Kako se naziva polihedron čija su dva lica. Dizajnerski i istraživački rad: „Neverovatne brojke: pravilni poliedri
Opštinska obrazovna ustanova
Gimnazija br. 26
Geometrija
Glavne vrste poliedra i njihova svojstva
Završeno:
Učenik 9-1 razreda
Baysakova Lyazzat
Nastavnik:
Sysoeva Elena Alekseevna
Chelyabinsk
Uvod
Višeslojna površina. Polihedron
Piramida
Paralelepiped
Zapremina tela
Zaključak
Popis rabljene literature
Uvod
Do sada smo se tokom geometrije bavili planimetrijom - proučavali smo svojstva geometrija ravnine, odnosno figure u potpunosti smještene u ravnini. No većina objekata oko nas nije potpuno ravna, nalaze se u prostoru. Odjeljak geometrije u kojem se proučavaju svojstva figura u prostoru naziva se stereometrija (od ostalih grčkih στερεός, „stereoi“ - „čvrsti, prostorni“ i μετρέω - „meriti“).
Glavne su figure u svemiru poentu, direktan i avion. Uz ove najjednostavnije figure u stereometriji, razmatraju se geometrijska tijela i njihove površine. Kada proučavate geometrijska tijela, koristite slike na crtežu.
Slika 1 Slika 2
Na slici 1 prikazana je piramida, na slici 2 kocka. Ta se geometrijska tijela nazivaju poliedri.Razmotrimo neke vrste i svojstva poliedra.
Višeslojna površina. Polihedron
Poliedarska površina je sjedinjenje konačnog broja ravnih poligona tako da je svaka strana bilo kojeg poligona ujedno i strana drugog (ali samo jednog) poligona, koji se naziva susjedni prvom poligonu.
Sa bilo kojeg poligona koji čine površinu poliedra možete prijeći na bilo koji drugi, krećući se po susjednim poligonima.
Poligoni koji čine poliestersku površinu nazivaju se njenim licima; stranice poligona nazivaju se rubovi, a vrhovi se nazivaju vrhovima poliedarske površine.
Na slici 1 prikazana je zajednica poligona koji udovoljavaju navedenim zahtjevima i koji su poliedarske površine. Sl. 2 prikazuju figure koje nisu poliedarske površine.
Višeslojna površina dijeli prostor na dva dijela - unutarnju regiju višeslojne površine i vanjsku. Od dva vanjska područja bit će jedno u kojem je moguće crtati ravne linije koje u potpunosti pripadaju tom području.
5 Spajanje poliesterske površine i njene unutrašnje regije naziva se višejednik. Štoviše, poliesterska površina i njena unutarnja regija nazivaju se površina i unutarnja regija poliedra, respektivno. Lica, rubovi i vrhovi površine poliedra nazivaju se lica, rubovi i vrhovi poliedra.
Piramida
Poleded, na čijoj je površini jedan proizvoljni poliedar, a preostala lica su trokuti koji imaju jednu zajedničku vršku, nazvanu piramidom.
Poligon se naziva dno piramide, a preostala lica (trouglovi) nazivaju se bočnim stranama piramide.
Razlikovati trokutaste, četverokutne, peterokutne itd. piramide ovisno o vrsti poligona koji leži u dnu piramide.
Trokutasta piramida naziva se i tetraedrom. Na slici 1 prikazana je četverokutna piramida SABCD sa bazom ABCD i bočnim stranama SAB, SBC, SCD, SAD.
Bočne strane lica piramide nazivaju se ivice piramide. Rebra koja pripadaju osnovi piramide nazivaju se rebra baze, a sva ostala rebra nazivaju se bočna rebra. Zajednička vrh svih trokuta (bočne strane) naziva se vrh piramide (na slici 1 točka S je vrh piramide, segmenti SA, SB, SC, SD su bočne ivice, segmenti AB, BC, CD, AD su osnovni rubovi).
Visina piramide je segment okomice izvučen od vrha piramide S do ravnine baze (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice). Na Sl. 1 SO je visina piramide.
Ispravna piramida. Piramida se naziva regularnom ako je baza piramide pravilan mnogokut, a ortogonalna projekcija vrha na ravninu baze podudara se sa središtem poligona koji leži u dnu piramide.
Sva bočna rebra pravilne piramide jednaka su jedna drugoj; sve su bočne strane jednaki jednakokraki trouglovi.
Visina bočnog lica pravilne piramide povučene s vrha naziva se apotemom ove piramide. Na slici 2 SN je apotem. Svi apotemi ispravne piramide jednaki su jedni drugima.
Prizma
Poleded, čija su dva lica jednaka n-goni koji leže u paralelnim avionima, a ostalo n lica - paralelogrami, nazvani n-gonalna prizma.
poliedronska piramidalna prizma paralelepiped
Par jednakih n-goni nazvani bazama prizme. Preostala lica prizme nazivaju se njena bočna lica, a njihovo ujedinjenje naziva se bočna površina prizme. Na slici 1 prikazana je peterokutna prizma.
Bočne strane lica prizme nazivaju se ivice, a krajevi ivica nazivaju se vrhovi prizme. Rebra koja ne pripadaju bazi prizme nazivaju se bočna rebra.
Prizma čija su bočna rebra okomita na ravne ravnine naziva se direktnom prizmom. Inače se prizma naziva nagnuta.
Segment okomitog na ravnine baza prizme, čiji krajevi pripadaju tim ravninama, naziva se visinom prizme.
Direktna prizma zasnovana na pravilnom mnogokutu naziva se regularna prizma.
Paralelepiped
Paralelepiped je šesterokut, čija su suprotna lica paralelna u paru. Paralelepiped ima 8 vrhova, 12 ivica; lica su joj paralelno jednaka paralelogramima.
Paralelepiped naziva se ravnim ako su mu bočni rubovi okomiti na ravninu baze (u ovom slučaju 4 su bočne strane pravokutnika); pravougaon ako je ovo paralelepiped pravokutnik je ravna linija i baza (dakle, 6 lica su pravougaonici);
Paralelepiped, čija su lica kvadratna, nazvana kocka.
Volumen Paralelepiped jednak proizvodu površine njegove baze po visini.
Zapremina tela
Svaki poliedar ima volumen koji se može mjeriti pomoću odabrane jedinice za mjerenje volumena. Za jedinicu mjerenja volumena uzima se kocka čija je ivica jednaka mjernoj jedinici segmenata. Naziva se kocka sa ivicom od 1 cm kubični centimetar. Slično definirano kubični metari kubni milimetaritd.
U postupku mjerenja volumena odabranom mjernom jedinicom, tjelesna zapremina se izražava pozitivnim brojem, što pokazuje koliko jedinica za mjerenje volumena i njegovih dijelova odgovara ovom tijelu. Broj koji izražava zapreminu tijela ovisi o izboru jedinice za mjerenje volumena. Stoga je jedinica za mjerenje volumena navedena nakon ovog broja.
Glavna svojstva volumena:
1. Jednaka tijela imaju jednake zapremine.
2. Ako je tijelo sastavljeno od više tijela, tada je njegov volumen jednak zbroju volumena tih tijela.
Za pronalaženje volumena tijela u nekim je slučajevima prikladno koristiti teoremu nazvanu kavalierijev princip.
Princip Cavalierija je sljedeći: ako se na sjecištu dvaju tijela s bilo kojom ravninom paralelnom s nekom zadanom ravninom dobiju presjeci jednake površine, tada su volumeni tijela jednaki jedni drugima.
Zaključak
Dakle, poliedri proučavaju dio geometrije koji se zove stereometrija. Polidedri dolaze u različitim vrstama (piramida, prizma itd.) I imaju različita svojstva. Također, treba napomenuti da poliedri, za razliku od ravnih figura, imaju volumen i nalaze se u prostoru.
Većina objekata oko nas nalazi se u svemiru, a proučavanje poliedra pomaže nam da steknemo predstavu o stvarnosti koja nas okružuje u smislu geometrije.
Popis rabljene literature
1. Geometrija. Udžbenik za 7-9 razred.
3. Vikipedija
5. Rečnik
Opštinska obrazovna ustanova Gimnazija br. 26 Sažetak Geometrija Glavne vrste poliedra i njihova svojstva Izvršena: učenica 9-1 razreda Baysakova Lyazzat Nastavnik: Sysoeva Elena AleDizajn i istraživački rad:
"Nevjerovatne brojke: redovni polihedri."
Kratka napomena.Ove godine smo u klasama matematičkog kruga izučavali redovne poliedre, koji se nazivaju i platonska čvrsta tvar. Izrađujući njihove modele, iznenadili su nas neobičnost i ljepota nekih od njih. Uz pomoć skeniranja naučili smo kako konstruirati ove figure. Ali da biste napravili skeniranje, treba da imate kompleks matematičkih znanja, vještina crtanja, prostornog razmišljanja.
Odlučili smo saznati više o ispravnim polihedrima, upoznati se s poviješću njihovog pojavljivanja, naučiti kako ih optimalno, jednostavno i brzo izgraditi, istražiti njihovu ulogu u svijetu oko nas i, na kraju, kako bismo saznali jesu li nam ove brojke i znanje o njima korisne u praktičnom životu
Svrha studije:
Ciljevi istraživanja:
- proučiti izvore informacija o ovoj temi;
-
Predmet proučavanja: one pravepoliedri.
Predmet istraživanja: h
Metode istraživanja:
-
- promatranje;
Ispitivanje;
- praktični rad.
Radeći na ovoj temi, dovršili smo sve ciljeve koje smo sebi postavili: naučili su kako konstruirati modele pravilnih poliedra, proučavali povijest pojave, njihova svojstva, pronašli vezu između oblika pravilnih poliedra i prirodnih objekata, te pronašli primjenu u svakodnevnom životu. Pobrinuli smo se da ove brojke zainteresiraju i druge. Osim toga, naučili smo riješiti neke matematičke probleme uz pomoć kompasa i vladara, poboljšavajući tako svoje vještine crtanja i matematičko znanje. To nam je veoma korisno jer već sljedeće godine moramo proučavati geometriju.
Kao rezultat praktičnog rada, poboljšali smo fine motoričke sposobnosti ruku, razvili smo maštu i maštu, naporan rad i upornost u postizanju svojih ciljeva.
Sadržaj.
Uvod 4
Koncept pravilnog poliedra 5-6
Iz istorije poliedra 6-7
Korištenje obrazaca i primjena redovnih poliedra 7-9
Izrada redovnih poliedra 9-10
Zaključak 11
Popis izvora informacija. 12
Prilog 13-18
Uvod
U našem svijetu puno neobičnog i lijepog. Okruženi smo objektima čiji nas oblici iznenađuju. Takvi su, na primjer, redovni poliedri. Ove figure posjeduju i ljepotu, i savršenstvo oblika, i privlačnost.
Od ranog djetinjstva, već se susrećemo s pravilnim poliedrima, igranjem kockica i razvijanjem konstruktora, rješavanjem zagonetki Rubikove kocke i njenih sorti. Arhitekti, graditelji i dizajneri utjelovljuju svoje originalne ideje koristeći ove figure.
Ove godine smo u klasama matematičkog kruga izučavali redovne poliedre, koji se nazivaju i platonska čvrsta tvar. U udžbenicima o geometriji za srednjoškolski tečaj daju se vrlo loši podaci o poliedrima. Na ovu je temu predloženo vrlo malo problema zbog čega se mogućnosti teme uopće ne otkrivaju. Ali teoretski je vrlo bogat, omogućava nam formuliranje mnogih zanimljivih problema. Rješenje predloženih problema omogućit će nam da vidimo da određene građevne tehnike pomažu u mnogome pojednostaviti i samu konstrukciju i razumijevanje svojstava figure.
Proučavajući svojstva ovih figura, konstruirajući njihove skenove, sklapajući poliedre, shvatili smo da su nam bila zanimljiva.Odlučili smo saznati više o redovnim poliedrima, upoznati se s poviješću njihovog pojavljivanja, istražiti njihovu ulogu u svijetu oko nas i pronaći njihovu praktičnu primjenu.
Hipoteza: redoviti poliedri su skladnih i profitabilnih oblika i mogu se široko koristiti.
Svrha studije: širenje kruga znanja o redovnim poliedrama, izučavanje praktičnih primjena u vanjskom svijetu.
Ciljevi istraživanja:
- proučavati književne izvore na tu temu;
Napravite kolekciju redovnih poliedra i pratite interesovanje za njih.
- pronaći primjere redovitih poliedra u prirodnom okruženju i u domaćem okruženju;
Dokažite da su oblici pravilnih poliedra primjenjivi u svakodnevnom životu.
Predmet proučavanja: one pravepoliedri.
Predmet istraživanja: h početak i primjena ovih podataka
Metode istraživanja:
- pretraživanje, prikupljanje i obrada informacija o toj temi
- promatranje;
- praktični rad.
Ispitivanje;
Pojam pravilnog poliedra.Polyhedra - to su najjednostavnije figure u svemiru, kao što su, na primjer, poligoni - najjednostavnije figure u ravnini. Ako polihedron gledamo s gledišta geometrije, to je dio prostora omeđen ravnim poligonima koji se zovu lica. Bočne strane i vrhovi lica nazivaju se rubovi i vrhovi samog poliedra.
Uobičajeni poliedar je lik koji ima sljedeća svojstva:
Konveksna je;
Sva su njena lica jednaki pravilni poligoni;
Na svakom od njegovih vrhova konvertira se isti broj lica;
Svi su joj kutni uglovi jednaki.
Dokazano je postojanje samo pet redovnih poliedra.
| Tetrahedron koju čine četiri jednakostranična trougla. Svaka od njegovih vrhova je vrh tri trougla. | |
| Kocka (šesterokut) koju čine šest kvadrata. Svaka vršna kocka je vrh triju kvadrata. |
|
| Octahedron koju čine osam jednakostraničnih trouglova. Svaka vršina oktaedra je vršak četiri trougla. |
|
| Dodekahedron koju čini dvanaest redovnih pentagona. Svaka kralježnica dodekaedra je vršak triju pravilnih pentagona. |
|
| Ikosahedronkoju čine dvadeset jednakostraničnih trouglova. Svaka vrhova ikosaedra vrh je petu trokuta. |
|
Imena ovih figura lako se pamte. U prijevodu s grčkog jezika, „edra“ znači lice, „tetra“ - 4, „heksa“ - 6, „okta“ - 8, „ikosa“ - 20, „dodeka“ - 12.
Glavne karakteristike poliedra su broj i vrsta lica, broj vrhova i broj ivica. Ove karakteristike za redovne poliedre predstavljene su u tabeli (Prilog 1)
Pomno smo proučili sadržaj tablice vidjeli smo obrazac: ako se broj rubova razmatranog poliedra poveća za 2, tada dobivamo broj jednak zbroju broja lica i vrhova ovog poliedra. Ovo pravilo formulišemo na sledeći način:„Zbroj broja lica i vrhova jednak je broju ivica povećanim za 2“, to jest G + V \u003d R + 2.
| Tačno poliedar | BROJ GRAN + TOP | BROJ RIBA |
| TETRAEDR | 4 + 4 = 8 | 6 |
| Kocka | 6 + 8 = 14 | 12 |
| OCTAEDR | 8 + 6 = 14 | 12 |
| Dodekahedron | 12 + 20 = 32 | 30 |
| ICOSAEDR | 20 + 12 = 32 | 30 |
Tako smo otkrili formulu koju je prvi put izvukao Rene Descartes 1640. godine, a kasnije je Euler ponovno otkrio 1752. godine, po kojoj je od tada nosila naziv. Eulerova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.
Iz historije poliedra.
| Čovječanstvo je dugo znalo o redovnim polihedrima. Njihovi ukrasni uzorci mogu se naći na isklesanim kuglicama od kamena koje su se pojavile u njima Škotska , mnogo prije nego što ih je Platon otkrio. Različite kockice tog vremena također po obliku podsjećaju na pravilne polihedrone. |
|
|
| Još tada su ljudi koristili bronzane analoge ovih čudesnih figura.
|
Čast otkrića i detaljnog proučavanja pravilnih poliedra pripisuju se drevnim grčkim učenjacima. U nekim izvorima možete pronaći informacije da je Pitagora prvi identificirao ove brojke. Drugi izvori tvrde da je poznavao samo tetraedar, kocku i dodekahedron, dok je oktahedron i ikosahedron otkrio Tetetet iz Atine, koji je takođe opisao svih pet redovnih poliedra.
Značajnu pažnju posvetio je redovnim polihedrima Platon u čiju čast ih se naziva "platonovim čvrstim tvarima". Sa svakom od četiri elementa Zemlje, Zraka, Vode i Vatre povezao se s određenim pravilnim poliesterom. Kocka ili heksahedron bili su za Zemlju, oktaedar za zrak, ikosahedron za vodu i tetraedar za vatru. Takva je usporedba vrlo jednostavna za objasniti: toplina vatre osjeća se oštro i oštro kao mali tetraedri; zrak se sastoji od oktaedra: njegove najmanje komponente su glatke poput vodenih kapljica, kojima su ikozaedri najsličniji; za razliku od vode, stabilne kocke čine zemlju. Što se tiče petog elementa, dodekaedra, Platon je napisao: "... njegov je bog prepoznao univerzum i pribjegao mu je kao model".
Euclid je dao potpun matematički opis pet redovnih poliedra i dokazao da nema drugih redovnih poliedra.
Platonove ideje o povezivanju običnih poliedra s skladnim uređenjem sveta nastavljene su u naše vrijeme. 80-ih. Moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov izrazili su zanimljivu naučnu hipotezu: jezgra Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala koji aktivno utiče na prirodne procese koji se odvijaju na planeti. Polje sile zrake ovog kristala formiraju ikosaedarsko-dodekaedrovu strukturu Zemlje. Manifestira se činjenicom da se, kao da, pojavljuju projekcije pravilnih poliedra upisanih na globusu: u zemljinoj kori: ikosaedru i dodekaedru.
Dokazano je da se mnoga ležišta minerala nalaze odmah duž mreže ikosaedra i dodekaedra: 62 vrhova i sredina rubova poliedra imaju posebna svojstva koja omogućavaju objašnjenje mnogih pojava na našoj planeti. Ovdje se nalaze centri najstarijih kultura i civilizacija: Peru, Sjeverna Mongolija, Haiti, Ob kultura i drugi. U tim se točkama opažaju maksimumi i minimumi atmosferskog pritiska, divovske turbulencije okeana. U tim su čvorovima jezero Loch Ness, Bermudski trougao.
Korištenje obrazaca i primjena redovitih poliedra.
Ispravni poliedri su najprofitabilniji oblici. Čovjek i priroda to široko koriste. Ovo potvrđuje oblik nekih kristala. Na primjer, kristali soli su u obliku kocke. Uvjerili smo se u to ispitivanjem kristala soli u elektronskom mikroskopu u kabinetu za biologiju. (Dodatak 2)
I kako Svijet kristala, koji su prirodni poliedri, raznolik je.Živimo u svijetu kristala: hodamo oko kristala, gradimo od kristala, obrađujemo kristale u tvornicama, uzgajamo kristale u laboratorijama, stvaramo uređaje i kristalne proizvode, široko koristimo kristale u znanosti i tehnologiji, jedemo kristale i liječimo se kristalima. U uredu za geografiju pronašli smo kristale kamena kristala i kvarca sa šesterokutnom prizmatičnom površinom. Ovaj mineral ima ljekovita svojstva. Prije toga, za malu djecu, ovaj je kamen visio na grudima, vezujući ga za konopac kako se dijete ne bi prehladilo i oboljelo od prehlade. Osigurali smo i da kristali kalijeve soli imaju oblik heksaedra. Ovaj mineral se koristi u proizvodnji mineralnih đubriva.
Mnogo različitih bakterija i virusa su poliedri. Ali svi imaju oblik ikosaedra ili dodekaedra. Na primjer, kostur jednostaničnog organizma feodarija po obliku podsjeća na ikosahedron.
Od svih poliedra s istim brojem lica, ikosahedron ima najveći volumen s najmanjom površinom. Ovo svojstvo pomaže morskom tijelu da prevlada pritisak vodenog stupca.
Većina feudara živi u morskom moru i služi kao plijen koraljnim ribama. Ali najjednostavnija životinja štiti se iglama koje izviru iz vrhova kostura. Tako više liči na zvijezdani poliedar.
Harmonija i jednostavnost redovitih poliedra omogućili su nam stvaranje serije igračaka, slagalica i dizajnera. Igrajući se ovim igračkama, razvijamo logično mišljenje, maštu i fine motoričke sposobnosti svojih ruku.
U matematici, prije nego što smo nacrtali razvoj i lijepljenje poliedra iz papira, sastavili smo sam razvoj i ispravan poliedar pomoću magnetskog konstruktora.
Oblici redovnih poliedra koriste se i u predmetima za kućanstvo i u pakiranju robe: vrećica čaja i mlijeka, kutija i raznih suvenira itd. Išli smo na ekskurziju u muzej Sarsinjske srednje škole, gdje smo vidjeli suvenire u obliku kocke i tetraedra s pregrštima zemlje dugog patnje Lenjingrada, sada St. Petersburg - poslijeratni poklon Lenjingradske tvornice stakla koji je za vrijeme Velikog domovinskog rata bio evakuiran na Sars.
A koje neobične i smjele ideje utjelovljuju arhitekti, građevinari i dizajneri koristeći oblike redovitih poliedra. Na internetu smo pronašli mnoštvo fotografija kako se ove nevjerojatne figure koriste u izgradnji zgrada, dizajnu parkova i dizajnu kućanskih rješenja za unutrašnjost. (Prilog 3)
Umjetnici iz različitih razdoblja pokazuju kontinuirano zanimanje za proučavanje i sliku poliedra. Vrhunac ovog zanimanja je, naravno, u renesansi. Proučavajući pojave prirode, umjetnici su nastojali pronaći metode svog prikazivanja, opravdane s gledišta nauke. Nastava o perspektivi, kiaroskuro i proporcijama,građene na osnovu matematike, optike, anatomije, postaju temelj nove umjetnosti. Oni su umjetniku omogućili da stvori trodimenzionalni prostor na ravnini, kako bi postigao osjećaj volumena i reljefa objekata. Za neke su majstore poliedri bili vrlo prikladan model za majstorstvo perspektivne slike. Bilo je onih koji su se iskreno divili njihovoj simetriji i lakonskim ljepotama.. Obožavao je polihedre i često ih je pisao na njihovim platnima čuveni Leonardo da Vinci (1452-1519). Obogatio se slikama poliedra knjigom svog prijatelja redovnika Luke Palochija (1445. - 1514.) „O božanskoj proporciji“.
Salvador Dali na slici "Tajna večera" prikazao je Isusa Krista sa svojim učenicima na pozadini ogromnog prozirnog dodekaedra.
U XIII-XVII veku. poliedri su bili temelj arhitektonskih građevina, najčešće su korištene kocke, ali kako su se razvijale, koristile su se i druge vrste poliedra, poput tetraedra i oktaedra.
Danas su poliedri glavno otkriće čovječanstva. Konstantno smo okruženi polihedronima: mnogi predmeti za kućanstvo u obliku su poliedra, sve su arhitektonske građevine građene u stilu višestrukih modela.
Izrada modela od poliedra.
Upoznali smo i koristili ovu metodu izrade modela od poliedra, koja se naziva metoda razvoja.
Najčešće, prilikom izrade modela poliedra iz ravnih remera, koristi se reamer na kome su lica jedna uz drugu s rubovima, a model se izrađuje savijanjem remera po ivicama. Na primjer, pri kreiranju modela pravilnih poliedra najčešće se koriste sljedeći pomaci(Prilog 4)
Svako lice možete izrezati zasebno, a zatim ih zalijepiti u poliedar. Ova metoda štedi na potrošnom materijalu.
Pored izrade poliedra uz pomoć skeniranja, postoje i drugi načini konstrukcije tih figura. To je, na primjer, proizvodnja platonskih čvrstih tvari tkanjem, pomoću origamija. Ove metode omogućuju vam stvaranje nevjerojatno lijepih dizajna. Na izletu u Sarsinsku srednju školu zaista smo vidjeli kakve se prekrasne figure ispolje i dobili smo majstorsku klasu izrade pravih poliedra pomoću tehnike origami (Prilog5)
Tako smo stvorili kolekciju redovnih poliedra, a neki od njih su našli svoju praktičnu primjenu. Na primjer, 12 lica dodekaedra može se koristiti kao stolni kalendar, a bilo koji drugi poliedar može se oblikovati kao božićna igračka ili kao foto album s različitim temama sadržaja.
I evo ga imamo!
Pored toga, u učionici smo organizovali izložbu našeg rada i izveli malu anketu u 1., 5., 8. i 11. razredu.
Jeste li se već sretali sa redovnim polihedronima? Ako da, pa gdje?
Da li su ove brojke potaknule vaše interesovanje? Ako da, koji?
Želite li ih pokušati napraviti sami?
Što mislite: gdje se može naći primjena oblika redovitih poliedra?
Od 64 ispitanika, gotovo svi učenici ranije su se susreli s pravilnim polihedronima: u obliku igračaka, suvenira, paketa predmeta, lustera, vizuelnih pomagala u sobi za matematiku.
Svim sudionicima ankete dopale su se predstavljene brojke, a učenici prvog i petog razreda najviše su se svidjeli onima koji još nisu nacrtani, jer su željeli sanjati i izmisliti nešto svoje. Najzanimljiviji su bili dodekahedron (44 učenika) i ikosahedron (52 učenika), jer su neobični i lijepi i željeli bi naučiti kako ih izrađivati. Objasnili smo kako to učiniti i da nije teško i, što je najvažnije, korisna aktivnost, jer se razvijaju fine motoričke sposobnosti ruku, mašta i kreativne sposobnosti. Na pitanje gdje pronaći aplikaciju za ove brojke, dobili smo širok izbor odgovora: hranilice za ptice, kovčege, suvenire, nakit, pa čak i namještaj.
Istraživanje je pokazalo da su pravilni polihedroni zanimljivi, mnogi se žele baviti takvom kreativnošću, i što je najvažnije - ove brojke pronalaze svoju primjenu u obrazovnim aktivnostima i u svakodnevnom životu
Zaključak
Upoznali smo se sa lijepim, savršenim i skladnim likovima - redovnim poliedrima, naučili smo imena naučnika, umjetnika koji su tome posvetili svoja djela. Još jednom smo se uvjerili da su izvori matematike u prirodi, u stvarnosti koja nas okružuje.
Naučili smo konstruirati modele pravilnih poliedra, proučavali povijest nastanka, njihova svojstva, pronašli vezu između oblika pravilnih poliedra i prirodnih objekata, te pronašli primjenu u svakodnevnom životu. Pobrinuli smo se da ove brojke zainteresiraju i druge.
Modeli ovih figura mogu naći primjenu u lekcijama fizike, matematike, hemije, biologije kao ilustrativni i ilustrativni materijal, kao i materijal za daljnje studije svih zainteresiranih.
http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21
http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21
Prilog 1
Karakteristike redovnih poliedra
| Ime polihedrona | Pogled | Broj lica | Broj vrhova | Broj rebara |
| Tetrahedron | 4 | 4 | 6 |
|
| Kocka | 6 | 8 | 12 |
|
| Octahedron | 8 | 6 | 12 |
|
| Ikosahedron | 20 | 12 | 30 |
|
| Dodekahedron | 12 | 20 | 30 |
Dodatak 2
Kristalno istraživanje
Dodatak 3
Upotreba oblika pravilnih poliedra u poljima domaćinstava.
PPT / 13,63 Mb
Ispravni poliedri iz davnina privlačili su pažnju filozofa, graditelja, arhitekata, umjetnika, matematičara. Njih je zadesila ljepota, savršenstvo, sklad ovih figura.
Pravilan višejedar je trodimenzionalna konveksna geometrijska figura, čija su lica jednaka pravilnim mnogokutima, a svi su poliedarski uglovi na vrhovima jednaki jedan drugom. Postoje mnogi pravilni poligoni, ali samo pet pravilnih poliedova. Nazivi ovih poliedra došli su iz drevne Grčke, a označavaju broj (tetra - 4, heksa - 6, okta - 8, dodeka - 12, ikosa - 20) lica (edra) .
Te pravilne poliedre nazvali smo platonskim krutinama po imenu grčkog filozofa Platona, koji im je dao mistično značenje, ali bili su poznati i prije Platona. Tetraedar je personificirao vatru, budući da je njegov vrh usmjeren prema gore, poput gorućeg plamena; ikosahedron - kao najpropusnija - voda; kocka je najstabilnija od figura - zemlja, a oktaedar - zrak. Dodekahedron je identificiran sa cijelim svemirom i bio je cijenjen kao najvažniji.
Redovni poliedri nalaze se u divljini. Na primjer, kostur jednostaničnog organizma feodarija po obliku podsjeća na ikosahedron. Kristal pirita (pirit sulfid, FeS2) ima oblik dodekaedra.
Tetrahedron je redovna trokutasta piramida, a šesterokut je kocka - figure s kojima se u stvarnom životu stalno susrećemo. Da biste bolje osjetili oblik ostalih platonskih krutih tvari, trebali biste ih sami stvoriti od debelog papira ili kartona. Lako je pomjeranje ravnog uzorka. Stvaranje pravih poliedra izuzetno je zabavno postupkom samog oblikovanja.
Završeni i bizarni oblici pravilnih poliedra naširoko se koriste u dekorativnoj umjetnosti. Volumetrijski oblici mogu biti zabavniji ako su ravni pravilni poligoni predstavljeni drugim oblicima koji se uklapaju u poligon. Na primjer: obični pentagon se može zamijeniti zvijezdom. Takva voluminozna figura neće imati ivice. Možete ih prikupiti vezujući krajeve zraka zvijezda. I 10 zvijezda ide na ravno skeniranje. Nakon fiksiranja preostalih 2 zvjezdice dobiva se trodimenzionalna figura.
Ako vaše dijete voli raditi zanate svojim vještim rukama, ponudite mu sastavite trodimenzionalnu figuru poliedra dodekaedra iz ravnih plastičnih zvijezda. Rezultat rada oduševiti će vaše dijete: on će vlastitim rukama napraviti originalni dekorativni dizajn koji može ukrasiti dječiju sobu. Ali, najistaknutije je to što otvorena kugla svijetli u mraku. Plastične zvijezde izrađene su uz dodatak moderne bezopasne tvari - fosfora.
Polidedri su najjednostavnija tijela u svemiru, baš kao što su poligoni najjednostavnije figure u ravnini. Svakodnevno viđamo višestrane oblike: kutija za šibice, knjiga, soba, višestambena zgrada (sa horizontalnim krovom) - pravokutni paralelepipedi; paketići mlijeka-tetraedri ili paralelepipedi; fasetirana olovka, orah daje ideju o prizmi (međutim, kutija je i četverokutna prizma). Mnoge su arhitektonske građevine ili njihovi detalji piramide ili skraćene piramide - čuvene egipatske piramide ili kule Kremlja imaju takve oblike. Mnogi višeslojni oblici, na primjer, "kuća" na Sl. 1 i „okrugla kuća“ na Sl. 2, nemaju posebna imena. Sa čisto geometrijskog stanovišta, poliedar je dio prostora omeđen ravnim poligonima - licima. Bočne strane i vrhovi lica nazivaju se rubovi i vrhovi samog poliedra. Faseti formiraju takozvanu višestruku površinu. Da se iz razmatranja izuzmu višeslojne figure tipa prikazane na Sl. 3, koji se obično ne nazivaju poliedrama, na površini poliestera obično se postavljaju sljedeća ograničenja:
1) svaki rub treba biti zajednička strana dva, a samo dva, lica, koja se nazivaju susjedna;
2) svaka dva lica mogu se povezati lancem uzastopnih susednih lica;
3) za svaku vrhunac, kutovi lica koja se nalaze uz to područje moraju ograničiti neki poliedarski kut.
Poleded se naziva konveksan ako leži na jednoj strani ravnine bilo kojeg od njegovih lica. Ovaj je uvjet ekvivalentan svakom od druga dva: 1) segment s krajevima u bilo koje dvije točke poliedra u potpunosti leži u poliedru, 2) poliedar se može predstaviti kao sjecište nekoliko polu-prostora.
Za bilo koji konveksni poliedar vrijedi Eulerova formula (vidi topologiju) koja uspostavlja vezu između broja vrhova B, ivica P i lica G:
Za nekonveksne poliedre ovaj odnos, općenito govoreći, nije istinit, na primjer, za površinu poliestera prikazanu na Sl. 2; ,, dakle. Broj se zove Eulerova karakteristika za višehedar i može biti jednak 
. Eulerova karakteristika pokazuje, otprilike, koliko „rupa“ ima poliedar. Broj rupa (ili).
Najjednostavnija klasifikacija po broju vrhova (uglova, strana) za poliedre je neefikasna. Najjednostavniji poliedri - tetraedri ili tetraedri - uvijek su ograničeni s četiri trokutasta lica. Ali pentaedri mogu već biti potpuno različitih tipova, na primjer: četverokutna piramida ograničena je četiri trokuta i jednim četverokutom (Sl. 4, a), a trokutasta prizma ograničena je na dva trougla i tri četverokuta (Sl. 4, b). Primjeri pet vrhova su četverokutna piramida i trokutasti dihedron (Sl. 4, c).
Najčešći poliedri na svijetu oko nas, naravno, imaju posebna imena. Dakle, -gonska piramida ima -gon u podnožju i bočne trokutaste strane koje se konvergiraju na zajedničkom vrhu trokuta (Sl. 4, a, gdje); -gonalna prizma ograničena je s dvije jednake, paralelne i jednako raspoređene -glanče - osnove - i paralelograma - bočne strane koje povezuju pojedine strane baze (Sl. 4, b, gdje).
Međusrednji položaj između piramida i prizmi zauzimaju skraćene piramide dobivene iz piramida odsecanjem manjih piramida s ravninama paralelnim s bazama (Sl. 5). Među prirodnim oblicima kristala nalaze se dihedroni, odnosno bipiramidi, sastavljeni od dvije piramide sa zajedničkom bazom (Sl. 4, c). Arhimed je također smatrao α-ugaone antiprizme, ograničene dvama paralelnim uglovima, ali okrenutim jedan prema drugom i povezujući ih, kao što je prikazano na Sl. 6, trokut (sa velikim antiprizmom sličan je pionirskom bubnju - Sl. 6).
Poput poligona, i poliedri su klasificirani prema stupnju njihove simetrije. Među piramidama razlikuju se redovne: u podnožju imaju pravilan mnogokut, a visina - okomica povučena od vrha do osnovne ravnine - pada u središte baze piramide.
Analog paralelograma je paralelepiped; baš kao paralelogram, paralelepiped ima središte simetrije na kojem se sve četiri dijagonale presijecaju i dijele na pola (segmenti koji povezuju vrhove koji ne pripadaju istom licu). Redovite prizme u podnožjima imaju pravilne poligone raspoređene tako da linija koja prolazi kroz njihove centre okomito na ravnine baza. Moraju se nalaziti i baze pravilnog ugaonog antiprizma, ali samo jedna baza treba se rotirati za kut u odnosu na drugu. Svi redovni polihedri imaju poprilično samoprilagođavanja - rotacije i simetrije koji poliedar prevode u sebe. Skup svih samoprilagođavanja, uključujući identitet, tvori takozvanu simetrijsku grupu poliedra. Prema skupinama simetrije u kristalografiji klasificiraju se monokristali koji u pravilu imaju višestruki oblik.
Simetrija i ispravnost gore spomenutih poliedra nisu u potpunosti potpuni - mogu imati nejednaka lica, različite poliederne uglove. Izuzetak su tri poliedra: pravilna tetraedra - pravilna trokutasta piramida s jednakim rubovima, omeđena s četiri pravilna trokuta (Sl. 7, a); kocka, ili pravilni šesterokut, je pravilna četverokutasta prizma s jednakim rubovima, omeđena sa šest kvadrata (Sl. 7, b); na kraju, oktaedar je pravilan četverokutan dihedron s jednakim rubovima, omeđen osam pravilnih trokuta (Sl. 7, c); oktaedar se također može definirati kao pravilni trokutasti antipristam s jednakim ivicama. Nasuprot proizvoljnim pravilnim piramidama, prizme, dihedroni i antiprizme - tetraedar, kocka, oktaedar su takvi da se bilo koja dva njihova lica (i bilo koja dva poliederna ugla) mogu kombinirati pomoću samoprilagođavanja čitavog poliedra. Osim toga njihovi su poliedarski uglovi pravilni, tj. imaju jednake ravne i jednake dvostrane uglove.
Slično kao kod pravilnih poligona na ravnini, pravilni poliedri „općenito“ mogu se definirati: to su konveksni poliedri omeđeni jednakim pravilnim mnogokutima i koji imaju jednake pravilne poliederne uglove. Ispada da uz spomenute tri vrste redovitih poliedra - pravilni tetraedar, kocka i oktaedar - postoje još samo dvije vrste pravilnih poliedra: dodekahedron (dvanaeststrani) i ikosahedron (dvadesetstrani), odnosno ograničeni s 12 pravilnih pentagona i 20 pravilnih trokuta, - fig. 8, a, b. Ova dva poliedra međusobno su povezana na isti način kao kocka i tetraedar (vidi Kocka): središta lica dodekaedra su vrhovi ikosaedra - Sl. 9, - i obrnuto.
Sama činjenica da postoji samo pet uistinu pravilnih poliedra je nevjerojatna - u avionu postoji beskonačno puno pravilnih poligona.
Svi ispravni poliedri bili su poznati još u drevnoj Grčkoj, a konačna, XIII knjiga slavnih "Početaka" Euklida bila im je posvećena. Ovi poliedri često se nazivaju i platonskim krutinama - na idealističkoj slici svijeta koji je dao veliki grčki mislioc Platon njih četiri su predstavljala četiri elementa: tetraedar - vatra, kocka - zemlja, ikosahedron - voda i oktahedron - zrak; peti polededar, dodekahedron, simbolizirao je čitav svemir - na latinskom su ga počeli nazivati \u200b\u200bquinta essentia ("peta suština"). Očigledno, nije bilo teško smisliti pravi tetraedar, kocku, oktahedron, posebno jer ovi oblici imaju prirodne kristale, na primjer: kocka je jedan kristal natrijum-hlorida (NaCl), oktaedar je jedan kristal alum-kalijum-stidnica 
. Postoji pretpostavka da su stari Grci dobili oblik dodekaedra razmatrajući kristale pirita (pirit sulfid FeS). Posjedujući dodekahedron, nije teško izgraditi ikozaedar: kao što je već spomenuto, njegove vrhove će biti središta dvanaest lica dodekaedra - Sl. 9.
