Μάθετε το μήκος της διαγωνίου γνωρίζοντας τις πλευρές του κανονικού πολυγώνου. Κανονικό πολύγωνο. Ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου

Τρίγωνο, τετράγωνο, εξάγωνο - αυτά τα στοιχεία είναι γνωστά σχεδόν σε όλους. Αλλά μακράν όλοι γνωρίζουν τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Αλλά αυτά είναι όλα τα ίδια. Ένα κανονικό πολύγωνο ονομάζεται ένα που έχει ίσες γωνίες και πλευρές το ένα στο άλλο. Υπάρχουν πολλά τέτοια στοιχεία, αλλά όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες και οι ίδιοι τύποι ισχύουν για αυτούς.

Ιδιότητες των κανονικών πολυγώνων

Κάθε κανονικό πολύγωνο, είτε είναι ένα τετράγωνο είτε ένα οκτάγωνο, μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύκλο. Αυτή η βασική ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά κατά την οικοδόμηση ενός σχήματος. Επιπλέον, ο κύκλος μπορεί επίσης να εγγραφεί στο πολύγωνο. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των σημείων επαφής θα είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Είναι σημαντικό ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο να έχει ένα κοινό κέντρο μαζί του. Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα υπόκεινται σε ένα θεώρημα. Κάθε πλευρά ενός κανονικού n-gon συνδέεται με την ακτίνα του κύκλου R που περιγράφεται κοντά του. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: α \u003d 2R ∙ sin180 °. Μέσα μπορείτε να βρείτε όχι μόνο τις πλευρές, αλλά και την περίμετρο του πολυγώνου.

Πώς να βρείτε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου

Οποιοσδήποτε αποτελείται από ένα αριθμό τμημάτων ίσων μεταξύ τους, τα οποία, όταν συνδέονται, σχηματίζουν μια κλειστή γραμμή. Επιπλέον, όλες οι γωνίες του προκύπτοντος αριθμού έχουν την ίδια τιμή. Τα πολύγωνα χωρίζονται σε απλά και σύνθετα. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. Πολυσύνθετα σύνθετα έχουν μεγαλύτερο αριθμό πλευρών. Περιλαμβάνουν επίσης σχήματα αστεριών. Για σύνθετα κανονικά πολύγωνα, οι πλευρές βρίσκονται με την εγγραφή τους σε έναν κύκλο. Δίνουμε μια απόδειξη. Σχεδιάστε ένα κανονικό πολύγωνο με έναν αυθαίρετο αριθμό πλευρών n. Περιγράψτε τον κύκλο γύρω του. Καθορίστε την ακτίνα R. Τώρα φανταστείτε ότι κάποιος n-gon δίνεται. Εάν τα σημεία των γωνιών της βρίσκονται σε έναν κύκλο και είναι ίσα μεταξύ τους, τότε οι πλευρές μπορούν να βρεθούν με τον τύπο: a \u003d 2R ∙ sinα: 2.

Βρείτε τον αριθμό των πλευρών ενός εγγεγραμμένου κανονικού τριγώνου

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Οι τύποι εφαρμόζονται σε αυτό το ίδιο με το τετράγωνο και το n-gon. Ένα τρίγωνο θεωρείται σωστό εάν έχει τις ίδιες πλευρές σε μήκος. Οι γωνίες είναι 60η. Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο με ένα δεδομένο μήκος των πλευρών a. Γνωρίζοντας το διάμεσο και το ύψος του, μπορείτε να βρείτε τη σημασία των πλευρών του. Για να γίνει αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εύρεσης μέσω του τύπου a \u003d x: cosα, όπου το x είναι η διάμεση τιμή ή το ύψος. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, παίρνουμε a \u003d b \u003d c. Στη συνέχεια, η ακόλουθη πρόταση θα είναι αληθής: a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε την αξία των πλευρών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, αλλά το x θα είναι ένα δεδομένο ύψος. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να προβάλλεται αυστηρά στη βάση του σχήματος. Έτσι, γνωρίζοντας το ύψος x, βρίσκουμε την πλευρά a ενός ισοσκελούς τριγώνου με τον τύπο a \u003d b \u003d x: cosα. Αφού βρεθεί η τιμή του a, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της βάσης c. Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα ερευνήσουμε την τιμή της ημι-βάσης c: 2 \u003d √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α \u003d x ∙ tgα. Στη συνέχεια, c \u003d 2xtgα. Με έναν τόσο απλό τρόπο, μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των πλευρών κάθε εγγεγραμμένου πολυγώνου.

Υπολογισμός των πλευρών ενός τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο

Όπως και κάθε άλλο εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο, ένα τετράγωνο έχει ίσες πλευρές και γωνίες. Οι ίδιες φόρμουλες ισχύουν για αυτό ως προς το τρίγωνο. Οι πλευρές του τετραγώνου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη διαγώνια τιμή. Εξετάστε αυτή τη μέθοδο με περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι γνωστό ότι η διαγώνιος διαιρεί τη γωνία στο μισό. Αρχικά, η αξία του ήταν 90 μοίρες. Έτσι, μετά τη διαίρεση, οι δύο γωνίες που σχηματίζονται στη βάση θα είναι ίσες με 45 μοίρες. Κατά συνέπεια, κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση, δηλαδή: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e√2: 2, όπου e είναι η διαγώνιος του τετραγώνου ή η βάση σχηματίζεται μετά τη διαίρεση του δεξιού τριγώνου. Αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος να βρεθούν οι πλευρές της πλατείας. Γεμίστε αυτό το σχήμα σε κύκλο. Γνωρίζοντας την ακτίνα αυτού του κύκλου R, βρίσκουμε την πλευρά της πλατείας. Θα το υπολογίσουμε ως εξής a4 \u003d R√2. Οι ακτίνες των κανονικών πολυγώνων υπολογίζονται με τον τύπο R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), όπου a είναι το μήκος της πλευράς.

Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο ενός n-gon

Η περίμετρος ενός n-gon είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του. Δεν είναι δύσκολο να το υπολογίσουμε. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τις αξίες όλων των μερών. Για ορισμένους τύπους πολυγώνων, υπάρχουν ειδικοί τύποι. Σας επιτρέπουν να βρείτε την περίμετρο πολύ πιο γρήγορα. Είναι γνωστό ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές. Επομένως, για να υπολογίσετε την περίμετρο του, αρκεί να γνωρίζετε τουλάχιστον ένα από αυτά. Ο τύπος θα εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος. Γενικά, μοιάζει με αυτό: P \u003d an, όπου a είναι η τιμή της πλευράς, και n είναι ο αριθμός γωνιών. Για παράδειγμα, για να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού οκταγώνου με πλευρά 3 cm, πρέπει να το πολλαπλασιάσετε κατά 8, δηλαδή P \u003d 3 ∙ 8 \u003d 24 εκ. Για ένα εξάγωνο με πλάτος 5 εκατοστών, υπολογίστε αυτό: P \u003d 5 ∙ 6 \u003d 30 εκ. κάθε πολύγωνο.

Βρίσκοντας την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου, τετράγωνου και ρομβοειδούς

Ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών που έχει ένα κανονικό πολύγωνο, υπολογίζεται η περίμετρος. Αυτό διευκολύνει πολύ το έργο. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλα στοιχεία, στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε όλες τις πλευρές του, μόνο μία. Με την ίδια αρχή, βρίσκουμε την περίμετρο των τετραγώνων, δηλαδή την πλατεία και τον ρόμβο. Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για διαφορετικούς αριθμούς, ο τύπος για αυτούς είναι ένας P \u003d 4a, όπου a είναι η πλευρά. Δίνουμε ένα παράδειγμα. Εάν η πλευρά του ρομβοειδούς ή του τετραγώνου είναι 6 cm, τότε θα βρούμε την περίμετρο ως ακολούθως: P \u003d 4 · 6 \u003d 24 cm Για το παραλληλόγραμμο, είναι ίσες μόνο οι αντίθετες πλευρές. Επομένως, η περίμετρος της βρίσκεται με μια άλλη μέθοδο. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουμε το μήκος ενός και το πλάτος των αριθμών. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον τύπο P \u003d (a + c) ∙ 2. Ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι γωνίες μεταξύ τους ονομάζονται ρόμβος.

Βρίσκοντας την περίμετρο ενός ισόπλευρου και ορθογώνιου τριγώνου

Η περίμετρος του σωστού μπορεί να βρεθεί με τον τύπο P \u003d 3a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς. Εάν είναι άγνωστη, μπορεί να βρεθεί μέσω του μεσαίου. Σε ένα σωστό τρίγωνο, μόνο οι δύο πλευρές είναι εξίσου σημαντικές. Η βάση μπορεί να βρεθεί μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αφού γίνουν γνωστές οι τιμές και των τριών πλευρών, υπολογίζουμε την περίμετρο. Μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο P \u003d a + b + c, όπου a και b είναι ίσες πλευρές, και c είναι η βάση. Θυμηθείτε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο a \u003d b \u003d a, που σημαίνει ότι a + b \u003d 2a, τότε P \u003d 2a + c. Για παράδειγμα, η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 εκατοστά, θα βρούμε τη βάση και την περίμετρο του. Υπολογίζουμε την τιμή της υποτείνουσας από το θεώρημα του Πυθαγορείου με \u003d √ α 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Τώρα υπολογίζουμε την περίμετρο P \u003d 2 · 4 + 5,65 \u003d 13,65 cm.

Πώς να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου

Ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη ζωή μας κάθε μέρα, για παράδειγμα, ένα συνηθισμένο τετράγωνο, τρίγωνο, οκτάγωνο. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα ευκολότερο από την οικοδόμηση αυτής της φιγούρας μόνοι σας. Αλλά αυτό είναι μόνο με την πρώτη ματιά. Προκειμένου να κατασκευαστεί οποιοδήποτε n-gon, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την αξία των γωνιών του. Αλλά πώς να τα βρείτε; Ακόμη και οι επιστήμονες της αρχαιότητας προσπάθησαν να χτίσουν κανονικά πολύγωνα. Μαντέψαν να τα τοποθετήσουν σε έναν κύκλο. Και τότε τα απαραίτητα σημεία επισημάνθηκαν σε αυτό, που συνδέονται με ευθείες γραμμές. Για απλά στοιχεία, το πρόβλημα κατασκευής έχει λυθεί. Ελήφθησαν τύποι και θεωρήματα. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης στο διάσημο έργο του "Beginning" ασχολήθηκε με την επίλυση προβλημάτων για τα 3-, 4-, 5-, 6- και 15-gons. Βρήκε τρόπους να τους χτίσει και να βρει γωνίες. Εξετάστε πώς να το κάνετε αυτό για ένα 15-gon. Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο S \u003d 180⁰ (n-2). Έτσι, μας δίνεται ένας 15-gon, οπότε ο αριθμός n είναι 15. Αντικαταστήστε τα δεδομένα που γνωρίζουμε στον τύπο και πάρτε S \u003d 180⁰ (15-2) \u003d 180⁰ x 13 \u003d 2340⁰. Βρήκαμε το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών του 15-gon. Τώρα πρέπει να πάρετε την αξία καθενός από αυτούς. Υπάρχουν συνολικά 15 γωνίες. Κάνουμε τον υπολογισμό 2340⁰: 15 \u003d 156⁰. Έτσι, κάθε εσωτερική γωνία είναι 156⁰, τώρα με τη βοήθεια ενός κυβερνήτη και μιας πυξίδας μπορείτε να χτίσετε ένα κανονικό 15-gon. Αλλά τι γίνεται πιο περίπλοκο n-gons; Για πολλούς αιώνες, οι επιστήμονες προσπάθησαν να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Βρέθηκε μόνο τον 18ο αιώνα από τον Karl Friedrich Gauss. Ήταν σε θέση να χτίσει ένα 65537-gon. Έκτοτε, το πρόβλημα έχει θεωρηθεί επίσημα πλήρως επιλυμένο.

Υπολογισμός γωνιών n-gons σε ακτίνια

Φυσικά, υπάρχουν διάφοροι τρόποι να βρεθούν οι γωνίες πολυγώνων. Τις περισσότερες φορές υπολογίζονται σε μοίρες. Αλλά μπορείτε να τα εκφράσετε σε ακτίνια. Πώς να το κάνετε; Είναι απαραίτητο να ενεργήσετε ως εξής. Πρώτα βγάζουμε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολύγωνου, και στη συνέχεια αφαιρούμε 2 από αυτό. Έτσι, παίρνουμε την τιμή: n - 2. Πολλαπλασιάστε τη διαφορά που βρέθηκε με τον αριθμό n ("pi" \u003d 3.14). Τώρα μένει μόνο να διαιρέσουμε το προκύπτον προϊόν από τον αριθμό των γωνιών στο n-gon. Ας εξετάσουμε αυτούς τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του ίδιου πεντάγωνου. Έτσι, ο αριθμός n είναι 15. Εφαρμόζουμε τον τύπο S \u003d n (n - 2): n \u003d 3.14 (15 - 2): 15 \u003d 3.14 · 13: 15 \u003d 2.72. Αυτό, φυσικά, δεν είναι ο μόνος τρόπος υπολογισμού της γωνίας σε ακτίνια. Μπορείτε απλά να διαιρέσετε τη γωνία σε μοίρες κατά 57,3. Μετά από όλα, ακριβώς τόσους βαθμούς ισοδυναμεί με ένα ακτίνιο.

Υπολογισμός γωνιών σε μοίρες

Εκτός από τους βαθμούς και τα ακτίνια, οι τιμές των γωνιών ενός κανονικού πολύγωνου μπορούν να δοκιμαστούν για να βρεθούν στο grad. Αυτό γίνεται ως εξής. Αφαιρέστε 2 από τον συνολικό αριθμό γωνιών, διαιρέστε τη διαφορά που προκύπτει από τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου. Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα κατά 200. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μονάδα μέτρησης γωνιών όπως χαλάζι δεν χρησιμοποιείται πρακτικά.

Υπολογισμός των εξωτερικών γωνιών των n-gons

Για κάθε κανονικό πολύγωνο, εκτός από το εσωτερικό, μπορείτε επίσης να υπολογίσετε την εξωτερική γωνία. Η αξία του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για άλλα στοιχεία. Έτσι, για να βρείτε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολύγωνου, πρέπει να γνωρίζετε την έννοια του εσωτερικού. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες. Επομένως, οι υπολογισμοί γίνονται ως εξής: 180⁰ μείον την τιμή της εσωτερικής γωνίας. Βρείτε τη διαφορά. Θα είναι ίση με την τιμή της γειτονικής γωνίας. Για παράδειγμα, η εσωτερική γωνία του τετραγώνου είναι 90 μοίρες, πράγμα που σημαίνει ότι το εξωτερικό θα είναι 180⁰ - 90⁰ \u003d 90⁰. Όπως βλέπουμε, δεν είναι δύσκολο να το βρούμε. Η εξωτερική γωνία μπορεί να πάρει μια τιμή από + 180⁰ σε, αντίστοιχα, -180⁰.

Ένα σχήμα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Έτσι, για παράδειγμα, ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο που αποτελείται από τρεις κλειστές γραμμές. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι γωνίες είναι 60 °. Οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους, αλλά όχι παράλληλες μεταξύ τους. Άλλα πολύγωνα έχουν την ίδια ιδιότητα, ωστόσο οι γωνίες τους έχουν διαφορετικά μεγέθη. Το μόνο κανονικό πολύγωνο του οποίου οι πλευρές είναι όχι μόνο ίσες, αλλά και παράλληλα ανά ζεύγη είναι ένα τετράγωνο. Αν στο πρόβλημα υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περιοχή w S, τότε το άγνωστο πλευρά   μπορεί να βρεθεί μέσα από τις γωνίες και τις πλευρές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το ύψος του τριγώνου h, κάθετα προς τη βάση του: h \u003d a * sinα \u003d a√3 / 2, όπου α \u003d 60 ° είναι μία από τις γωνίες που γειτονεύουν με τη βάση του τριγώνου. ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μήκους πλευράς: S \u003d 1 / 2a * a√3 / 2 \u003d a ^ 2 * √3 / 4 Ακολουθεί ότι η πλευρά a είναι: a \u003d 2√S / √√3

Βρείτε την πλευρά του κανονικού τετραγώνου χρησιμοποιώντας μια ελαφρώς διαφορετική μέθοδο. Αν είναι τετράγωνο, χρησιμοποιήστε την περιοχή ή τη διαγώνιο ως αρχικά δεδομένα: S \u003d a ^ 2 Επομένως, η πλευρά a είναι: a \u003d √ S Επιπλέον, εάν η διαγώνια είναι δεδομένη, τότε πλευρά   μπορεί να υπολογιστεί με έναν άλλο τύπο: a \u003d d / √2

Στις περισσότερες περιπτώσεις πλευρά   το δικαίωμα πολύγωνο μπορεί να προσδιοριστεί γνωρίζοντας την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε αυτό ή περιγράφεται γύρω από αυτό. Είναι γνωστό ότι υπάρχει μια σχέση μεταξύ της πλευράς του τριγώνου και της ακτίνας του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το σχήμα: a3 \u003d R33, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.Αν ο κύκλος είναι γραμμένος σε ένα τρίγωνο, ο τύπος παίρνει μια διαφορετική μορφή: a3 \u003d 2r√3, όπου r είναι η ακτίνα (R) ή εγγεγραμμένοι (r) κύκλοι είναι το εξής: a6 \u003d R \u003d 2r√3 / 3 Από αυτά τα παραδείγματα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για οποιοδήποτε αυθαίρετο n-gon ο τύπος για την εύρεση συμβαλλόμενα μέρη στην παρούσα μορφή έχει ως εξής: α \u003d 2Rsin (α / 2) \u003d 2rtg (α / 2)

Οι κύριοι τύποι πολυγώνων περιλαμβάνουν ένα τρίγωνο, ένα παραλληλόγραμμο και τους τύπους (ρόμβος, ορθογώνιο, τετράγωνο), τραπεζοειδές, καθώς και κανονικά πολύγωνα. Κάθε ένας από αυτούς έχει τη δική του μεθοδολογία για τον υπολογισμό της περιοχής. Τα πιο σύνθετα, κυρτά και κοίλα πολύγωνα χωρίζονται σε απλά σχήματα, οι περιοχές των οποίων αθροίζονται στη συνέχεια.

Ένα πολύγωνο των οποίων τα μήκη είναι τα ίδια σε όλες τις πλευρές. Επομένως, γνωρίζοντας το συνολικό τους μήκος - την περίμετρο - (P) και τον συνολικό αριθμό κορυφών ή πλευρών (n), διαιρέστε το πρώτο στη δεύτερη για να υπολογίσετε τα μεγέθη κάθε τα μέρη   (α) αριθμοί: a \u003d P / n.

Εκτός από όλα τα σωστά πολύγωνο   μπορείτε να περιγράψετε τον κύκλο της μόνης πιθανής ακτίνας (R) - αυτή η ιδιότητα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μήκους τα μέρη   (α) οποιαδήποτε πολύγωνοεάν ο αριθμός των κορυφών (η) είναι επίσης γνωστός από τις συνθήκες. Για να γίνει αυτό, σκεφτείτε το τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και την επιθυμητή πλευρά. Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο μπορεί να βρεθεί η βάση πολλαπλασιάζοντας το διπλάσιο του μήκους της πλευράς τα μέρη   - ακτίνα - η μισή γωνία μεταξύ τους - η κεντρική γωνία. Ο υπολογισμός της γωνίας είναι εύκολος - διαιρέστε 360 ° με τον αριθμό των πλευρών πολύγωνο. Ο τελικός τύπος πρέπει να φαίνεται ως εξής: a \u003d 2 * R * sin (180 ° / n).

Υπάρχει μια παρόμοια ιδιότητα για έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα κανονικό κυρτό πολύγωνο - υπάρχει απαραίτητα και η ακτίνα μπορεί να έχει μια μοναδική τιμή για κάθε συγκεκριμένο σχήμα. Ως εκ τούτου, και εδώ κατά τον υπολογισμό του μήκους τα μέρη   (α) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η γνώση της ακτίνας (r) και ο αριθμός των πλευρών πολύγωνο   (η). Η ακτίνα που τραβιέται από το σημείο επαφής του κύκλου και οποιασδήποτε από τις πλευρές είναι κάθετη προς αυτή την πλευρά και το χωρίζει στο μισό. Επομένως, εξετάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η ακτίνα και το ήμισυ του επιθυμητού τα μέρη είναι τα πόδια. Σύμφωνα με τον ορισμό, ο λόγος τους είναι ίσος με την εφαπτομένη της μισής κεντρικής γωνίας, την οποία μπορείτε να υπολογίσετε με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο βήμα: (360 ° / n) / 2 \u003d 180 ° / n. Ο ορισμός της εφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτή την περίπτωση μπορεί να γραφεί ως εξής: tg (180 ° / η) \u003d (a / 2) / r. Εκφράστε το μήκος από αυτή την ισότητα τα μέρη. Θα πρέπει να πάρετε αυτόν τον τύπο: a \u003d 2 * r * tg (180 ° / n).

Το πολύγωνο αποτελείται από αρκετά τμήματα που συνδέονται μεταξύ τους και σχηματίζουν μια κλειστή γραμμή. Όλα τα στοιχεία αυτής της κατηγορίας χωρίζονται σε απλά και περίπλοκα. Τα απλά περιλαμβάνουν το τρίγωνο και το τετράπλευρο, και τα σύνθετα περιλαμβάνουν πολύγωνα με μεγάλο αριθμό τα μέρηκαθώς και αστέρια πολύγωνα.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Τις περισσότερες φορές, ένα κανονικό τρίγωνο με τα μέρηΩ α. Δεδομένου ότι το πολύγωνο είναι κανονικό, τότε και τα τρία τα μέρηs είναι ίσα. Ως εκ τούτου, γνωρίζοντας το διάμεσο και το ύψος του τριγώνου, μπορείτε να βρείτε όλα αυτά τα μέρηs. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο εύρεσης τα μέρηs μέσω του ημιτονοειδούς: a \u003d x / cosα τα μέρηΤα τρίγωνα s είναι ίσα, δηλ. a \u003d b \u003d c \u003d a, a \u003d b \u003d c \u003d x / cosα, όπου το x είναι το ύψος, το διάμεσο ή το bisector. τα μέρηs σε ισοσκελές τρίγωνο, αλλά κάτω από μια προϋπόθεση - ένα δεδομένο ύψος. Θα πρέπει να προβάλλεται στη βάση του τριγώνου. Γνωρίζοντας το ύψος της βάσης x, βρείτε τα μέρηγια ένα ισοσκελές τρίγωνο a: a \u003d x / cosα.Αφού a \u003d b, δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, το βρείτε τα μέρηs ως \u200b\u200bεξής: a \u003d b \u003d x / cosα Αφού βρείτε την πλευρά τα μέρηs του τριγώνου, υπολογίστε το μήκος βάσης του τριγώνου χρησιμοποιώντας το θεώρημα Pythagorean για να βρείτε το ήμισυ της βάσης: c / 2 \u003d √ (x / cosα) ^ 2- (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 \u003d xtgα Από εδώ, βρείτε τη βάση: c \u003d 2xtgα.

Ένα τετράγωνο είναι ένα κανονικό τετράπλευρο, τα μέρηΠοια υπολογίζονται με διάφορους τρόπους. Κάθε μία από αυτές περιγράφεται παρακάτω. Η πρώτη μέθοδος προτείνει την εύρεση τα μέρηs σε όλη τη διαγώνιο της πλατείας. Δεδομένου ότι όλες οι γωνίες της πλατείας είναι ευθείες, αυτή η διαγώνια τους χωρίζει στο μισό, έτσι ώστε να σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα με γωνίες 45 μοιρών στη βάση. Κατά συνέπεια, τα μέρηκαι το τετράγωνο είναι: a \u003d b \u003d c \u003d f \u003d d * cosα \u003d d√2 / 2, όπου d είναι η διαγώνιος του τετραγώνου. τα μέρηy: a4 \u003d R√2, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Έχετε πολλά τα μέρητους πολύγωνα τα μέρηy υπολογίστε την τελευταία από τις προτεινόμενες μεθόδους - εισάγοντας πολύγωνο   σε έναν κύκλο. Για να γίνει αυτό, σχεδιάστε ένα κανονικό πολύγωνο με αυθαίρετη τα μέρηs και γύρω από αυτό περιγράφουν έναν κύκλο με μια δεδομένη ακτίνα R. Φανταστείτε ότι κάποιο αυθαίρετο n-gon δίνεται στο πρόβλημα. Εάν ο κύκλος περιγράφεται γύρω από αυτό πολύγωνοτότε να βρούμε τα μέρηΜπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο: an \u003d 2Rsinα / 2.