Nezvyčajná kocka maloobchodu. Vzorce na krátke násobenie
V predchádzajúcich lekciách sme sa zamerali na dva spôsoby rozloženia násobilky do násobiliek: zavesenie násobilky za ruky a spôsob zoskupovania.
V tejto lekcii sa pozrieme na ďalší spôsob, ako zahrnúť bohatý výraz do multiplikátorov Zo zhustených vzorcov krátkeho násobenia.
Pleťovú formulu sa odporúča predpísať aspoň 12-krát. Ak si chcete rýchlo zapamätať, napíšte všetky vzorce na krátke násobenie na malý cheat.
Môžeme hádať, ako vyzerá vzorec na rozdiel v kockách.
a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)Vzorec pre počet kociek nie je veľmi ľahké si zapamätať, preto sa odporúča použiť špeciálnu metódu zapamätania.
Je dôležité pochopiť, že bez ohľadu na vzorec pre krátke násobenie brána .
(a − b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Poďme sa pozrieť na zadok. Rozmanitosť kociek je potrebné rozdeliť na násobky.
Naozaj oceňujeme, že „27a 3“ nie je „(3a) 3“, preto vo vzorci pre rozdiel kociek nahraďte „a“ za „3a“.
Vikoristický vzorec pre rozdiel kociek. Na mieste „a3“ máme „27a3“ a na mieste „b3“, ako vo vzorci, je „b3“.
Zastosuvannya maloobchodné kocky pri bráne b_k
Poďme sa pozrieť na iný zadok. Je potrebné prepracovať sčítanie bohatých členov z rozmanitosti kociek, vikorského vzorca krátkeho násobenia.
Upozorňujeme, že pridanie bohatých výrazov „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ uhádne pravú stranu vzorca pre rozdiel kociek „“, iba miesto „a“ stojí „x“ a miesto „b“ stojí „1“.
Pre „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ môžeme vypočítať vzorec pre rozdiel kociek v bráne.
Pozrime sa bližšie na zadok. Je potrebné odpustiť život mnohým členom.
Ako porovnať „(y 2 − 1) (y 4 + y 2 + 1)“ s pravou stranou vzorca pre rozdiel kociek
« a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)“, potom môžete pochopiť, že na mieste „a“ od prvého oblúka je „y 2“ a na mieste „b“ je „1“.
Vzorce na krátke násobenie.
Variácia vzorcov na krátke násobenie: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel medzi štvorcami dvoch odrôd; kocka súčet a kocka rozdiel medzi dvoma odrodami; zhrňte rozdiel medzi kockami týchto dvoch odrôd.
Zastosuvannya vzorcov krátkodobého násobenia pod hodinou verifikácia zadkov.
Na zjednodušenie výrazov, rozloženie viacerých výrazov na násobiče a zmenšenie viacerých výrazov do štandardného tvaru sa používajú krátke vzorce násobenia. Vzorce na krátke násobenie je potrebné poznať a zapamätať si ich.
Nech a, b R. Todi:
1. Druhá mocnina súčtu dvoch smerov je prastaráštvorec prvého virazu plus neistota prvého virazu za ďalšieho plus štvorec ďalšieho virazu.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Druhá mocnina rozdielu medzi dvoma výrazmi je prastará druhá mocnina prvého vírusu mínus podpochybnosti prvého vírusu pre druhý plus druhá mocnina druhého vírusu.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Rozmanitosť štvorcov dva vírusy, rozdiel medzi týmito dvoma vírusmi a ich súčty.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Sumi kocka dve odrody sa rovnajú kocke prvého vírusu plus tretí štvorec prvého vírusu navyše za druhý plus trojnásobný prídavok prvého vírusu za druhý štvorec plus kocka druhého vírusu.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Maloobchodná kocka dve odrody sa rovnajú kocke prvého vírusu mínus tretí prídavok štvorca prvého vírusu pre druhý plus tretí prídavok prvého vírusu štvorca druhého mínus kocka druhého vírusu.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Súčet kociek dve odrody sa rovnajú súčtu prvého a druhého vírusu pre rovnakú druhú mocninu rozdielu medzi týmito odrodami.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Maloobchodné kocky dve odrody sa rovnajú rozdielu medzi prvou a druhou odrodou na rovnakom štvorci súčtu týchto odrôd.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Zastosuvannya vzorcov krátkodobého násobenia pod hodinou verifikácia zadkov.
zadok 1.
Vypočítajte
a) Vikoristov vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov môžeme
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Vikoristov vzorec pre druhú mocninu rozdielu medzi dvoma výrazmi je eliminovaný
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 = 9604
zadok 2.
Vypočítajte
Vikoristický vzorec pre rozdiel v štvorcoch dvoch odrôd môže byť eliminovaný
zadok 3.
Odpusť Virazovi
(x - y) 2 + (x + y) 2
Vypočítava sa podľa vzorcov druhej mocniny súčtu a druhej mocniny rozdielu dvoch výrazov
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Krátke vzorce násobenia v jednej tabuľke:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Vzorce alebo pravidlá skratového násobenia sa používajú v aritmetike, presnejšie v algebre, na začiatku procesu výpočtu veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú odvodené od pravidiel bežných v algebre pre násobenie mnohých polynómov.
Použitie týchto vzorcov poskytne dostatočné promptné riešenie rôzne matematické úlohy a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Pravidlá algebraických transformácií umožňujú vykonávať rôzne manipulácie s výrazmi, ktoré je možné odstrániť z ľavej strany rovnice, aby stáli na pravej strane, alebo transformovať pravú stranu rovnice (odstrániť a ten, kto stojí pri ľavá strana po prejave žiarlivosti).
Je ľahké poznať vzorce, ktoré musíte formulovať na rýchle násobenie, v hádanke sa fragmenty smradu často riešia v hodine vrcholenia a zábavy. Nižšie sú uvedené základné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názvy.
námestie sumi
Na výpočet druhej mocniny súčtu je potrebné poznať súčet, ktorý sa sčítava z druhej mocniny prvého dodanku, deleného doboutou prvého dodanku na inú a druhou mocninou ďalšej. Vo všeobecnosti možno pravidlo zapísať takto: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Maloobchodné námestie
Na výpočet druhej mocniny rozdielu je potrebné vypočítať sumu, ktorá je súčtom druhej mocniny prvého čísla, zdvojnásobeného pripočítaním prvého čísla na druhom (bratom so znamienkom protilage) a štvorcom druhého čísla. číslo. Vo všeobecnosti toto pravidlo vyzerá v nasledujúcom poradí: (a - c) ² = a ² - 2ac + s ².
Rozmanitosť štvorcov
Vzorec pre rozdiel dvoch čísel sčítaných do štvorca sa rovná súčtu týchto čísel podľa ich rozdielu. Vo všeobecnosti toto pravidlo vyzerá v nasledujúcom poradí: a² - с² = (a + с) · (a - с).
Sumi kocka
Aby sme mohli vypočítať súčet kocky dvoch dodankov, je potrebné vypočítať súčet, ktorý sa sčítava z kocky prvého dodanku, trojitého vytvorenia štvorca prvého dodanku a druhého, trojitého sčítania prvý dodanku a druhý pre štvorec, ako aj kocku druhého dodanku. Toto pravidlo je zjavne dané v nasledujúcom poradí: (a + c) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + s?.
Súčet kociek
Podobne ako vo vzorci, pôvodný súčet súčtu týchto sčítaní s ich rozdielnym rozdielom na druhú. Toto pravidlo je zjavne dané v nasledujúcom poradí: a + c = (a + c) · (a - ac + c?).
zadok. Je potrebné vypočítať množstvo figúrky, ktorá sa vytvorí pridaním dvoch kociek. Výhľady sú menšie ako veľkosť ich strán.
Keďže hodnoty strán sú malé, výpočet je jednoduchý.
Keďže mnohé strany sú vyjadrené v objemných číslach, potom je jednoduchšie sformulovať vzorec „Súčet kociek“, čo znamená zjednodušenie výpočtu.
Maloobchodná kocka
Výraz pre kubický rozdiel znie takto: ako súčet tretieho stupňa prvého člena, trojité záporné pridanie druhej mocniny prvého člena k druhému, trojité pridanie prvého člena k druhej mocnine druhého člena. a podkocka druhého člena. V matematickom vyjadrení vyzerá kocka raznitsa v nasledujúcom poradí: (a - c) ³ = a - 3a + + 3ac - c.
Maloobchodné kocky
Vzorec pre rozdiel kociek sa mení od súčtu kociek až po jedno znamienko. Rozdiel kociek je teda vzorec, ktorý ukazuje rozdiel medzi týmito číslami a ich nepárnym súčtom. Rozdelenie kociek vyzerá takto: a 3 - z 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
zadok. Je potrebné vypočítať objem figúrky, keďže po odstránení objemu modrej kocky oň prídete objemový údajžltej farby, čo je tiež kocka. Vidíme len veľkosť strán malej a veľkej kocky.
Keďže hodnoty strán sú malé, výpočty sú jednoduché. A ak je väčšina strán vyjadrená vo významných číslach, môžete vytvoriť vzorec pod názvom „Výsledok kociek“ (alebo „Výsledok kocky“), čo znamená zjednodušenie výpočtu.
Vzorce pre krátke násobenie (FSU) sa používajú na násobenie čísel a výrazov v etapách. Tieto vzorce vám často umožňujú vykonávať výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.
V tomto článku preskúmame základné vzorce skratového násobenia, zoskupíme ich do tabuľky, pozrieme sa na aplikácie týchto vzorcov a tiež sa pozrieme na prepady dôkazov vzorcov skratového násobenia.
V prvom rade je téma FSU preberaná v rámci kurzu Algebra pre 7. ročník. Pozrime sa na 7 základných vzorcov nižšie.
Vzorce na krátke násobenie
- Sumi štvorcový vzorec: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- vzorec pre druhú mocninu rozdielu: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- vzorec sumi kocky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- vzorec pre kocku rozdielu: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- vzorec pre rozdiel v štvorcoch: a 2 - b 2 = a - b a + b
- vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- vzorec pre rozdiel v kockách: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť buď čísla, premenlivé alebo výrazy. Pre ľahšiu orientáciu je lepšie zapamätať si tieto základné vzorce. Uvedené v tabuľke a umiestnené nižšie, obklopené rámom.
Prvých niekoľko vzorcov vám umožňuje vypočítať druhú mocninu alebo druhú mocninu súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.
Piaty vzorec vypočítava rozdiel druhých mocnín výrazov cestou k ich súčtu a rozdielom.
Šosta a soma vzorca sú rovnaké násobenie súčtu a rozdielu výrazov inou druhou mocninou rozdielu a inou druhou mocninou súčtu.
Vzorec skratového násobenia sa nazýva aj identita skratového násobenia. Nie je na tom nič úžasné, pretože kožná žiarlivosť je podobnosť.
Vo väčšine praktických aplikácií sa vzorce na krátke násobenie často používajú s preskupenými ľavými a pravými časťami. Toto je obzvlášť jednoduché, pokiaľ ide o faktorizáciu polynómu do multiplikátorov.
Ďalšie vzorce pre krátke násobenie
Nie je oddelené kurzom algebry 7. ročníka, ale do našej tabuľky FSU pridávame niekoľko ďalších vzorcov.
Najprv sa pozrime na Newtonov binomický vzorec.
a + bn = Cn0 · an + Cn1 · an - 1 · b + Cn2 · an - 2 · b2 +. . + C n - 1 · a · b n - 1 + C n · b n
Tu Cn k sú binomické koeficienty, ako keby ste stáli v riadku s číslom n v Pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú pomocou nasledujúceho vzorca:
C n k = n! k! · (N - k)! = n (n – 1) (n – 2) . . (n - (k - 1)) k!
V skutočnosti sa FSU pre štvorec a kocku líši a sčítava - to je rovnaký výsledok ako Newtonov binomický vzorec s n = 2 a n = 3.
Čo ak sú v súčte viac ako dve dodanky? Vzorec pre štvorec je tri, štyri a viac dodankov.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ďalší vzorec, ktorý môže byť užitočný, je vzorec pre rozdiel n-tých krokov dvoch sčítaní.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Tento vzorec by sa mal rozdeliť na dva vzorce - vhodné pre párové a nepárové kroky.
Pre chlapcov zobrazujúcich 2 m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Pre nespárované indikátory 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b2 +. . + b 2 m
Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdielu kociek, ako ste uhádli, sú tiež rovnaké vzorce pre n = 2 a n = 3. Pre rôzne kocky sa b tiež nahrádza - b.
Ako čítať vzorec pre krátke násobenie?
Pozrime sa na základné vzorce pleťových vzorcov, ale najprv sa pozrime na princíp čítania vzorcov. Najlepšie sa pracuje na zadku. Zoberme si prvý vzorec pre druhú mocninu dvoch čísel.
a + b2 = a2 + 2 a b + b2.
Kazhut: štvorcový súčet dvoch smerov a a b moderné sumyštvorec prvého virazu, podriadený vytvoreniu virazu, a štvorec ďalšieho virazu.
Rozlíšenie všetkých vzorcov sa číta podobne. Pre druhú mocninu rozdielu a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:
Druhá mocnina rozdielu medzi dvoma odrodami a a b je rovnaký súčet štvorcov týchto odrôd mínus čiastkové prírastky prvej a ostatných odrôd.
Prečítajte si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch vírusov a a b je rovnakým súčtom kociek týchto vírusov, pričom sa strojnásobí štvorec prvého vírusu na druhom a strojnásobí štvorec druhého vírusu na prvom víruse.
Prejdime k čítaniu vzorca pre počet kociek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu dvoch odrôd a a b sa rovná kocke prvého vírusu mínus tretí štvorec prvého vírusu na druhom, plus tretí štvorec druhého vírusu na prvom víruse mínus kocka druhý vírus.
Piaty vzorec a 2 - b 2 = a - b a + b (rozptyl štvorcov) znie takto: rozdiel štvorcov dvoch odrôd sa rovná rozdielu súčtu dvoch odrôd.
Výrazy typu a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 sa pre ľahšiu orientáciu nazývajú samozrejme nepravidelné štvorce súčtu a nepravidelné štvorce rozdielu.
Z tohto hľadiska možno vzorce pre súčet a počet kociek čítať takto:
Súčet kociek dvoch odrôd sa rovná súčtu súčtu týchto odrôd na štvorec ich rozdielu.
Rozdiel v kockách dvoch odrôd sa rovná rozdielu rozdielu v dvoch odrodách na rovnakú druhú mocninu ich súčtu.
Dôkaz o FSU
Je ľahké dokončiť FSU. Na základe schopností násobenia vykonáme násobenie častí vzorcov v ramenách.
Pozrime sa napríklad na vzorec pre druhú mocninu rozdielu.
a-b2 = a2-2 ab + b2.
Aby ste tento koncept posunuli na inú úroveň, musíte túto postupnosť znásobiť.
a - b 2 = a - b a - b.
Otváranie ramien:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b2.
Vzorec bol dokončený. Ostatné FSU sú informované podobným spôsobom.
Použiť FSU zastosuvannya
Meta vikoristannya vzorcov pre krátke násobenie - shvidke a krátke násobenie a zvedennya viraziv pri krokoch. Na FSU však nestagnuje celá sféra. Zápach je široko pozorovaný pri skrátených výrazoch, skrátených zlomkoch a rozdelení bohatých členov do multiplikátorov. Poukazme na to.
Príklad 1. FSU
Povedzme viraz 9 r - (1 + 3 r) 2 .
Predpokladajme vzorec súčtu štvorcov a odstráňte ho:
9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2
Príklad 2. FSU
Rýchlosť odkvapkávania 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Stojí za zmienku, že výraz v čítačke čísel je rozdiel kociek a v signifikátore je rozdiel v štvorcoch.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Poďme to rýchlo preč:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU tiež pomáha vypočítať hodnoty vírusov. Golovne - poznačte si značku, de nastavte vzorec. Ukážme si to na zadku.
Číslo 79 je na druhú. Namiesto ťažkopádnych výpočtov napíšme:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Bolo by lepšie, keby sa výpočty vykonávali rýchlejšie s použitím skrátených vzorcov na násobenie a tabuliek násobenia.
Ďalším dôležitým bodom je vidieť druhú mocninu dvojčlenu. Viraz 4 x 2 + 4 x - 3 možno previesť na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takéto transformácie sú široko používané v integrácii.
Ak ste v texte označili láskavosť, pozrite si ju a stlačte Ctrl+Enter
