Рівняння у вищій математиці.Раціональне коріння багаточленів. Схема Горнера
Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.
ЗмістДив. також: Розв'язання квадратних рівнянь онлайн
Основні формули
Розглянемо квадратне рівняння:
(1)
.
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
;
.
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.
Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
;
.
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
;
.
Тоді
.
Графічна інтерпретація
Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь) у двох точках ().
При , графік стосується осі абсцис в одній точці ().
При , графік не перетинає вісь абсцис ().
Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Висновок формули для коріння квадратного рівняння
Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):
,
де
;
.
Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння
виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.
Приклади визначення коренів квадратного рівняння
Приклад 1
(1.1)
.
.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.
Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:
.
Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).
;
;
.
Приклад 2
Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1)
.
Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.
Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.
Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.
;
.
Приклад 3
Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1)
.
Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1)
.
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.
Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.
Тоді
.
Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.
Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.
І т.д. носить загальноосвітній характер і має велике значення для вивчення курсу вищої математики. Сьогодні ми повторимо «шкільні» рівняння, але не просто «шкільні» – а ті з них, які повсюдно зустрічаються у різних завданнях вышмата. Як завжди, розповідь піде у прикладному ключі, тобто. я не загострюватиму увагу на визначеннях, класифікаціях, а поділюся з вами саме особистим досвідом рішення. Інформація призначена насамперед для початківців, але й більш підготовлені читачі теж знайдуть для себе чимало цікавих моментів. І, звичайно ж, буде новий матеріал, що виходить за межі середньої школи.
Отже, рівняння…. Багато хто зі здриганням згадує це слово. Чого тільки стоять «наворочені» рівняння з корінням... …забудьте про нього! Тому що далі вам зустрічатимуться найнешкідливіші «представники» цього виду. Або занудні тригонометричні рівняння з десятками методів розв'язання. Якщо чесно, я і сам їх не дуже любив. Без паніки! - Далі на вас чекають переважно «кульбаби» з очевидним рішенням в 1-2 кроки. Хоча і «реп'ях», безумовно, чіпляється – тут треба бути об'єктивним.
Як не дивно, у вищій математиці набагато частіше доводиться мати справу з примітивними рівняннями на кшталт лінійногорівняння.
Що означає розв'язати це рівняння? Це означає знайти ТАКЕ значення «ікс» (корінь), яке звертає його в правильну рівність. Перекинемо «трійку» направо зі зміною знака:
і скинемо «двійку» у праву частину (або, те саме – помножимо обидві частини на)
:
Для перевірки підставимо завойований трофей у вихідне рівняння: 
Отримано правильну рівність, отже, знайдене значення справді є коренем даного рівняння. Або, як ще кажуть, задовольняє це рівняння.
Зверніть увагу, що корінь можна записати і у вигляді десяткового дробу:
І постарайтеся не дотримуватись цього поганого стилю! Причину я повторював неодноразово, зокрема, на першому ж уроці з вищій алгебрі.
До речі, рівняння можна вирішити і «арабською»:
І що найцікавіше – цей запис повністю легальний! Але якщо Ви не викладач, то так краще не робити, бо оригінальність тут карається =)
А тепер трохи про
графічний метод вирішення
Рівняння має вигляд та його корінь – є «іксова» координата точки перетину графіка лінійної функціїз графіком лінійної функції (віссю абсцис):
Здавалося б, приклад настільки елементарний, що розбирати тут більше нічого, проте з нього можна «вичавити» ще один несподіваний нюанс: представимо те саме рівняння у вигляді і побудуємо графіки функцій : 
При цьому, будь ласка, не плутайте два поняття: рівняння - це рівняння, а функція– це функція! Функції лише допомагаютьзнайти коріння рівняння. Яких може бути два, три, чотири і навіть дуже багато. Найближчим прикладом у цьому сенсі є всім відомо квадратне рівняння, алгоритм вирішення якого удостоївся окремого пункту «гарячих» шкільних формул. І це невипадково! Якщо ви вмієте вирішувати квадратне рівняння та знаєте теорему Піфагора, то, можна сказати, «підлога вищої математики вже в кишені» =) Перебільшено, звичайно, але й не так далеко від істини!
А тому не полінимо і вирішуємо якесь квадратне рівняння по стандартного алгоритму:
, отже, рівняння має два різні дійснихкореня: 
Легко переконатися, що обидва знайдені значення справді задовольняють даному рівнянню: 
Що робити, якщо ви раптом забули алгоритм рішення, і під рукою немає коштів/рук допомоги? Така ситуація може виникнути, наприклад, на заліку чи іспиті. Використовуємо графічний метод! І тут є два шляхи: можна поточково побудуватипараболу 
, з'ясувавши тим, де вона перетинає вісь (якщо перетинає взагалі). Але краще вчинити хитріше: уявімо рівняння у вигляді, накреслимо графіки більш простих функцій - і «іксові» координатиїх точок перетину, як на долоні! 
Якщо виявиться, що пряма стосується параболи, то рівняння має два збіглися (кратні) корені. Якщо виявиться, що пряма не перетинає параболу, значить, дійсних коренів немає.
Для цього, звичайно, треба вміти будувати графіки елементарних функцій, але з іншого боку ці вміння під силу навіть школяру.
І знову – рівняння – це рівняння, а функції – це функції, які лише допомогливирішити рівняння!
І тут, до речі, доречно згадатиме ще одну річ: якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на ненульове число, його коріння не зміняться.
Так, наприклад, рівняння 
має те ж саме коріння. Як найпростіший «доказ» винесу константу за дужки: 
і безболісно її приберу (Поділю обидві частини на «мінус два»):
АЛЕ!Якщо ми розглядаємо функцію 
, то тут вже позбавлятися константи не можна! Допустимо хіба що винесення множника за дужки: 
.
Багато хто недооцінює графічний метод рішення, вважаючи його чимось «несолідним», а деякі взагалі забувають про таку можливість. І це дуже помилково, оскільки побудова графіків іноді просто рятує ситуацію!
Ще один приклад: припустимо, ви не пам'ятаєте коріння найпростішого тригонометричного рівняння: . Загальна формула є у шкільних підручниках, у всіх довідниках з елементарної математики, але вони вам недоступні. Однак вирішити рівняння критично важливо (інакше «двійка»). Вихід є! - Будуємо графіки функцій: 
потім спокійно записуємо «іксові» координати їх точок перетину: 
Коренів нескінченно багато і в алгебрі прийнято їх згорнутий запис:
, де ( – безліч цілих чисел)
.
І, не «відходячи від каси», кілька слів про графічний спосіб вирішення нерівностей з однією змінною. Принцип такий самий. Приміром, рішенням нерівності є будь-яке «ікс», т.к. синусоїда майже повністю лежить під прямою. Рішенням нерівності є безліч проміжків, на яких шматки синусоїди лежать строго вище прямої (осі абсцис):
або, якщо коротше:
А ось безліч розв'язків нерівності – порожньооскільки жодна точка синусоїди не лежить вище прямої.
Щось не зрозуміло? Терміново вивчати уроки про множинахі графіки функцій!
Розминаємось:
Завдання 1
Розв'язати графічно такі тригонометричні рівняння:
Відповіді наприкінці уроку
Як бачите, для вивчення точних наук зовсім не обов'язково зубрити формули та довідники! Більше того, це принципово порочний підхід.
Як я вже обнадіяв вас на початку уроку, складні тригонометричні рівняння в стандартному курсі вищої математики доводиться вирішувати вкрай рідко. Вся складність, як правило, закінчується рівняннями на кшталт , рішенням якого є дві групи коренів, що походять від найпростіших рівнянь і 
. З рішенням останнього сильно не парьтеся - подивіться в книжці або знайдіть в Інтернеті =)
Графічний спосіб рішення може допомогти і в менш очевидних випадках. Розглянемо, наприклад, наступне «різношерсте» рівняння:
Перспективи його вирішення виглядають ... взагалі ніяк не виглядають, проте варто тільки уявити рівняння у вигляді , побудувати графіки функційі все виявиться неймовірно просто. Креслення є в середині статті про нескінченно малих функціях (відкриється на сусідній вкладці).
Тим же графічним методом можна з'ясувати, що рівняння має вже два корені, причому один з них дорівнює нулю, а інший, зважаючи на все, ірраціональнийі належить відрізку. Цей корінь можна обчислити приблизно, наприклад, методом дотичних. До речі, в деяких завданнях, буває, потрібно не знайти коріння, а з'ясувати, чи є вони взагалі. І тут теж може допомогти креслення – якщо графіки не перетинаються, то коріння немає.
Раціональне коріння багаточленів із цілими коефіцієнтами.
Схема Горнера
А тепер я пропоную вам обернути свій погляд у середні віки та відчути неповторну атмосферу класичної алгебри. Для кращого розуміння матеріалу рекомендую хоч трохи ознайомитись з комплексними числами.
Вони самі. Багаточлени.
Об'єктом нашого інтересу будуть найбільш поширені багаточлени виду з цілимикоефіцієнтами. Натуральне число називають ступенем багаточлена, число - коефіцієнтом при старшому ступені (або просто старшим коефіцієнтом), А коефіцієнт - вільним членом.
Цей многочлен я буду згорнуто позначати через .
Корінням багаточленаназивають коріння рівняння
Люблю залізну логіку =)
За прикладами сходимо на початок статті: 
Зі знаходженням коренів багаточленів 1-го та 2-го ступенів немає жодних проблем, але в міру збільшення це завдання стає все важчим і важчим. Хоча з іншого боку – все цікавіше! І саме цьому буде присвячена друга частина уроку.
Спочатку буквально стать екрану теорії:
1) Відповідно до слідства основний теореми алгебрибагаточлен ступеня має рівно комплекснихкоріння. Деякі коріння (або навіть усі) можуть бути зокрема дійсними. При цьому серед дійсних коренів можуть зустрітися однакові (кратні) корені (мінімум два, максимум штук).
Якщо деяке комплексне число є коренем багаточлена, то й пов'язанейому число - теж обов'язково корінь цього багаточлена (сполучене комплексне коріння мають вигляд).
Найпростіший приклад – квадратне рівняння, яке вперше зустрілося в 8 (начебто)класі, і яке ми остаточно «добили» у темі комплексних чисел. Нагадую: квадратне рівняння має або два різних дійсних кореня, або кратне коріння, або сполучене комплексне коріння.
2) З теореми Безуслід, якщо число є коренем рівняння , то відповідний многочлен можна розкласти на множники:
, де - багаточлен ступеня.
І знову ж таки, наш старий приклад: оскільки – корінь рівняння , то . Після чого неважко отримати добре знайоме «шкільне» розкладання.
Наслідок теореми Безу має велику практичну цінність: якщо ми знаємо корінь рівняння 3-го ступеня, то можемо уявити його у вигляді 
і з квадратного рівняння легко дізнатися решту коріння. Якщо нам відомий корінь рівняння 4-го ступеня, то є можливість розкласти ліву частину до твір і т.д.
І питання тут два:
Питання перше. Як знайти цей самий корінь? Насамперед, давайте визначимося з його природою: у багатьох завданнях вищої математики потрібно знайти раціональні, зокрема цілікоріння багаточленів, і в цьому зв'язку далі нас цікавитимуть переважно вони…. …вони такі гарні, такі пухнасті, що їх так і хочеться знайти! =)
Перше, що напрошується – метод підбору. Розглянемо, наприклад, рівняння . Загвоздка тут у вільному члені – ось якби він дорівнював нулю, то все було б в ажурі – виносимо «ікс» за дужки і коріння самі «вивалюються» на поверхню: 
Але у нас вільний член дорівнює "трійці", і тому ми починаємо підставляти в рівняння різні числа, що претендують на звання "корінь". Насамперед, напрошується підстановка одиничних значень. Підставимо: 
Отримано неправильнерівність, в такий спосіб, одиниця «не підійшла». Ну та гаразд, підставляємо: 
Отримано вірнерівність! Тобто значення є коренем цього рівняння.
Для пошуку коренів многочлена 3-го ступеня існують аналітичний метод (Так звані формули Кардано)Але зараз нас цікавить дещо інше завдання.
Оскільки є корінь нашого багаточлена, то багаточлен можна уявити у вигляді і виникає Друге питання: Як знайти «молодшого побратима»?
Найпростіші міркування алгебри підказують, що для цього потрібно розділити на . Як поділити багаточлен на багаточлен? Тим самим шкільним способом, яким ділять звичайні числа – «стовпчиком»! Цей спосіб я докладно розібрав у перших прикладах уроку Складні межі, і зараз ми розглянемо інший спосіб, який отримав назву схема Горнера.
Спочатку запишемо «старший» багаточлен з усіма
, у тому числі нульовими коефіцієнтами:
, Після чого занесемо ці коефіцієнти (строго по порядку) у верхній рядок таблиці:
Зліва записуємо корінь:
Відразу зазначу, що схема Горнера працює і в тому випадку, якщо «червоне» число неє коренем багаточлена. Однак не поспішатимемо події.
Зносимо зверху старший коефіцієнт:
Процес заповнення нижніх осередків чимось нагадує вишивання, де мінус одиниця – це своєрідна голка, яка пронизує наступні кроки. «Знесене» число множимо на (–1) і додаємо до твору число з верхнього осередку:
Знайдене значення множимо на «червону голку» і до твору додаємо наступний коефіцієнт рівняння:
І, нарешті, отримане значення знову «обробляємо» «голкою» та верхнім коефіцієнтом:
Нуль в останньому осередку говорить нам про те, що багаточлен розділився на без залишку (як і має бути), при цьому коефіцієнти розкладання «знімаються» прямо з нижнього рядка таблиці:
Таким чином, від рівняння ми перейшли до рівносильного рівняння і з двома корінням, що залишилося, все ясно (в даному випадку виходить сполучене комплексне коріння).
Рівняння, до речі, можна вирішити і графічно: збудувати «блискавку» 
і побачити, що графік перетинає вісь абсцис ()
у точці. Або той же «хитрий» прийом – переписуємо рівняння у вигляді , креслимо елементарні графіки та детектуємо «іксову» координату їхньої точки перетину.
До речі, графік будь-якої функції-багаточлена 3-го ступеня перетинає вісь хоча б один раз, а отже, відповідне рівняння має щонайменшеодин дійснийкорінь. Даний факт справедливий для будь-якої функції-многочлена непарного ступеня.
І тут ще хочеться зупинитися на важливому моменті, Що стосується термінології: багаточлені функція-багаточлен – Це не одне і те ж! Але на практиці часто говорять, наприклад, про «графіку багаточлена», що, звичайно, недбалість.
Однак повернемося до схеми Горнера. Як я нещодавно згадав, ця схема працює і для інших чисел, але якщо число неє коренем рівняння , то нашій формулі з'являється ненульова добавка (залишок):
«Проженемо» за схемою Горнера «невдале» значення. При цьому зручно використовувати ту саму таблицю – записуємо зліва нову «голку», зносимо зверху старший коефіцієнт (ліва зелена стрілка), І понеслося: 
Для перевірки розкриємо дужки і наведемо такі складові:
, ОК.
Легко помітити, що залишок («шістка») – це точно значення многочлена при . І справді – що так: 
, А ще приємніше - ось так:
З наведених викладок неважко зрозуміти, що схема Горнера дозволяє не тільки розкласти багаточлени на множники, але й здійснити «цивілізований» підбір кореня. Пропоную вам самостійно закріпити алгоритм обчислень невеликим завданням:
Завдання 2
Використовуючи схему Горнера, знайти цілий корінь рівняння та розкласти відповідний багаточлен на множники
Іншими словами, тут потрібно послідовно перевіряти числа 1, -1, 2, -2, ... - До тих пір, поки в останньому стовпці не «намалюється» нульовий залишок. Це означатиме, що «голка» даного рядка – корінь багаточлена
Обчислення зручно оформити у єдиній таблиці. Докладне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Спосіб підбору коренів хороший для відносно простих випадків, але якщо коефіцієнти та/або ступінь багаточлена великі, процес може затягнутися. А може бути якісь значення з того ж списку 1, -1, 2, -2 і розглядати сенсу немає? І, крім того, коріння може виявитися і дробовим, що призведе до зовсім не наукового тику.
На щастя, існують дві потужні теореми, які дозволяють значно скоротити перебір значень-«кандидатів» у раціональне коріння:
Теорема 1Розглянемо нескоротнудріб, де. Якщо число є коренем рівняння , то вільний член поділяється на , а старший коефіцієнт - на .
Зокрема, якщо старший коефіцієнт , цей раціональний корінь – цілий:
І ми починаємо експлуатувати теорему якраз із цієї смачної зокрема:
Повернімося до рівняння. Так як його старший коефіцієнт , то гіпотетичні раціональні коріння можуть бути виключно цілими, причому вільний член повинен обов'язково ділитися на це коріння без залишку. А «трійку» можна розділити лише на 1, –1, 3 та –3. Тобто у нас лише 4 «кандидати в корені». І, згідно Теоремі 1, Інші раціональні числа не можуть бути корінням даного рівняння в принципі.
У рівнянні «претендентів» трохи більше: вільний член ділиться на 1, –1, 2, – 2, 4 та –4.
Зауважте, що числа 1, –1 є «завсідниками» списку можливих коренів. (Очевидне наслідок теореми)та найкращим вибором для першочергової перевірки.
Переходимо до більш змістовних прикладів:
Завдання 3
Рішення: оскільки старший коефіцієнт , то гіпотетичне раціональне коріння може бути тільки цілим, при цьому вони обов'язково повинні бути дільниками вільного члена. «Мінус сорок» ділиться на такі пари чисел:
- Разом 16 «кандидатів».
І тут відразу з'являється приваблива думка: а чи не можна відсіяти все негативне чи все позитивне коріння? У ряді випадків можна! Сформулюю дві ознаки:
1) Якщо Усекоефіцієнти многочлена неотрицательны чи всі непозитивні, він може мати позитивного коріння. На жаль, це не наш випадок (От якби нам було дано рівняння - тоді так, при підстановці будь-якого значення багаточлена строго позитивно, а значить, всі позитивні числа (Причому, і ірраціональні теж)не можуть бути корінням рівняння.
2) Якщо коефіцієнти при непарних ступенях невід'ємні, а за всіх парних ступенях (включаючи вільний член)– негативні, то многочлен не може мати негативного коріння. Або «дзеркально»: коефіцієнти при непарних ступенях непозитивні, і за всіх парних – позитивні.
Це наш випадок! Трохи придивившись, можна помітити, що при підстановці рівняння будь-якого негативного «ікс» ліва частина буде суворо негативна, а значить, негативне коріння відпадає
Таким чином, для дослідження залишилося 8 чисел:
Послідовно заряджаємо їх за схемою Горнера. Сподіваюся, ви вже освоїли усні обчислення: 
Успіх чекав нас при тестуванні «двійки». Таким чином – є корінь розглянутого рівняння, та
Залишилось досліджувати рівняння 
. Це легко зробити через дискримінант, але я проведу показову перевірку за тією самою схемою. По-перше, звернемо увагу, що вільний член дорівнює 20-ти, а отже, Теоремі 1зі списку можливих коренів випадають числа 8 і 40 і для дослідження залишаються значення (одиниця відсіялася за схемою Горнера).
Записуємо коефіцієнти тричлена у верхній рядок нової таблиці та починаємо перевірку з тієї ж «двійки». Чому? А тому що коріння може бути кратним, будь ласка: – це рівняння має 10 однакових коренів. Але не відволікаємось: 
І тут, звичайно, я трохи злукавив, свідомо знаючи, що коріння раціональне. Адже якби вони були ірраціональними або комплексними, то мені світила б безуспішна перевірка всіх чисел, що залишилися. Тому на практиці керуйтесь дискримінантом.
Відповідь: раціональне коріння: 2, 4, 5
У розібраній задачі нам супроводжував успіх, тому що: а) відразу відвалилися негативні значення, і б) ми дуже швидко знайшли корінь (а теоретично могли перевірити весь список).
Але насправді ситуація буває набагато гіршою. Запрошую вас до перегляду захоплюючої гри під назвою «Останній герой»:
Завдання 4
Знайти раціональне коріння рівняння
Рішення: по Теоремі 1чисельники гіпотетичних раціональних коренів повинні задовольняти умови (читаємо «дванадцять ділиться на ель»), А знаменники - умові. Виходячи з цього, отримуємо два списки:
"список ель":
та «список ем»: (Благо, тут числа натуральні).
Тепер складемо перелік усіх можливих коренів. Спочатку "список ель" ділимо на . Цілком зрозуміло, що вийдуть ті самі числа. Для зручності занесемо їх у таблицю:
Багато дробів скоротилися, внаслідок чого вийди значення, які вже є в «списку героїв». Додаємо тільки «новачків»: 
Аналогічно - ділимо той же «список ель» на: 
і, нарешті, на
Таким чином, команда учасників нашої гри укомплектована: 
На жаль, багаточлен даної задачі не задовольняє «позитивну» або «негативну» ознаку, і тому ми не можемо відкинути верхній чи нижній рядок. Прийде працювати з усіма числами.
Як ваш настрій? Та гаразд, вище ніс – є ще одна теорема, яку можна образно назвати «теоремою-вбивцею». …«кандидатів», звичайно ж =)
Але спочатку потрібно прокрутити схему Горнера хоча б для одного цілогочисла. Традиційно візьмемо одиницю. У верхній рядок запишемо коефіцієнти многочлена і все як завжди:
Оскільки четвірка - це явно не нуль, то значення не є коренем багаточлена, що розглядається. Але вона нам дуже поможе.
Теорема 2Якщо за деякого ціломузначенні значення многочлена відмінно від нуля: , то його раціональне коріння (якщо вони є)задовольняють умові
У нашому випадку і тому все можливе коріння має задовольняти умові (назвемо його Умовою № 1). Ця четвірка і буде "кілером" багатьох "кандидатів". Як демонстрацію я розгляну кілька перевірок:
Перевіримо «кандидата». Для цього штучно представимо його у вигляді дробу, звідки добре видно, що . Обчислимо перевірочну різницю: . Чотири ділиться на «мінус два»: а отже, можливий корінь пройшов випробування.
Перевіримо значення. Тут і перевірна різниця становить: 
. Зрозуміло, і тому другий «випробуваний» теж залишається в списку.
У проекті розглянуто спосіб наближеного знаходження коренів рівня алгебри - метод Лобачевського-Греффе. У роботі визначено ідею методу, його обчислювальну схему, знайдено умови застосування методу. Наведено реалізацію методу Лобачевського–Греффе
1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 6
1.1 Постановка задачі 6
1.2 Алгебраїчних рівнянь 7
1.2.1 Основні поняття про рівняння алгебри 7
1.2.2Коріння алгебраїчного рівняння 7
1.2.3Кількість дійсних коренів полінома 9
1.3 Метод Лобачевського-Греффе для наближеного розв'язання рівнянь алгебри 11
1.3.1 Ідея методу 11
1.3.2 Квадрування коріння 13
2.1 Завдання 1 16
2.2 Завдання 2 18
2.4 Аналіз отриманих результатів 20
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 23
ВСТУП
Обчислювальна техніка наших днів є потужними засобами для фактичного виконання лічильної роботи. Завдяки цьому у багатьох випадках стало можливим відмовитися від наближеного трактування прикладних питань та перейти до вирішення завдань у точній постановці. Розумне використання сучасної обчислювальної техніки неможливе без вмілого застосування методів наближеного та чисельного аналізу.
Численні методи спрямовані на вирішення завдань, що виникають на практиці. Розв'язання задач чисельними методами зводяться до арифметичних та логічних дій над числами, що вимагає застосування обчислювальної техніки, таких як табличні процесори сучасних офісних програм для персональних комп'ютерів.
Метою дисципліни "Кількісні методи" є пошук найбільш ефективних методом вирішення конкретної задачі.
Рішення рівнянь – алгебраїчних – є одним із суттєвих завдань прикладного аналізу, потреба в якій виникає в численних і найрізноманітніших розділах фізики, механіки, техніки та природознавства в широкому значенні цього слова.
Цей курсовий проект присвячений одному з методів вирішення рівнянь алгебри – методу Лобачевського–Греффе.
Мета цієї роботи розглянути ідею методу Лобачевського-Греффе для вирішення алгебраїчних, привести обчислювальну схему знаходження дійсних коренів, використовуючи MS Office Excel. У проекті розглянуто основні теоретичні питання, пов'язані знаходженням коренів рівнянь алгебри, методу Лобачевського-Греффе У практичній частині даної роботи наведено рішення алгебраїчних рівнянь методом Лобачевського-Греффе.
1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
1.1 Постановка задачі
Нехай дані безліч X елементів x і безліч Y з елементами y. Допустимо, крім того, що на множині X визначено оператора , який ставить у відповідність кожному елементу x з Х деякий елемент y з Y. Візьмемо якийсь елемент
і поставимо собі за мету знайти такі елементи 
, для яких 
є зображенням. Таке завдання рівносильне рішенню рівняння
(1.1)
Для нього можуть бути такі проблеми.
Умови існування рішення рівняння.
Умова єдиності розв'язання рівняння.
Алгоритм рішення, слідуючи якому, можна було б знайти, залежно від поставленої мети та умов, точно або наближено всі рішення рівняння (1.1), або якесь одне рішення, заздалегідь зазначене, або будь-яке з існуючих.
буде деяка функція. У цьому випадку рівняння (1.1) можна буде записати як 
(1.2)
Теоретично чисельних методів прагнуть побудувати обчислювальний процес, з якого можна визначити рішення рівняння (1.2) з наперед заданої точністю. Особливо велике значення мають процеси, що сходяться, що дозволяють вирішити рівняння з будь-якої, скільки завгодно малою похибкою.
Наше завдання – знаходження, взагалі кажучи, наближеного елемента 
. Для цього розробляється алгоритм, який видає послідовність наближених рішень 
, причому так, що має місце співвідношення
1.2 Алгебраїчних рівнянь
1.2.1 Основні поняття про рівняння алгебри
Розглянемо рівняння алгебри n-го ступеня
де коефіцієнти 
- дійсні числа, причому 
.
Теорема 1.1 (основна теорема алгебри). Алгебраїчне рівняння n-го ступеня (1.3) має рівно n коріння, дійсне і комплексне, за умови, що кожен корінь вважається стільки разів, яка його кратність.
При цьому кажуть, що корінь рівняння (1.3) має кратність s, якщо
, 
.
Комплексні корені рівняння (1.3) мають властивість парної сполученості.
Теорема 1.2. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1.3) – дійсні, то комплексне коріння цього рівняння попарно комплексно-пов'язані, тобто. якщо 
(
– дійсні числа) є корінь рівняння (1.3), кратності s, то число 
також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.
Слідство. Алгебраїчне рівняння непарного ступеня з дійсними коефіцієнтами має щонайменше один дійсний корінь.
1.2.2Коріння алгебраїчного рівняння
Якщо
- Коріння рівняння (1.3), то для лівої частини справедливе розкладання . (1.6)
Зробивши перемноження біномів у формулі (1.6) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x у лівій та правій частинах рівності (1.6), отримаємо співвідношення між корінням та коефіцієнтами рівняння алгебри (1.3):
(1.7)
Якщо враховувати кратності коренів, то розкладання (1.6) набуває вигляду
,
де
-різне коріння рівняння (1) і 
- їх кратності, причому 
.
Похідна 
виражається так:
де Q(x) – поліном такий, що
при k=1,2,…,m Тому поліном
є найбільшим спільним дільником полінома
та його похідною 
, і може бути знайдено за допомогою алгоритму Евкліда . Складемо приватне 
,
і отримаємо поліном
із дійсними коефіцієнтами
, А 1 , A 2 ,…, A m , коріння якого 
різні. Таким чином, рішення алгебраїчного рівняння з кратним корінням зводиться до рішення алгебраїчного рівняння більш низького порядку з різним корінням.
1.2.3Кількість дійсних коренів полінома
Загальне уявлення про число дійсних коренів рівняння (1.3) на інтервалі (a, b) дає графік функції
, де корінням 
є абсциси точок перетину графіка з віссю Ox. Відзначимо деякі властивості полінома P(x):
Якщо P(a)P(b)
Якщо P(a)P(b)>0, то на інтервалі (a, b) існує парне число або взагалі немає коренів полінома P(x).
Визначення. Нехай дана впорядкована кінцева система дійсних чисел, відмінних від нуля:
,
,…,
(1.9)
Кажуть, що для пари елементів, що стоять поруч.
, 
системи (1.9) є зміна знака, якщо ці елементи мають протилежні знаки, тобто. 
,
немає зміни знака, якщо знаки їх однакові, тобто.
.
Визначення. Загальна кількість змін знаків усіх пар сусідніх елементів
, 
Система (1.9) називається числом змін знаків у системі (1.9). Визначення. Для даного полінома P(x) системою Штурму називається система поліномів
,
, 
, 
,…, 
,
де 
, - узятий зі зворотним знаком залишок при розподілі полінома на , - взятий зі зворотним знаком залишок при розподілі полінома і т.д.
Примітка 1. Якщо поліном не має кратного коріння, то останній елемент системи Штурму є відмінним від нуля дійсним числом.
2. Елементи системи Штурму можна обчислювати з точністю до позитивного числового множника.
Позначимо через N(c) число змін знаків у системі Штурму при x=c, за умови, що нульові елементи системи викреслені.
Теорема 1.5. (Теорема Штурма). Якщо поліном P(x) немає кратних коней і 
, 
, то число його дійсних коренів 
на інтервалі 
в точності дорівнює кількості втрачених змін знаків у системі Штурму полінома 
при переході від 
до 
, тобто.
.
Наслідок 1. Якщо
, то число 
позитивних та число 
негативних коренів полінома відповідно рівні 
,
.
Наслідок 2. Для того щоб усі корені полінома P(x) ступеня n, що не має кратного коріння, були дійсними, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова
.
Таким чином у рівнянні (1.3) все коріння буде дійсним тоді і тільки тоді, коли:
За допомогою системи Штурму можна відокремлювати коріння рівняння алгебри, розбиваючи інтервал (a,b), що містить всі дійсні корені рівняння, на кінцеве число часткових інтервалів
таких, що 
.
1.3 Метод Лобачевського-Греффе для наближеного розв'язання рівнянь алгебри
1.3.1 Ідея методу
Розглянемо рівняння алгебри (1.3).Припустимо, що
, (1.15)
тобто. корені різні за модулем, причому модуль кожного попереднього кореня значно більший за модуль наступного. Іншими словами, припустимо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи в порядку зменшення їх номерів, є величина, мала за модулем:
, (1.16)
де 
і 
- Мінімальна величина. Таке коріння називається відокремленим.
(1.17)
де 
, 
,…, 
– малі за модулем величини проти одиницею. Нехтуючи у системі (1.17) величинами 
, матимемо наближені співвідношення 
(1.18)
Звідки знаходимо коріння 
(1.19)
Точність коренів у системі рівностей (1.20) залежить від того, наскільки малі за модулем величини 
у співвідношеннях (1.16)
Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1.3), становлять перетворене рівняння
, (1.20)
корінням якого
, 
,…, 
є m-e ступеня коренів 
, 
,…, 
рівняння (1.3). Якщо всі коріння рівняння (1.3) різні та його модулі задовольняють умові (1.17), то за досить великому m коріння , ,…, рівняння (1.20) будуть відокремленими, т.к.
при 
.
Вочевидь, що досить побудувати алгоритм знаходження рівняння, коріння якого будуть квадратами коренів заданого рівняння. Тоді можна буде отримати рівняння, коріння якого дорівнюватиме корінням вихідного рівняння в ступені
.
1.3.2 Квадрування коріння
Багаточлен (1.3) запишемо у такому виглядіІ помножимо його на багаточлен виду
Тоді отримаємо
Зробивши заміну
і помноживши на 
, буде мати . (1.21)
Коріння багаточлена (1.21) пов'язані з корінням багаточлена (1.3) наступним співвідношенням
.
Отже, рівняння, що цікавить нас, є
,
коефіцієнти якого обчислюються за формулою (1.22)
, (1.22)
де передбачається, що
при 
.
Застосовуючи послідовно k раз процес квадрування коренів до многочлена (1.3), отримаємо багаточлен
, (1.23)
в котрому
, 
, і т.д. При досить великих k можна домогтися, щоб для коренів рівняння (1.23) виконувалася система
(1.24)
Визначимо число k, котрим система (1.24) виконується із заданою точністю.
Припустимо, що необхідне k вже досягнуто і рівності (1.24) виконуються з прийнятою точністю. Зробимо ще одне перетворення і знайдемо багаточлен
,
для якого також виконана система (1.24) при
.
Оскільки в силу формули (1.22)
, (1.25)
то, підставивши (1.25) у систему (1.24), отримаємо, що абсолютні величини коефіцієнтів
повинні бути в прийнятій точності рівні квадратів коефіцієнтів 
. Виконання цих рівностей і буде свідчити, що необхідне значення k вже було досягнуто на k-му кроці. Таким чином квадрування коренів рівняння (1.3) слід припинити, якщо в прийнятій точності у правій частині формули (1.24) зберігається лише квадрати коефіцієнтів, а подвоєна сума творів виявиться нижчою за межу точності.
Тоді дійсне коріння рівняння виходить відокремленим і їх модулі знаходяться за формулою
(1.26)
Знак кореня можна визначити грубою прикидкою, підставивши значення 
і 
рівняння (1.3).
2 ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
2.1 Завдання 1
. (2.1)
Спочатку встановимо кількість дійсних та комплексних коренів у рівнянні (2.1). Для цього скористаємося теоремою Штурму.
Система Штурму для рівняння (2.1) матиме такий вигляд:
Звідки отримуємо
Таблиця 2.1.
|
Багаточлен |
Крапки на дійсній осі |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Число змін знаків |
1 |
3 |
Таким чином, отримуємо, що число дійсних коренів у рівнянні (2.1) дорівнює
,
тобто. рівняння (2.1) містить 2 дійсних і два комплексні корені.
Для знаходження коренів рівняння скористаємося методом Лобачевського-Греффе для пари комплексно-сполучених коренів.
Зробимо квадрування коренів рівняння. Обчислення коефіцієнтів проводилися за такою формулою 
, (2.2)
де 
, (2.3)
а 
вважається рівним 0 при 
.
Результати обчислень із вісьмома значущими цифрами наведено у таблиці 2.2
Таблиця 2.2.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3.8000000E+01 |
3.5400000E+02 |
3.8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4.3000000E+01 |
7.1500000E+02 |
4.8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.4300000E+03 |
-3.9517400E+05 |
-1.4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4.1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8.5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2.3210200E+05 |
-6.9223090E+09 |
-2.5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5.6541000E+04 |
6.5455256E+09 |
4.7447321E+13 |
1.1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.3091051E+10 |
5.3888712E+18 |
-1.5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9.8941665E+09 |
4.8232776E+19 |
2.0978658E+27 |
1.3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9.6465552E+19 |
4.1513541E+37 |
-1.3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1.4289776E+18 |
2.3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1.8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4.7358285E+39 |
-1.2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4.7337865E+39 |
5.6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1.1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Як видно з таблиці 2.2 на 7-му етапі коріння 
, 
(вважаючи в порядку зменшення модулів) можна вважати відокремленими. Модулі коренів знаходимо за формулою (1.27) і грубою прикидкою визначаємо їх знак:
Оскільки перетворений коефіцієнт при 
змінює знак, то дане рівняння має комплексне коріння, яке визначається з рівняння (1.31) з використанням формул (1.29) і (1.30):
i.
2.2 Завдання 2
Методом Лобачевського-Греффе вирішити рівняння:. (2.4)
Для початку за допомогою теореми Штурму визначимо кількість дійсних та комплексних коренів у рівнянні (2.2).
Для цього рівняння система Штурму має вигляд
Звідки отримуємо
Таблиця 2.3.
|
Багаточлен |
Крапки на дійсній осі |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Число змін знаків |
3 |
1 |
Таким чином, отримуємо, що число дійсних коренів у рівнянні (2.2) дорівнює
,
тобто. рівняння (2.2) містить 2 дійсних і два комплексних кореня.
Для наближеного знаходження коренів рівняння скористаємося методом Лобачевського-Греффе для пари комплексно-сполучених коренів.
Зробимо квадрування коренів рівняння. Обчислення коефіцієнтів зробимо за формулами (2.2) та (2.3) .
Результати обчислень із вісьмома значущими цифрами наведено у таблиці 2.4
Таблиця 2.4.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.2000000E+00 |
-3.3300000E+01 |
1.3800000E+02 |
0 |
.
і 
у рівнянні (2.4), що в результаті дає похибки різних порядків (4.52958089E-11 та 4.22229789E-06 відповідно) за однакової кількості ітерацій.Сторінка 1
Квадратні рівняння
У сучасній алгебрі квадратним рівнянням називається рівняння виду
де коефіцієнти 
будь-які дійсні числа, причому 
Неповним квадратним рівнянням називається рівняння виду
приклад a) 
Таким чином, рівняння має два корені: 
приклад b)
Рішення
Рівняння має два корені: 
приклад с) 
Рішення
Рівняння має два корені: 
приклад d)
Рішення
Рівняння не має дійсних коренів.
приклад е) 
Рішення
Це рівняння також є неповним квадратним рівнянням, воно завжди має один корінь
При розв'язанні квадратних рівнянь можна використовувати різні способи розкладання на множники. Так при вирішенні рівняння bбув застосований спосіб винесення загального множника. Існує інший спосіб - спосіб угруповання.
Рішення.
Відповідь: 
Те саме рівняння можна вирішити безліччю способів. Розглянемо деякі з них на прикладі квадратного рівняння
І спосіб.
Розглянемо квадратний тричлен 
Розкладемо його на множники способом угруповання, попередньо представивши доданок 
у вигляді 
Маємо
Отже, задане рівняння можна переписати як
Це рівняння має два корені: 
II
спосіб
. Розглянемо квадратний тричлен і розкладемо його на множники, використовуючи спосіб виділення повного квадрата; попередньо представимо доданок 3 у вигляді різниці 
. Маємо
Скориставшись формулою різниці квадратів, отримаємо
Отже, коріння тричлена
III спосіб – графічний.
Розглянемо графічний спосіб розв'язання рівнянь
Розв'яжіть рівняння
Побудуємо графік функції 
Координати вершини:
Вісь параболи – пряма 
Візьмемо на осі абсцис дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад точки 
Знайдемо значення функції у цих точках 
Через крапки 
і вершину параболи 
побудуємо графік функції.
Отже, корінням рівняння є абсциси точок перетину параболи з віссю абсцис тобто.
Розглянемо інший варіант графічного розв'язання рівняння
Запишемо рівняння у вигляді 
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій 
Отже, корінням рівняння є абсциси точок перетину побудованих графіків
Вихідне рівняння можна вирішити ще кількома способами, перетворивши рівняння 
на вигляд 
або на вигляд 
Потім вводять функції, будують графіки та знаходять абсциси точок перетину графіків побудованих функцій.
Дивись завдання 3 (додаток1).
IV спосіб - За допомогою формули коренів квадратного рівняння.
Для розв'язання квадратного рівняння виду 
можна використовувати наступний алгоритм:
Так як 
дане квадратне рівняння має два корені. Це коріння знаходимо за формулою
У разі якщо b– парне число, тобто. 
тоді
Рівняння виду 
є наведеним квадратним рівнянням.
Якщо числа 
такі, що 
то ці числа – коріння рівняння. 
За допомогою цього твердження, а точніше твердження, зворотного теоремі Вієта можна вирішувати наведені квадратні рівняння.
Отже, коріння рівняння
Якщо у рівнянні сума 
один корінь рівняння завжди 1, а інший корінь обчислюється за формулою .
У рівнянні сума отже 
Дивись завдання 4 (додаток1).
Раціональні рівняння
Якщо 
– раціональний вираз, то рівняння 
називається раціональним рівнянням.
приклад 
Перевіримо знайдене коріння: 
тобто. 
є корінням вихідного рівняння.
приклад 
Вирішимо рівняння методом введення змінної. Нехай 
Це дозволить переписати рівняння у вигляді 
З рівняння 
знаходимо 
Перевіримо знайдене коріння 
Оскільки 
нам належить вирішити ще два рівняння:
і 
Корінням першого рівняння є числа 1 і –4, корінням другого рівняння – числа 
Відповідь: 1, −4,
Метод введення нової змінної застосовується також під час вирішення біквадратних рівнянь.
Рівняння виду 
називається біквадратним рівнянням.
приклад 
Введемо змінну 
Отримаємо
Відповідь: 2, -2.
Дивись завдання 5, 6 та 7 (додаток1).
Ірраціональні рівняння
Якщо у рівнянні змінна міститься під знаком квадратного кореня, таке рівняння називають ірраціональним.
Звернімося до сторінок з історії математики. Поняття ірраціональні числа було відоме піфагорійцям. Теорема Піфагора призвела математиків до відкриття непорівнянних відрізків. Вони отримали парадоксальне твердження: довжину діагоналі квадрата не можна виміряти жодним натуральним числом. Це твердження підривало основну тезу їх вчення: «все число».
Відкриття несумірності показало, що, володіючи лише раціональними числами не можна визначити довжину будь-якого відрізка. Значить безліч відрізків значно ширше за безліч раціональних чисел. Греки вирішили будувати математику не шляхом розширення поняття числа, яке призвело б їх до розгляду ірраціональних чисел, а за допомогою геометричних величин. На відміну від піфагорійців вчені Стародавнього Сходу без жодних пояснень використовували наближені значення чисел. Так вони записували 1,41 замість 
, і 3 замість числа 
Повернемося до сучасної математики та розглянемо способи розв'язання ірраціональних рівнянь.
Приклад: 
Метод зведення у квадрат обох частин рівняння – основний метод розв'язання ірраціональних рівнянь.
Метод зведення квадрат нескладний, але іноді призводить до неприємностей.
Приклад: 
Але значення 
будучи коренем раціонального рівняння 
не є коренем заданого ірраціонального рівняння. Перевірка підтвердить це твердження.
Перевірка:
Отримане вираз немає сенсу. Під коренем парного ступеня може бути негативного числа.
Висновок: 
сторонній корінь
Задане ірраціональне рівняння не має коріння.
Приклад: 
Перевірка:
Якщо 
то 
- Невірно
Якщо 
то
- Невірно
Висновок: задане ірраціональне рівняння не має коріння.
Отже, ірраціональне рівняння вирішують шляхом зведення обох його частин у квадрат; Вирішивши отримане в результаті раціональне рівняння треба обов'язково зробити перевірку, відсіявши можливі сторонні корені.
Приклад: 
Перевірка:
Якщо 
то 
- Правильна рівність.
Якщо 
то 
- Правильна рівність.
Отже, обидва знайдені значення – коріння рівняння.
Відповідь: 4; 5.
Приклад: 
Це рівняння вирішимо шляхом введення нової змінної.
Нехай 
Повернемося до вихідної змінної.
- мабуть,
- Невірно.
Дивись завдання 8 (додаток1).
Трохи теорії
Визначення. Два рівняння 
і 
називають рівносильними, якщо вони мають однакове коріння (або, зокрема, якщо обидва рівняння не мають коріння).
Зазвичай під час вирішення рівняння намагаються замінити це рівняння простішим, але рівносильним йому. Таку заміну називають рівносильним перетворенням рівняння.
Рівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння до іншої з протилежними знаками.
Наприклад, заміна рівняння 
рівнянням 
є рівносильне перетворення рівняння. Це означає, що рівняння і рівносильні.
2. Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.
Наприклад, заміна рівняння 
рівнянням 
(обидві частини рівняння помножили почленно на 10) є рівносильне перетворення рівняння.
Нерівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Звільнення від знаменників, які містять змінні.
Наприклад, заміна рівняння 
рівнянням 
є нерівносильне перетворення рівняння. Справа в тому, що рівняння має два корені: 2 і −2, а заданому рівнянню значення 
задовольняти неспроможна (знаменник перетворюється на нуль). У таких випадках кажуть так: сторонній корінь.
2. Зведення обох частин рівняння квадрат.
Якщо в процесі розв'язування рівняння застосовувалося одне із зазначених нерівносильних перетворень, то всі знайдені корені треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння, оскільки серед них можуть виявитися сторонні корені.
Визначення.
Область визначення рівняння 
називається безліч 
де 
і 
– області визначення функцій fі g.
приклад 
Склавши дроби, що стоять у лівій частині, отримаємо рівняння
рівносильне вихідному. Це ж рівняння у свою чергу, рівносильне системі
Квадратне рівняння має коріння 
де 
- сторонній корінь.
Розглянемо рішення рівняння 
Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності
або 
або 
або 
Рівняння зі змінною під знаком модуля
1. Абсолютною величиною числа a(позначається |
a|
) називається відстань від точки, що зображує дане число а координатної прямої, до початку відліку.
З визначення випливає, що 
Основні властивості модуля
приклад 
Ясно, що тут є дві можливості: 
або 
Звідки нескладно отримати
Відповідь: 
або 
Зазначимо, що при вирішенні рівнянь виду 
найбільш раціональний шлях – перехід до сукупності
приклад 
Тут зазначений вище прийом звільняє нас від необхідності знаходити інтервали знакопостійності квадратного тричлена з «неприємним» корінням.
Маємо:
Відповідь: або 
або 
Дивись завдання 9 (додаток1).
Рівняння з параметрами
Трохи теорії.
З параметрами учні зустрічаються під час запровадження деяких понять. Наприклад, функція пряма пропорційність:
лінійна функція:
лінійне рівняння:
квадратне рівняння:
Визначення. Рівняння – зовнішній вигляд і рішення, якого залежить від значень одного або кількох параметрів, називається рівнянням з параметрами.
Вирішити рівняння з параметрами означає
1. Знайти всі системи значень параметрів, у яких дане рівняння має рішення.
2. Знайти всі рішення для кожної знайденої системи значень параметрів, тобто для невідомого та параметрів повинні бути вказані свої сфери допустимих значень.
Приклад: 
Відповідь: Якщо 
то немає рішень;
Ці рівняння є комбінованими завданнями, у процесі вирішення яких відпрацьовуються стандартні алгоритми розв'язання рівнянь, а також формуються та закріплюються навички роботи з областю допустимих значень та відбором коренів. Ці рівняння призначені як індивідуальні завдання для сильних учнів.
Застосування рівнянь.
Рівняння Навье-Стокса – система диференціальних рівнянь у приватних похідних, що описує рух в'язкої рідини. Рівняння Нав'є-Стокса є одними з найважливіших у гідродинаміці та застосовуються в математичному моделюванні багатьох природних явищ та технічних завдань. Названо на ім'я французького фізика Луї Навье та британського математика Джорджа Стокса.
Система складається з рівняння руху рівняння нерозривності.
Одним із застосувань системи рівнянь є опис течій у мантії Землі.
Варіації рівняння використовуються для опису руху повітряних мас атмосфери, зокрема при формуванні прогнозу погоди. В аналізі рішень рівняння полягає суть однієї з відкритих проблем, вирішення яких математичний інститут Клея призначив премію в 1 млн. доларів США. Необхідно довести чи спростувати існування глобального гладкого вирішення завдання Коші для тривимірних рівнянь Нав'є-Стокса.
Список використаної літератури
Мордковіч А.Г. Алгебра. 7 кл.: У двох частинах. Ч. 1: Підручник для загальнорозрізнений. Установ. - 5-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002. - 160 с.: Іл.
Мордковіч А.Г. Алгебра. 8 кл.: У двох частинах. Ч. 1: Підручник для загальнорозрізнений. Установ. - 6-те вид. - М.: Мнемозіна, 2004. - 223 с.: Іл.
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір Алгебраїчний тренажер: Посібник для школярів та абітурієнтів »/ Под ред. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. - М.: Ілекса, 2001 - 320с.
Кривоногов В.В. Нестандартні завдання з математики: 5-11 класи. - М.: Видавництво «Перше вересня», 2002. - 224с.: Іл.
сторінка 1
1. Поняття рівняння з однією змінною
2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь
3. Розв'язання рівнянь з однією змінною
Рівняння з однією змінною
Візьмемо два вирази зі змінною: 4 хта 5 х+ 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х= 5х+ 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається до висловлювання. Наприклад, при х =-2 пропозиція 4х= 5х+ 2 звертається в істинну числову рівність 4 · (-2) = 5 · (-2) + 2, а при х = 1 - у хибне 4·1 = 5·1 + 2. Тому пропозиція 4х = 5х + 2є висловлювальна форма. Її називають рівнянням з однією змінною.
У загальному вигляді рівняння з однією змінною можна визначити так:
Визначення. Нехай f(х) і g(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f(х) = g(х) називається рівнянням з однією змінною.
Значення змінної хз множини X,при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння(або його рішення). Вирішити рівняння -це означає знайти безліч його коренів.
Так, коренем рівняння 4х = 5х+ 2, якщо розглядати його на множині Rдійсними числами є число -2. Іншого коріння це рівняння не має. Значить багато його коренів є (-2).
Нехай на безлічі дійсних чисел задано рівняння ( х - 1) (х+ 2) = 0. Воно має два корені - числа 1 та -2. Отже, безліч коренів цього рівняння така: (-2,-1).
Рівняння (3х + 1)-2 = 6х+ 2, задане на безлічі дійсних чисел, звертається в істинну числову рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 = 6х + 2.У цьому випадку кажуть, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч усіх дійсних чисел.
Рівняння (3х+ 1) · 2 = 6 х+ 1, задане на безлічі дійсних чисел, не звертається в істинну числову рівність за жодного дійсного значення х:після розкриття дужок у лівій частині отримуємо, що 6 х + 2 = 6х + 1, що неможливо за жодного х.У цьому випадку кажуть, що дане рівняння не має коренів і що безліч його коренів порожнє.
Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого рівняння, необхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.
