει εικόνες που δεν είναι πολυεδρικές επιφάνειες.
Μια πολύπλευρη επιφάνεια χωρίζει τον χώρο σε δύο μέρη - την εσωτερική περιοχή της πολύπλευρης επιφάνειας και την εξωτερική περιοχή. Από τις δύο εξωτερικές περιοχές, θα υπάρχει ένα στο οποίο είναι εφικτό να σχεδιαστούν ευθείες γραμμές που ανήκουν εξ ολοκλήρου στην περιοχή.
5 Η ένωση μιας πολυεδρικής επιφάνειας και της εσωτερικής της περιοχής ονομάζεται πολυεδρικό. Επιπλέον, η πολυεδρική επιφάνεια και η εσωτερική της περιοχή ονομάζονται επιφάνεια και εσωτερική περιοχή του πολυεδρικού, αντίστοιχα. Τα πρόσωπα, τα άκρα και οι κορυφές της επιφάνειας ενός πολυεδρικού ονομάζονται οι όψεις, τα άκρα και οι κορυφές του πολυεδρικού, αντίστοιχα.
Πυραμίδα
Ένα πολυεδρικό, ένα από τα πρόσωπα του οποίου είναι ένα αυθαίρετο πολυεδρικό, και τα υπόλοιπα πρόσωπα είναι τρίγωνα που έχουν μια κοινή κορυφή, που ονομάζεται πυραμίδα.
Το πολύγωνο ονομάζεται βάση της πυραμίδας και τα υπόλοιπα πρόσωπα (τρίγωνα) καλούνται πλευρικές όψεις της πυραμίδας.
Διακρίνονται τριγωνικά, τετράπλευρα, πενταγωνικά, κλπ. πυραμίδες ανάλογα με τον τύπο πολυγώνου που βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας.
Η τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται επίσης τετράεδρο. Το σχήμα 1 δείχνει την τετράπλευρη πυραμίδα SABCD με τη βάση ABCD και τις πλευρικές επιφάνειες SAB, SBC, SCD, SAD.
Οι πλευρές των όψεων της πυραμίδας ονομάζονται άκρες της πυραμίδας. Οι νευρώσεις που ανήκουν στη βάση της πυραμίδας ονομάζονται νευρώσεις της βάσης και όλες οι άλλες πλευρές ονομάζονται πλευρικές νευρώσεις. Η κοινή κορυφή όλων των τριγώνων (πλευρικές όψεις) ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας (στο Σχήμα 1, το σημείο S είναι η κορυφή της πυραμίδας, τα τμήματα SA, SB, SC, SD είναι πλευρικά άκρα, τα τμήματα AB, BC, CD, AD είναι οι άκρες της βάσης).
Το ύψος της πυραμίδας είναι το τμήμα της κάθετης που σύρεται από την κορυφή της πυραμίδας S στο επίπεδο της βάσης (τα άκρα αυτού του τμήματος είναι η κορυφή της πυραμίδας και η βάση της κάθετης). Στο Σχήμα 1, το SO είναι το ύψος της πυραμίδας.
Η σωστή πυραμίδα. Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική εάν η βάση της πυραμίδας είναι κανονικό πολύγωνο και η ορθογώνια προβολή της κορυφής στο επίπεδο της βάσης συμπίπτει με το κέντρο του πολυγώνου που βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας.
Όλες οι πλευρικές πλευρές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους. όλες οι πλευρικές επιφάνειες είναι ισοδύναμα ισοσκελές τρίγωνα.
Το ύψος της πλαϊνής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που τραβιέται από την κορυφή της λέγεται το απόθεμα αυτής της πυραμίδας. Στο Σχήμα 2, το SN είναι ένα απόθεμα. Όλοι οι apothems της σωστής πυραμίδας είναι ίσοι μεταξύ τους.
Πρίσμα
Ένα πολυεδρικό των οποίων τα δύο πρόσωπα είναι ίσα n-γδόντα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, και τα υπόλοιπα n πρόσωπα - παράλληλα γραφήματα, που ονομάζονται n-γικό πρίσμα.
πολυεδρικό πύραυλο πρισματικό παραλληλεπίπεδο
Ένα ζευγάρι ίσων n-γιοντα ονόμασαν τις βάσεις του πρίσματος. Τα υπόλοιπα πρόσωπα του πρίσματος ονομάζονται πλευρικά πρόσωπά του και η ένωση τους ονομάζεται πλευρική επιφάνεια του πρίσματος. Το σχήμα 1 δείχνει ένα πενταγωνικό πρίσμα.
Οι πλευρές των προσώπων του πρίσματος ονομάζονται άκρα και τα άκρα των άκρων ονομάζονται κορυφές του πρίσματος. Οι ραβδώσεις που δεν ανήκουν στη βάση του πρίσματος ονομάζονται πλευρικές πλευρές.
Ένα πρίσμα των οποίων οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες προς τα επίπεδα βάσης ονομάζεται άμεσο πρίσμα. Διαφορετικά, το πρίσμα ονομάζεται κεκλιμένο.
Το τμήμα της κάθετης προς τα επίπεδα των πρίσμα βάσεων, τα άκρα των οποίων ανήκει σε αυτά τα επίπεδα, ονομάζεται το ύψος του πρίσματος.
Ένα άμεσο πρίσμα που βασίζεται σε ένα κανονικό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό πρίσμα.
Παραλληλεπίπεδο
Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα εξάγωνο, οι αντίθετες όψεις του οποίου είναι παράλληλες σε ζεύγη. Παραλληλεπίπεδο έχει 8 κορυφές, 12 άκρες. τα πρόσωπά του είναι ισοδύναμα ισοδύναμα παράλληλα γραφήματα.
Παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθεία αν οι πλευρικές ακμές της είναι κάθετες στο επίπεδο της βάσης (στην περίπτωση αυτή, οι 4 πλευρικές όψεις είναι ορθογώνια). ορθογώνια αν αυτό παραλληλεπίπεδο το ορθογώνιο είναι η ευθεία γραμμή και η βάση (επομένως, οι 6 όψεις είναι ορθογώνια).
Παραλληλεπίπεδο, όλα τα πρόσωπα των οποίων είναι τετράγωνα, που ονομάζεται κύβος.
Τόμος Παραλληλεπίπεδο ίσο με το προϊόν της περιοχής της βάσης του κατά ύψος.
Ένταση σώματος
Κάθε πολυεδρικό έχει έναν όγκο που μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας την επιλεγμένη μονάδα μέτρησης όγκων. Για μια μονάδα μέτρησης όγκων, λαμβάνεται ένας κύβος του οποίου η ακμή είναι ίση με τη μονάδα μέτρησης των τμημάτων. Ένας κύβος με ακμή 1 cm καλείται κυβικό εκατοστό. Ομοίως ορίζεται κυβικό μέτροκαι κυβικό χιλιοστό, κλπ.
Στη διαδικασία μέτρησης όγκων με την επιλεγμένη μονάδα μέτρησης, ο όγκος του σώματος εκφράζεται με ένα θετικό αριθμό, το οποίο δείχνει πόσες μονάδες μέτρησης των όγκων και των μερών του ταιριάζουν σε αυτό το σώμα. Ο αριθμός που εκφράζει τον όγκο του σώματος εξαρτάται από την επιλογή της μονάδας μέτρησης των όγκων. Επομένως, η μονάδα μέτρησης των όγκων εμφανίζεται μετά από αυτόν τον αριθμό.
Οι κύριες ιδιότητες των όγκων:
1. Τα ίδια όργανα έχουν ίσους όγκους.
2. Εάν το σώμα αποτελείται από διάφορα σώματα, τότε ο όγκος του είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων αυτών των σωμάτων.
Για να βρείτε τους όγκους των σωμάτων, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα θεώρημα που ονομάζεται cavalieri αρχή.
Η αρχή Cavalieri έχει ως εξής: εάν στη διασταύρωση δύο σωμάτων με οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο προς κάποιο συγκεκριμένο επίπεδο, αποκτώνται τμήματα ίσης περιοχής, τότε οι όγκοι των σωμάτων είναι ίσοι μεταξύ τους.
Συμπέρασμα
Έτσι, τα polyhedra μελετούν ένα τμήμα γεωμετρίας που ονομάζεται στερεομετρία. Τα πολυεδρά έρχονται σε διάφορους τύπους (πυραμίδα, πρίσμα, κλπ.) Και έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Επίσης, πρέπει να σημειωθεί ότι τα πολυεδρικά, σε αντίθεση με τα επίπεδα στοιχεία, έχουν όγκο και βρίσκονται στο διάστημα.
Τα περισσότερα αντικείμενα γύρω μας είναι στο διάστημα, και η μελέτη του polyhedra μας βοηθά να πάρουμε μια ιδέα της πραγματικότητας που μας περιβάλλει όσον αφορά τη γεωμετρία.
Κατάλογος χρησιμοποιούμενης βιβλιογραφίας
1. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τους βαθμούς 7-9.
3. Βικιπαίδεια
5. Λεξικό
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Γυμνάσιο Αρ. 26 Αφηρημένη Γεωμετρία Κύριοι τύποι πολυεδρών και οι ιδιότητές τους Εκτελούνται: Σπουδαστής βαθμού 9-1 Baysakova Lyazzat Δάσκαλος: Sysoeva Elena AleΣχεδιασμός και ερευνητικές εργασίες:
"Καταπληκτικές φιγούρες: κανονικό πολυεδρικό."
Σύντομη σχολιασμός.Φέτος, στις τάξεις του μαθηματικού κύκλου, μελετήσαμε κανονικά πολυεδρικά, τα οποία ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά. Κάνοντας τα μοντέλα τους, μας εκπλήσσει το ασυνήθιστο και όμορφο των μερικών από αυτά. Με τη βοήθεια των σαρώσεων, μάθαμε πώς να κατασκευάσουμε αυτά τα στοιχεία. Αλλά για να χτίσετε μια σάρωση πρέπει να έχετε ένα σύνολο μαθηματικών γνώσεων, δεξιοτήτων σχεδίασης, χωρικής σκέψης.
Αποφασίσαμε να μάθουμε περισσότερα για το σωστό polyhedra, να γνωρίσουμε την ιστορία της εμφάνισής τους, να μάθουμε πώς να τα κατασκευάσουμε με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, εύκολα και γρήγορα, να διερευνήσουμε το ρόλο τους στον κόσμο γύρω μας και τέλος να μάθουμε αν αυτά τα στοιχεία και οι γνώσεις γι '
Σκοπός της μελέτης:
Στόχοι έρευνας:
- να μελετήσει τις πηγές πληροφόρησης σχετικά με αυτό το θέμα.
-
Αντικείμενο μελέτης: τα σωστάπολυεδρών.
Αντικείμενο της έρευνας: h
Μέθοδοι έρευνας:
-
- παρατήρηση ·
Ερώτηση.
- πρακτική εργασία.
Εργαζόμενοι σε αυτό το θέμα, έχουμε ολοκληρώσει όλους τους στόχους και στόχους που θέσαμε για τον εαυτό μας: έμαθαν πώς να κατασκευάσουν μοντέλα κανονικής πολυεδρίας, μελέτησαν την ιστορία της εμφάνισης, τις ιδιότητές τους, βρήκαν μια σύνδεση μεταξύ των μορφών τακτικών πολυεδρών και φυσικών αντικειμένων και βρήκαν εφαρμογή στην καθημερινή ζωή. Φροντίσαμε ότι τα στοιχεία αυτά ενδιαφέρουν τους άλλους. Επιπλέον, μάθαμε να λύσουμε μερικά μαθηματικά προβλήματα με τη βοήθεια μιας πυξίδας και ενός ηγεμόνα, βελτιώνοντας έτσι τις ικανότητές μας στην κατάρτιση και τις μαθηματικές γνώσεις. Αυτό είναι πολύ χρήσιμο για εμάς, γιατί ήδη το επόμενο έτος πρέπει να μελετήσουμε τη γεωμετρία.
Ως αποτέλεσμα της πρακτικής εργασίας, βελτιώσαμε τις λεπτές κινητικές δεξιότητες των χεριών, αναπτύξαμε φαντασία και φαντασία, σκληρή δουλειά και επιμονή στην επίτευξη των στόχων μας.
Πίνακας περιεχομένων.
Εισαγωγή 4
Η έννοια ενός κανονικού πολυεδρικού 5-6
Από την ιστορία του polyhedra 6-7
Χρησιμοποιώντας φόρμες και εφαρμόζοντας τακτική πολυεδρία 7-9
Κάνοντας κανονικό πολυεδρικό 9-10
Συμπέρασμα 11
Κατάλογος πηγών πληροφοριών. 12
Προσάρτημα 13-18
Εισαγωγή
Στον κόσμο μας, πολύ ασυνήθιστο και όμορφο. Είμαστε περιτριγυρισμένοι από αντικείμενα των οποίων οι μορφές μας εκπλήσσουν. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι κανονικά πολυεδρικά. Αυτά τα στοιχεία έχουν τόσο την ομορφιά όσο και την τελειότητα των μορφών και την ελκυστικότητα.
Από την πρώιμη παιδική ηλικία, συναντάμε ήδη κανονικά πολυεδρικά, παίζοντας κύβους και αναπτύσσοντας κατασκευαστές, επιλύοντας παζλ του κύβου Rubik και των ποικιλιών του. Οι αρχιτέκτονες, οι οικοδόμοι και οι σχεδιαστές ενσωματώνουν τις πρωτότυπες ιδέες τους χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία.
Φέτος, στις τάξεις του μαθηματικού κύκλου, μελετήσαμε κανονικά πολυεδρικά, τα οποία ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά. Στα εγχειρίδια για τη γεωμετρία για ένα γυμνάσιο, δίνονται πολύ κακές πληροφορίες για το πολυεδρικό. Σχετικά με αυτό το θέμα προτείνονται πολύ λίγα προβλήματα, γι 'αυτό και οι δυνατότητες του θέματος δεν αποκαλύπτονται καθόλου. Αλλά είναι θεωρητικά πολύ πλούσιο, μας επιτρέπει να διατυπώνουμε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα. Η λύση των προτεινόμενων προβλημάτων θα μας επιτρέψει να δούμε ότι ορισμένες τεχνικές κατασκευής συμβάλλουν σημαντικά στην απλοποίηση τόσο της ίδιας της κατασκευής όσο και της κατανόησης των ιδιοτήτων του σχήματος.
Μελετώντας τις ιδιότητες αυτών των μορφών, κατασκευάζοντας τις σαρώσεις τους, αναδιπλώνοντας το πολυεδρικό, συνειδητοποιήσαμε ότι ήταν ενδιαφέρον για μας.Αποφασίσαμε να μάθουμε περισσότερα για τα κανονικά πολυεδρικά, να γνωρίσουμε την ιστορία της εμφάνισής τους, να διερευνήσουμε το ρόλο τους στον κόσμο γύρω μας και να βρούμε την πρακτική εφαρμογή τους.
Υπόθεση: τα κανονικά πολυεδρικά είναι αρμονικά και κερδοφόρα σχήματα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ευρέως.
Σκοπός της μελέτης: επεκτείνοντας τον κύκλο των γνώσεων για τα κανονικά πολυεδρικά, μελετώντας πρακτικές εφαρμογές στον έξω κόσμο.
Στόχοι έρευνας:
- να μελετήσουν λογοτεχνικές πηγές για το θέμα αυτό.
Κάνετε μια συλλογή τακτικών polyhedra και παρακολουθείτε ενδιαφέρον για αυτά.
- να βρουν παραδείγματα τακτικών πολυεδρών στο φυσικό περιβάλλον και στο οικιακό περιβάλλον.
Αποδείξτε ότι οι μορφές των κανονικών πολυεδρών είναι εφαρμόσιμες στην καθημερινή ζωή.
Αντικείμενο μελέτης: τα σωστάπολυεδρών.
Αντικείμενο της έρευνας: h την αρχή και την εφαρμογή αυτών των στοιχείων
Μέθοδοι έρευνας:
- αναζήτηση, συλλογή και επεξεργασία πληροφοριών σχετικά με το θέμα
- παρατήρηση ·
- πρακτική εργασία.
Ερώτηση.
Η έννοια ενός κανονικού πολυεδρικού.Πολυεδρά - αυτές είναι οι απλούστερες μορφές στο διάστημα, όπως, για παράδειγμα, πολύγωνα - οι απλούστερες μορφές στο αεροπλάνο. Αν θεωρήσουμε το πολυεδρικό από την άποψη της γεωμετρίας, τότε αυτό είναι το τμήμα του χώρου οριοθετημένο από επίπεδα πολυγώνια που ονομάζονται πρόσωπα. Οι πλευρές και οι κορυφές των όψεων ονομάζονται άκρα και κορυφές του ίδιου του πολυεδρικού.
Ένα κανονικό πολυεδρικό είναι ένας αριθμός που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Είναι κυρτό.
Όλα τα πρόσωπα είναι ίσα κανονικά πολύγωνα.
Σε κάθε κορυφή του, ο ίδιος αριθμός των προσώπων συγκλίνει.
Όλες οι διεδρικές γωνίες είναι ίσες.
Η ύπαρξη μόνο πέντε τακτικών πολυεδρών αποδεικνύεται.
| Tetrahedron αποτελούμενη από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή είναι η κορυφή τριών τριγώνων. | |
| Κύβος (εξάεδρον) αποτελούμενη από έξι τετράγωνα. Κάθε κορυφή του κύβου είναι η κορυφή τριών τετραγώνων. |
|
| Octahedron αποτελούμενο από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του οκτάεδρον είναι η κορυφή τεσσάρων τριγώνων. |
|
| Δωδεκάεδρο αποτελούμενη από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκαέδρου είναι η κορυφή τριών κανονικών πεντάγωνων. |
|
| Icosahedronαποτελούμενη από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του εικοσαέδρου είναι η κορυφή πέντε τριγώνων. |
|
Τα ονόματα αυτών των αριθμών είναι πολύ εύκολο να θυμηθούμε. Μετάφραση από την ελληνική, "edra" σημαίνει ένα πρόσωπο, "tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "icosa" - 20, "dodeca" - 12.
Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός πολυεδρικού είναι ο αριθμός και ο τύπος των προσώπων, ο αριθμός των κορυφών και ο αριθμός των άκρων. Αυτά τα χαρακτηριστικά για τα κανονικά πολυεδρικά παρουσιάζονται στον πίνακα (Προσάρτημα 1)
Αφού μελετήσαμε προσεκτικά το περιεχόμενο του πίνακα, είδαμε ένα μοτίβο: αν ο αριθμός των άκρων του υπό εξέταση πολυεδρικού αυξάνεται κατά 2, τότε έχουμε ένα αριθμό ίσο με το άθροισμα του αριθμού των προσώπων και των κορυφών αυτού του πολυεδρικού. Διατυπώνουμε αυτόν τον κανόνα ως εξής:"Το άθροισμα του αριθμού των προσόψεων και των κορυφών είναι ίσο με τον αριθμό των ακμών που έχουν αυξηθεί κατά 2", δηλαδή, Γ + Β \u003d Ρ + 2.
| Ακριβώς πολυεδρόν | NUMBER GRAN + TOP | NUMBER RIBS |
| TETRAEDR | 4 + 4 = 8 | 6 |
| Κύβος | 6 + 8 = 14 | 12 |
| OCTAEDR | 8 + 6 = 14 | 12 |
| Δωδεκάεδρο | 12 + 20 = 32 | 30 |
| ICOSAEDR | 20 + 12 = 32 | 30 |
Έτσι, ανακαλύψαμε μια φόρμουλα που πρώτα εξαγγέλθηκε από τον Rene Descartes το 1640 και αργότερα ανακαλύφθηκε ξανά από τον Euler το 1752, που φέρει το όνομα του από τότε. Ο τύπος του Euler ισχύει για οποιοδήποτε κυρτό πολυεδρικό.
Από την ιστορία του πολυεδρού.
| Η ανθρωπότητα γνωρίζει για τακτικά πολυεδρικά για μεγάλο χρονικό διάστημα. Τα διακοσμητικά μοτίβα τους μπορούν να βρεθούν σε σκαλιστά σφαίρες από πέτρες που εμφανίστηκαν μέσα Σκωτία , πολύ πριν ο Πλάτων τους ανακάλυψε. Οι διάφοροι πάγκοι εκείνης της εποχής μοιάζουν επίσης με κανονικά πολυεδρικά σε σχήμα. |
|
|
| Ακόμα και τότε, οι άνθρωποι χρησιμοποίησαν χάλκινα ανάλογα αυτών των καταπληκτικών μορφών.
|
Η τιμή της ανακάλυψης και της λεπτομερούς μελέτης των κανονικών πολυεδρών αποδίδεται στους αρχαίους Έλληνες μελετητές. Σε ορισμένες πηγές, μπορείτε να βρείτε πληροφορίες ότι ο Πυθαγόρας ταυτίζεται πρώτα με αυτά τα στοιχεία. Άλλες πηγές υποστηρίζουν ότι γνώριζε μόνο το τετράεδρο, τον κύβο και το δωδεκαέδριο, ενώ το οκτάεδρο και το εικοσαέδριο ανακαλύφθηκαν από το Τεϊτέτο της Αθήνας, ο οποίος περιγράφει επίσης και τα πέντε κανονικά πολυεδρικά.
Έδωσε μεγάλη προσοχή στην τακτική πολυεδρία Πλάτωνα για την τιμή του ονομάζονται "πλατωνικά στερεά". Συσχετίζει με καθένα από τα τέσσερα στοιχεία της Γης, του Αέρα, του Νερού και της Φωτιάς ένα συγκεκριμένο κανονικό πολυέδριο. Ο κύβος ή το εξάδενδρο ήταν για τη Γη, το Οκταεδρόν για τον αέρα, το Ικοσαύδρον για το Νερό και το Tetrahedron for Fire. Μια τέτοια σύγκριση είναι πολύ εύκολο να εξηγηθεί: η θερμότητα της φωτιάς είναι αισθητή καθαρά και απότομα, όπως μικρά τετράεδρα. ο αέρας αποτελείται από οκταέδρους: τα μικρότερα συστατικά του είναι τόσο ομαλά όσο τα σταγονίδια νερού, τα οποία τα εικοσαέδρια είναι τα περισσότερα παρόμοια με αυτά. σε αντίθεση με το νερό, σταθεροί κύβοι αποτελούν τη γη. Σχετικά με το πέμπτο στοιχείο, τον δωδεκαέδριο, ο Πλάτωνας έγραψε: "... ο θεός του αναγνώρισε για το σύμπαν και κατέφυγε σε αυτό ως πρότυπο".
Ο Ευκλείδης έδωσε μια πλήρη μαθηματική περιγραφή πέντε τακτικών πολυεδρών και απέδειξε ότι δεν υπάρχουν άλλα κανονικά πολυεδρικά.
Οι ιδέες του Πλάτωνα για τη σύνδεση των κανονικών πολυεδρών με μια αρμονική διάταξη του κόσμου έχουν συνεχιστεί στην εποχή μας. Στη δεκαετία του '80. Οι μηχανικοί της Μόσχας V. Makarov και V. Morozov εξέφρασαν μια ενδιαφέρουσα επιστημονική υπόθεση: ο πυρήνας της Γης έχει το σχήμα και τις ιδιότητες ενός αναπτυσσόμενου κρυστάλλου, ο οποίος επηρεάζει ενεργά τις φυσικές διεργασίες που συμβαίνουν στον πλανήτη. Το πεδίο δύναμης των ακτίνων αυτού του κρυστάλλου σχηματίζει τη δομή των εικοσαεδρικών-δωδεκαέδρων της Γης. Εκδηλώνεται στο γεγονός ότι, όπως φαίνεται, εμφανίζονται προβολές κανονικών πολυεδρών που είναι εγγεγραμμένοι στον πλανήτη: στο φλοιό της γης: το εικοσάεδρο και το δωδεκαέδριο.
Αποδεικνύεται ότι πολλές αποθέσεις ορυκτών βρίσκονται ακριβώς κατά μήκος του δικτύου icosahedral-dodecahedron: 62 κορυφές και μεσαία σημεία των άκρων του polyhedra έχουν ειδικές ιδιότητες που επιτρέπουν την εξήγηση πολλών φαινομένων στον πλανήτη μας. Τα κέντρα των αρχαιότερων πολιτισμών και πολιτισμών βρίσκονται εδώ: το Περού, τη Βόρεια Μογγολία, την Αϊτή, τον πολιτισμό Ob και άλλα. Σε αυτά τα σημεία, τα μέγιστα και τα ελάχιστα της ατμοσφαιρικής πίεσης, οι γιγάντιες αναταράξεις των ωκεανών παρατηρούνται. Σε αυτούς τους κόμβους βρίσκονται η λίμνη Loch Ness, το τρίγωνο των Βερμούδων.
Χρησιμοποιώντας φόρμες και εφαρμόζοντας τακτική polyhedra.
Τα σωστά πολυεδρικά είναι τα πιο κερδοφόρα σχήματα. Ο άνθρωπος και η φύση το χρησιμοποιούν ευρέως. Αυτό επιβεβαιώνεται από το σχήμα ορισμένων κρυστάλλων. Για παράδειγμα, οι κρύσταλλοι αλάτων έχουν σχήμα κύβου. Είμαστε πεπεισμένοι για αυτό με την εξέταση κρυστάλλων αλατιού σε ηλεκτρονικό μικροσκόπιο στο υπουργικό συμβούλιο βιολογίας(Προσάρτημα 2)
Και πώς Ο κόσμος των κρυστάλλων, που είναι φυσικό πολυεδρικό, είναι διαφορετικός.Ζούμε σε έναν κόσμο κρυστάλλων: περπατάμε γύρω από κρυστάλλους, χτίζουμε από κρυστάλλους, κρύσταλλοι επεξεργασίας σε εργοστάσια, αναπτύσσουμε κρύσταλλα σε εργαστήρια, δημιουργούμε συσκευές και προϊόντα κρυστάλλου, χρησιμοποιούμε κρυστάλλους στην επιστήμη και την τεχνολογία, καταναλώνουμε κρυστάλλους και επεξεργαζόμαστε κρυστάλλους. Στο γραφείο της γεωγραφίας, βρήκαμε κρυστάλλους κρυσταλλικών πετρωμάτων και χαλαζία με εξαγωνική πρισματική επιφάνεια. Αυτό το ορυκτό έχει θεραπευτικές ιδιότητες. Προηγουμένως, για τα μικρά παιδιά, αυτή η πέτρα κρεμόταν στο στήθος, δεσίοντάς την σε ένα σχοινί, έτσι ώστε το παιδί να μην πιάσει κρύο και να υποφέρει από κρύο. Βεβαιώσαμε επίσης ότι οι κρύσταλλοι του καλίου έχουν την μορφή εξαεστέρος. Αυτό το ορυκτό χρησιμοποιείται στην παρασκευή ορυκτών λιπασμάτων.
Πολλά διαφορετικά βακτήρια και ιοί είναι πολυεδρικά. Αλλά όλα έχουν σχήμα εικοσαεδρικής ή δωδεκαεμένης. Για παράδειγμα, ο σκελετός ενός μονοκύτταρου οργανισμού της φεдоαρίου μοιάζει με ένα εικοσαέδριο σε σχήμα.
Από το σύνολο των πολυεδρών με τον ίδιο αριθμό προσώπων, το εικοσαέδρον έχει το μεγαλύτερο όγκο με το μικρότερο εμβαδόν. Αυτή η ιδιότητα βοηθά το θαλάσσιο σώμα να ξεπεράσει την πίεση της στήλης ύδατος.
Τα περισσότερα feudariums ζουν στην βαθιά θάλασσα και χρησιμεύουν ως θήραμα για τα κοραλλιογενή ψάρια. Αλλά το απλούστερο ζώο προστατεύεται με βελόνες που αναδύονται από τις κορυφές του σκελετού. Έτσι μοιάζει περισσότερο με ένα πολυεδρικό αστέρι.
Η αρμονία και η απλότητα της κανονικής πολυεδρίας μας επέτρεψε να δημιουργήσουμε μια σειρά παιχνιδιών, παζλ και σχεδιαστές. Παίζοντας αυτά τα παιχνίδια, αναπτύσσουμε λογική σκέψη, φαντασία και λεπτή κινητικότητα των χεριών μας βελτιώνονται.
Στην τάξη των μαθηματικών, προτού τραβήξουμε την ανάπτυξη και κολλήσουμε το πολυεδρικό από χαρτί, συναρμολογήσαμε την ανάπτυξη και το σωστό πολυέδρος χρησιμοποιώντας ένα μαγνητικό κατασκευαστή.
Τα σχήματα των κανονικών πολυεδρών χρησιμοποιούνται επίσης σε είδη οικιακής χρήσης και σε συσκευασίες αγαθών: τσάντες για τσάι και γάλα, κιβώτια και διάφορα αναμνηστικά κλπ. Πήγαμε σε μια εκδρομή στο μουσείο του δευτεροβάθμιου σχολείου Sarsinsky, όπου είδαμε αναμνηστικά υπό μορφή κύβου και τετράεδρου με χούφτες της γης του μακρόχρονου Λένινγκραντ Πετρούπολη - ένα μεταπολεμικό δώρο από το γυάλινο εργοστάσιο του Λένινγκραντ, το οποίο κατά τη διάρκεια του Μεγάλου Πατριωτικού Πολέμου εκκενώθηκε σε Sars.
Και τι ασυνήθιστες και τολμηρές ιδέες ενσωματώνουν οι αρχιτέκτονες, οι οικοδόμοι και οι σχεδιαστές που χρησιμοποιούν τις μορφές των κανονικών πολυεδρών. Στο Διαδίκτυο, βρήκαμε πολλές φωτογραφίες για το πώς χρησιμοποιούνται αυτές οι καταπληκτικές μορφές στην κατασκευή κτιρίων, το σχεδιασμό πάρκων και το σχεδιασμό οικιακών εσωτερικών λύσεων. (Προσάρτημα 3)
Οι καλλιτέχνες από διαφορετικές εποχές έχουν δείξει σταθερό ενδιαφέρον για τη μελέτη και την εικόνα της πολυεδρίας. Η κορυφή αυτού του ενδιαφέροντος είναι φυσικά στην Αναγέννηση. Μελετώντας τα φαινόμενα της φύσης, οι καλλιτέχνες προσπάθησαν να βρουν μεθόδους απεικόνισης, δικαιολογημένες από την άποψη της επιστήμης. Οι διδασκαλίες σχετικά με την προοπτική, τη βεβαιότητα και τις αναλογίες,με βάση τα μαθηματικά, την οπτική, την ανατομία, να γίνει η βάση της νέας τέχνης. Άφησαν στον καλλιτέχνη να δημιουργήσει έναν τρισδιάστατο χώρο σε ένα αεροπλάνο, για να επιτύχει μια αίσθηση όγκου και ανακούφισης αντικειμένων. Για κάποιους πλοιάρχους, τα polyhedra ήταν ένα πολύ βολικό μοντέλο για την επινόηση της κυριαρχίας της προοπτικής εικόνας. Υπήρχαν αυτοί που ειλικρινά θαύμαζαν τη συμμετρία τους και τη λακωνική ομορφιά τους.. Αρέσει πολύεδρα και συχνά τις έγραψε στους καμβάδες του από το διάσημο Λεονάρντο ντα Βίντσι (1452-1519). Έχει εμπλουτίσει με εικόνες πολυεδρών το βιβλίο του φίλου του μοναχού Λουκά Παλοχί (1445 - 1514) "Με τη Θεία Αναλογία".
Ο Σαλβαδόρ Νταλί στην ζωγραφική «Το Μυστικό Δείπνο» περιέγραψε τον Ιησού Χριστό με τους μαθητές του στο φόντο ενός τεράστιου διαφανούς δωδεκαετούς.
Τους XIII-XVII αιώνες. τα πολυεδρικά ήταν η βάση των αρχιτεκτονικών κατασκευών, οι κύβοι χρησιμοποιήθηκαν περισσότερο, αλλά καθώς αναπτύχθηκαν, χρησιμοποιήθηκαν επίσης και άλλοι τύποι πολυεδρών, όπως το τετραέδριο και οκταεδρόν.
Σήμερα, τα πολυεδρικά είναι η κύρια ανακάλυψη της ανθρωπότητας. Είμαστε συνεχώς περιτριγυρισμένοι από πολυεδρικά: πολλά οικιακά αντικείμενα έχουν τη μορφή πολύεδρων, όλες οι αρχιτεκτονικές δομές είναι χτισμένες στο στυλ των πολύπλευρων μοντέλων.
Παραγωγή μοντέλων πολυεδρικής.
Συναντήσαμε και χρησιμοποιήσαμε αυτή τη μέθοδο παραγωγής μοντέλων πολυεδρικής, η οποία ονομάζεται μέθοδος ανάπτυξης.
Τις περισσότερες φορές, κατά τη δημιουργία μοντέλων πολυεδρών από επίπεδες διατρήσεις, χρησιμοποιούνται διατρητήρες στις οποίες οι όψεις είναι γειτονικές μεταξύ τους με άκρα και το μοντέλο κατασκευάζεται με κάμψη των διατρητών κατά μήκος των άκρων. Για παράδειγμα, κατά τη δημιουργία μοντέλων κανονικού πολυεδρικού, οι πιο συχνές σκουπίδια χρησιμοποιούνται συχνότερα(Προσάρτημα 4)
Μπορείτε να κόψετε κάθε πρόσωπο ξεχωριστά και στη συνέχεια να τα κολλήσετε σε πολυεδρικό. Αυτή η μέθοδος εξοικονομεί αναλώσιμα.
Εκτός από την κατασκευή polyhedra με τη βοήθεια των σαρώσεων, υπάρχουν και άλλοι τρόποι κατασκευής αυτών των μορφών. Αυτό, για παράδειγμα, η κατασκευή πλατωνικών στερεών με ύφανση, χρησιμοποιώντας origami. Αυτές οι μέθοδοι σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε εκπληκτικά όμορφα σχέδια. Σε μια εκδρομή στο δευτεροβάθμιο σχολείο Sarsinsky, είδαμε πραγματικά ποιες θαυμάσιες φιγούρες αποδειχθούν και πήραν μια μάστερ για να κάνουν το σωστό polyhedra χρησιμοποιώντας την τεχνική origami (Προσάρτημα5)
Έτσι, δημιουργήσαμε μια συλλογή από κανονικά πολυεδρικά, και μερικά από αυτά βρήκαν τη δική τους πρακτική εφαρμογή. Για παράδειγμα, 12 πρόσωπα ενός δωδεκαεδρίου μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως επιτραπέζιο ημερολόγιο, και οποιοδήποτε άλλο πολυεδρικό μπορεί να σχεδιαστεί ως Χριστουγεννιάτικο παιχνίδι ή ως φωτογραφικό άλμπουμ με διάφορα θέματα περιεχομένου.
Και εδώ το έχουμε!
Επιπλέον, διοργανώσαμε έκθεση της δουλειάς μας στην τάξη και πραγματοποιήσαμε μια μικρή έρευνα στην 1η, 5η, 8η και 11η τάξη.
Συναντήσατε με κανονικά πολυεδρικά πριν; Εάν ναι, πού;
Αυτά τα στοιχεία προκαλούν το ενδιαφέρον σας; Εάν ναι, ποιες;
Θέλετε να προσπαθήσετε να τα κάνετε μόνοι σας;
Τι νομίζετε: από πού μπορεί να βρεθεί η εφαρμογή της μορφής τακτικού πολυεδρικού;
Από τους 64 ερωτηθέντες, σχεδόν όλοι οι μαθητές είχαν προηγουμένως συναντηθεί με τα σωστά πολυεδρικά: με τη μορφή παιχνιδιών, αναμνηστικών, πακέτων αντικειμένων, πολυελαίων, οπτικών βοηθημάτων στην αίθουσα μαθηματικών.
Όλοι οι συμμετέχοντες στην έρευνα άρεσαν τα στοιχεία που παρουσιάστηκαν, και οι μαθητές πρώτης τάξης και πέμπτης γκρέιντερ άρεσαν ιδιαίτερα εκείνους που δεν είχαν ακόμη καταρτιστεί, καθώς ήθελαν να ονειρευτούν και να εφεύρουν κάτι με δικά τους στοιχεία. Τα πιο ενδιαφέροντα ήταν τα δωδεκάεδρο (44 φοιτητές) και το εικοσαέδρον (52 φοιτητές), επειδή είναι ασυνήθιστα και όμορφα και θα ήθελαν να μάθουν πώς να τα κάνουν. Εξηγήσαμε πώς να το κάνουμε αυτό και ότι δεν είναι δύσκολο και, το σημαντικότερο, μια χρήσιμη δραστηριότητα, γιατί αναπτύσσονται οι λεπτές κινητικές δεξιότητες των χεριών, η φαντασία και οι δημιουργικές ικανότητες. Στο ερώτημα σχετικά με το πού θα βρούμε αίτηση για αυτά τα στοιχεία, λάβαμε μια ευρεία ποικιλία απαντήσεων: τροφοδότες πουλιών, κασετίνες, αναμνηστικά, κοσμήματα και έπιπλα.
Η έρευνα έδειξε ότι τα σωστά πολυεδρικά είναι ενδιαφέροντα, πολλοί θέλουν να συμμετάσχουν σε μια τέτοια δημιουργικότητα και το πιο σημαντικό - τα στοιχεία αυτά βρίσκουν την εφαρμογή τους στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες και στην καθημερινή ζωή
Συμπέρασμα
Συναντηθήκαμε με όμορφες, τέλειες και αρμονικές μορφές - κανονικά πολυεδρικά, μάθαμε τα ονόματα επιστημόνων, καλλιτεχνών που αφιέρωναν τα έργα τους σε αυτό. Για άλλη μια φορά είμαστε πεπεισμένοι ότι οι πηγές των μαθηματικών είναι στη φύση, στην πραγματικότητα που μας περιβάλλει.
Μάθαμε πώς να κατασκευάζουμε μοντέλα κανονικής πολυεδρίας, να μελετάμε την ιστορία της εμφάνισης, τις ιδιότητές τους, να βρούμε μια σύνδεση μεταξύ των μορφών τακτικών πολυεδρικών και φυσικών αντικειμένων και να βρούμε εφαρμογή στην καθημερινή ζωή. Φροντίσαμε ότι τα στοιχεία αυτά ενδιαφέρουν τους άλλους.
Τα μοντέλα αυτών των αριθμών μπορούν να βρουν εφαρμογή στα μαθήματα της φυσικής, των μαθηματικών, της χημείας, της βιολογίας ως επεξηγηματικό και επεξηγηματικό υλικό, καθώς και υλικό για περαιτέρω μελέτες όλων των ενδιαφερομένων.
http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21
http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21
Προσάρτημα 1
Χαρακτηριστικά της κανονικής polyhedra
| Πολυεδρικό όνομα | Προβολή | Αριθμός προσώπων | Αριθμός κορυφών | Αριθμός πλευρών |
| Tetrahedron | 4 | 4 | 6 |
|
| Κύβος | 6 | 8 | 12 |
|
| Octahedron | 8 | 6 | 12 |
|
| Icosahedron | 20 | 12 | 30 |
|
| Δωδεκάεδρο | 12 | 20 | 30 |
Προσάρτημα 2
Κρυσταλλική έρευνα
Προσάρτημα 3
Η χρήση μορφών τακτικών πολυεδρών σε οικιακούς αγρούς.
PPT / 13,63 Mb
Τα σωστά πολυεδρικά από την αρχαιότητα προσελκύουν την προσοχή των φιλοσόφων, των οικοδόμων, των αρχιτεκτόνων, των καλλιτεχνών, των μαθηματικών. Εντυπωσιάστηκαν από την ομορφιά, την τελειότητα, την αρμονία αυτών των μορφών.
Ένα κανονικό πολυεδρικό είναι μια τρισδιάστατη κυρτή γεωμετρική μορφή, όλα τα πρόσωπα των οποίων είναι τα ίδια κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι ίσες μεταξύ τους. Υπάρχουν πολλά κανονικά πολύγωνα, αλλά μόνο πέντε κανονικά πολυεδρικά. Τα ονόματα αυτών των πολυεδρών προέρχονταν από την Αρχαία Ελλάδα και υποδεικνύουν τον αριθμό (τετρα-4, hexa-6, octa-8, dodeca-12, ikosa-20) .
Αυτά τα κανονικά πολυεδρικά ονομάζονταν πλατωνικά στερεά με το όνομα του αρχαίου Έλληνα φιλόσοφου Πλάτωνα, που τους έδινε μυστικιστική σημασία, αλλά ήταν γνωστά και πριν από τον Πλάτωνα. Το τετράεδρο προσωποποίησε φωτιά, αφού η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω, σαν καύση φλόγας. icosahedron - ως το πιο εξορθολογισμένο - νερό? ο κύβος είναι ο πιο σταθερός από τους αριθμούς - η γη και ο οκτάεδρος - ο αέρας. Ο δωδεκάεδρος ταυτίστηκε με ολόκληρο το σύμπαν και θεωρήθηκε ως το πιο σημαντικό.
Τακτικά πολυεδρικά βρίσκονται στην άγρια \u200b\u200bφύση. Για παράδειγμα, ο σκελετός ενός μονοκύτταρου οργανισμού της φεдоαρίου μοιάζει με ένα εικοσαέδριο σε σχήμα. Ο πυρίτης (θειούχος πυρίτης, FeS2) έχει τη μορφή δωδεκαερόντος.
Το τετράεδρο είναι μια κανονική τριγωνική πυραμίδα και το hexahedron είναι ένας κύβος - στοιχεία με τα οποία συναντάμε συνεχώς στην πραγματική ζωή. Για να αισθανθείτε καλύτερα το σχήμα άλλων πλατωνικών στερεών, θα πρέπει να τα δημιουργήσετε μόνοι σας από παχύ χαρτί ή χαρτόνι. Κάνοντας μια επίπεδη σκούπα μοτίβο είναι εύκολη. Η δημιουργία του σωστού πολυεδρού είναι εξαιρετικά διασκεδαστική από τη διαδικασία της διαμόρφωσης.
Ολοκληρωμένες και περίεργες μορφές τακτικών πολυεδρών χρησιμοποιούνται ευρέως στη διακοσμητική τέχνη. Τα ογκομετρικά σχήματα μπορούν να γίνουν πιο διασκεδαστικά αν τα επίπεδη κανονικά πολύγωνα αντιπροσωπεύονται από άλλα σχήματα που ταιριάζουν στο πολύγωνο. Για παράδειγμα: ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να αντικατασταθεί από ένα αστέρι. Ένα τέτοιο ογκώδες σχήμα δεν θα έχει ακμές. Μπορείτε να το συλλέξετε συνδέοντας τα άκρα των ακτίνων των αστεριών. Και 10 αστέρια πρόκειται να επίπεδη σάρωση. Ένα τρισδιάστατο σχήμα λαμβάνεται μετά τον καθορισμό των υπολοίπων 2 αστέρια.
Εάν το παιδί σας θέλει να κάνει χειροτεχνίες με τα επιδέξια χέρια του, τον προσφέρετε συναρμολογήστε μια τρισδιάστατη μορφή πολυεδρικού δωδεκαέδρου από πλαστικά αστέρια. Το αποτέλεσμα της εργασίας θα ευχαριστήσει το παιδί σας: θα κάνει με τα χέρια του ένα πρωτότυπο διακοσμητικό σχέδιο που μπορεί να διακοσμήσει ένα παιδικό δωμάτιο. Όμως, το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι η ανοιχτή μπάλα λάμπει στο σκοτάδι. Τα πλαστικά αστέρια κατασκευάζονται με την προσθήκη μιας σύγχρονης αβλαβούς ουσίας - φωσφόρου.
Τα πολυεδρικά είναι τα απλούστερα σώματα στο διάστημα, όπως και τα πολύγωνα είναι τα πιο απλά πρόσωπα στο αεροπλάνο. Βλέπουμε πολύπλευρα έντυπα καθημερινά: χαρτοφυλάκιο, βιβλίο, δωμάτιο, πολυώροφο κτίριο (με οριζόντια στέγη) - ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. πακέτα γάλακτος-τετράεδρα ή παραλληλεπίπεδα. πολύπλευρο μολύβι, καρύδι δίνει μια ιδέα των πρισμάτων (ωστόσο, το κουτί είναι επίσης ένα τετράπλευρο πρίσμα). Πολλές αρχιτεκτονικές κατασκευές ή οι λεπτομέρειες τους είναι πυραμίδες ή κολοβωμένες πυραμίδες - οι περίφημες αιγυπτιακές πυραμίδες ή πύργοι του Κρεμλίνου έχουν τέτοιες μορφές. Πολλές πολύμορφες μορφές, για παράδειγμα το "σπίτι" στο Σχ. 1 και το "στρογγυλό σπίτι" στο Σχ. 2, δεν έχουν ειδικά ονόματα. Από καθαρά γεωμετρική άποψη, ένα πολυεδρικό είναι ένα μέρος του χώρου που οριοθετείται από επίπεδα επίπεδα πολυγώνων. Οι πλευρές και οι κορυφές των όψεων ονομάζονται άκρα και κορυφές του ίδιου του πολυεδρικού. Οι όψεις σχηματίζουν την αποκαλούμενη πολύπλευρη επιφάνεια. Για να αποκλείσουμε από την εξέταση πολυδιάστατα στοιχεία του τύπου που απεικονίζεται στο Σχ. 3, τα οποία δεν ονομάζονται συνήθως πολυεδρά, οι ακόλουθοι περιορισμοί συνήθως επιβάλλονται σε μία πολυεδρική επιφάνεια:
1) κάθε άκρη πρέπει να είναι μια κοινή πλευρά δύο, και μόνο δύο, πρόσωπα, που ονομάζεται γειτονικά?
2) κάθε δύο πρόσωπα μπορούν να συνδεθούν με μία αλυσίδα διαδοχικά γειτονικών όψεων.
3) για κάθε κορυφή, οι γωνίες των όψεων που γειτνιάζουν με αυτή την κορυφή πρέπει να περιορίζουν κάποια πολυεδρική γωνία.
Ένα πολυεδρικό ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου οποιουδήποτε από τα πρόσωπά του. Αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με κάθε μία από τις άλλες δύο: 1) το τμήμα με άκρα σε οποιαδήποτε δύο σημεία του πολυεδρικού βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο πολυεδρικό, 2) το πολυεδρικό μπορεί να αναπαρασταθεί ως τομή πολλών μισών διαστημάτων.
Για κάθε κυρτό πολυέδριο, ο τύπος Euler είναι έγκυρος (βλέπε Τοπολογία), ο οποίος δημιουργεί μια σχέση μεταξύ του αριθμού των κορυφών Β, των ακμών Ρ και των επιφανειών G:
Για τη μη κυρτή πολυεδρική, αυτή η σχέση, γενικά, δεν είναι αληθής, για παράδειγμα, για την πολυεδρική επιφάνεια που φαίνεται στο Σχ. 2. , ως εκ τούτου. Ο αριθμός ονομάζεται χαρακτηριστικό του Euler ως πολυεδρόν και μπορεί να είναι ίσος 
. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα του Euler δείχνει, κατά προσέγγιση, πόσα "τρύπες" έχει ένα πολυεδρικό. Ο αριθμός των οπών (ή).
Η απλούστερη ταξινόμηση από τον αριθμό των κορυφών (γωνίες, πλευρές) για πολύεδρα είναι αναποτελεσματική. Τα απλούστερα πολυεδρικά - τετράεδρα ή τετράεδρα - περιορίζονται πάντα από τέσσερα τριγωνικά πρόσωπα. Αλλά τα πενταεδρικά μπορούν να είναι ήδη απόλυτα διαφορετικούς τύπους, για παράδειγμα: μια τετράπλευρη πυραμίδα περιορίζεται από τέσσερα τρίγωνα και ένα τετράπλευρο (σχήμα 4, α), και ένα τριγωνικό πρίσμα περιορίζεται από δύο τρίγωνα και τρία τετράγωνα (Σχήμα 4, β). Παραδείγματα πέντε κορυφών είναι μια τετράπλευρη πυραμίδα και ένα τριγωνικό διάδρομο (Σχήμα 4, γ).
Τα πιο κοινά πολυεδρικά στον κόσμο γύρω μας, φυσικά, έχουν ειδικά ονόματα. Έτσι, η γωνιακή πυραμίδα έχει ένα -gon στη βάση και πλευρικές τριγωνικές όψεις που συγκλίνουν στην κοινή κορυφή των τριγώνων (Εικ. 4, α, όπου). - το γωνιακό πρίσμα περιορίζεται από δύο ίσες, παράλληλες και ισαπέχουσες - γωνίες - βάσεις - και παράλληλα - πλευρικές όψεις που συνδέουν τις αντίστοιχες πλευρές των βάσεων (Εικ. 4, b, όπου).
Η ενδιάμεση θέση μεταξύ των πυραμίδων και των πρισμάτων καταλαμβάνεται από περικομμένες πυραμίδες που λαμβάνονται από τις πυραμίδες, κόβοντας μικρότερες πυραμίδες με επίπεδα παράλληλα με τις βάσεις (Εικ. 5). Μεταξύ των φυσικών μορφών κρυστάλλων υπάρχουν διεδρόνια ή διπυραμίδια, αποτελούμενα από δύο πυραμίδες με κοινή βάση (Εικ. 4, γ). Ο Αρχιμήδης θεωρούσε επίσης α-γωνιακές αντιψυρίες, οριοθετημένες από δύο παράλληλες γωνίες, αλλά στρεφόμενες το ένα σε σχέση με το άλλο και τη σύνδεσή τους, όπως φαίνεται στο Σχ. 6, - τρίγωνα (με ένα μεγάλο αντίπρισμα είναι παρόμοιο με ένα πρωτοποριακό τύμπανο - Σχήμα 6).
Όπως τα πολύγωνα, τα πολυεδρικά ταξινομούνται επίσης ανάλογα με το βαθμό συμμετρίας τους. Μεταξύ των πυραμίδων διακρίνονται οι κανονικές: στη βάση τους έχουν ένα κανονικό πολύγωνο και το ύψος - το κάθετο από την κορυφή στο βασικό επίπεδο - πέφτει στο κέντρο της βάσης της πυραμίδας.
Ένα ανάλογο ενός παραλληλογράμμου είναι ένα παραλληλεπίπεδο. ακριβώς όπως ένα παραλληλόγραμμο, ο παραλληλεπίπεδο έχει ένα κέντρο συμμετρίας στο οποίο τέμνουν και οι τέσσερις διαγώνιοι και διαιρούν στο μισό (τμήματα που συνδέουν κορυφές που δεν ανήκουν στο ίδιο πρόσωπο). Τα κανονικά πρίσματα στις βάσεις έχουν κανονικά πολύγωνα διατεταγμένα έτσι ώστε η γραμμή που διέρχεται από τα κέντρα τους να είναι κάθετα προς τα επίπεδα των βάσεων. Πρέπει επίσης να εντοπιστούν οι βάσεις ενός κανονικού γωνιακού αντιπρίσματος, αλλά μόνο μία βάση θα πρέπει να περιστρέφεται κατά μία γωνία σε σχέση με την άλλη. Όλα τα κανονικά πολυεδρικά έχουν αρκετά αυτο-ευθυγραμμίσεις - περιστροφές και συμμετρίες που μεταφράζουν το πολυεδρικό από μόνο του. Το σύνολο όλων των αυτο-ευθυγραμμίσεων, συμπεριλαμβανομένης της ταυτότητας, σχηματίζει τη λεγόμενη ομάδα συμμετρίας του πολυεδρικού. Σύμφωνα με τις ομάδες συμμετρίας στην κρυσταλλογραφία, ταξινομούνται μονικοί κρύσταλλοι, οι οποίοι, κατά κανόνα, έχουν πολύπλευρη μορφή.
Η συμμετρία και η ορθότητα των πολυεδρών που εξετάζονται παραπάνω δεν είναι εντελώς ολοκληρωμένες - μπορεί να έχουν άνισες όψεις, διαφορετικές πολυεδρικές γωνίες. Μια εξαίρεση είναι τα τρία πολυεδρικά: ένα κανονικό τετράεδρο - μια κανονική τριγωνική πυραμίδα με ίσα άκρα, που οριοθετείται από τέσσερα κανονικά τρίγωνα (εικ. 7, α). ένας κύβος ή ένα κανονικό εξαέδρον είναι ένα κανονικό τετράπλευρο πρίσμα με ίσες ακμές, οριοθετημένο από έξι τετράγωνα (Σχήμα 7, β). Τέλος, το οκτάεδρο είναι ένα κανονικό τετράπλευρο διάδρομο με ίσα άκρα, οριοθετημένο από οκτώ κανονικά τρίγωνα (Εικ. 7, γ). το οκτάεδδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως ένα κανονικό τριγωνικό αντίπρισμα με ίσες ακμές. Σε αντίθεση με τις αυθαίρετες κανονικές πυραμίδες, τα πρίσματα, τα ζεστάνια και τα αντιπρίσματα - το τετράεδρο, ο κύβος, ο οκτάεδρος είναι τέτοια που δυο από τα πρόσωπά τους (και οποιεσδήποτε δύο πολυεδρικές γωνίες) μπορούν να συνδυαστούν χρησιμοποιώντας κάποια αυτο-ευθυγράμμιση ολόκληρου του πολυεδρικού. Επιπλέον, οι πολυεδρικές γωνίες τους είναι κανονικές, δηλ. έχουν ίσες επίπεδες και ίσες διεδρικές γωνίες.
Παρόμοια με τα κανονικά πολύγωνα σε ένα επίπεδο, μπορούν να οριστούν κανονικά πολυεδρικά "γενικά": αυτά είναι κυρτά πολυεδρικά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα και έχουν ίσες κανονικές πολυεδρικές γωνίες. Αποδεικνύεται ότι εκτός από τους τρεις τύπους συνηθισμένων πολυεδρών που αναφέρονται παραπάνω - το κανονικό τετράεδρο, κύβος και οκταέδρον - υπάρχουν μόνο δύο τύποι κανονικών πολυεδρών: ο δωδεκάεδρος και ο εικοσαέδρος (εικοσιπλάσια), αντίστοιχα περιορισμένος από 12 κανονικά πεντάγωνα και 20 κανονικά τρίγωνα. 8, α, β. Αυτά τα δύο πολυεδρικά είναι διασυνδεδεμένα με τον ίδιο τρόπο όπως ένας κύβος και ένα τετράεδρο (βλ. Κύβος): τα κέντρα των προσώπων του δωδεκαέδρου είναι οι κορυφές του εικοσαμέδρου - Εικ. 9 και αντίστροφα.
Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πολύ συνηθισμένων πολυεδρών είναι εκπληκτικό - υπάρχουν απίστευτα πολλά κανονικά πολύγωνα στο αεροπλάνο.
Όλα τα σωστά πολυεδρικά ήταν γνωστά ακόμη και στην Αρχαία Ελλάδα, και το τελικό βιβλίο XIII του διάσημου "Αρχές" του Ευκλείδη ήταν αφιερωμένο σε αυτά. Αυτά τα πολυεδρικά συχνά ονομάζονται και πλατωνικά στερεά - στην ιδεαλιστική εικόνα του κόσμου που έδωσε ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας στοχαστής Πλάτωνας, τέσσερα από τα οποία αντιπροσώπευαν τα τέσσερα στοιχεία: το τετράεδρο - φωτιά, το κύβο - γήινο, το εικοσαέδρον - το νερό και το οκταεδρόν - το πέμπτο πολυεδρικό, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν - στα λατινικά άρχισαν να το ονομάζουν quinta essentia ("πέμπτη ουσία"). Προφανώς, δεν ήταν δύσκολο να βρούμε το σωστό τετράεδρο, κύβο, οκτάεδρο, ειδικά επειδή αυτές οι μορφές έχουν φυσικούς κρυστάλλους, για παράδειγμα: ο κύβος είναι ένας μόνο κρύσταλλος χλωριούχου νατρίου (NaCl), ένα οκταεδρόν είναι ένας μόνο κρύσταλλος στυπτηρίας αλουμινίου-καλίου 
. Υπάρχει η παραδοχή ότι οι αρχαίοι Έλληνες έλαβαν το σχήμα δωδεκαέδρου εξετάζοντας κρυστάλλους πυρίτη (πυριτικό σουλφίδιο FeS). Έχοντας το δωδεκαέδριο, δεν είναι δύσκολο να οικοδομήσουμε ένα εικοσάεδρο: όπως ήδη αναφέρθηκε, οι κορυφές του θα είναι τα κέντρα των δώδεκα όψεων του δωδεκαερόντος - Εικ. 9.
