რა ფორმებია მრავალკუთხედები. მრავალკუთხედები

სამკუთხედი, კვადრატი, ექვსკუთხედი - ეს ფიგურები თითქმის ყველასთვის ცნობილია. ყველამ არ იცის რა არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მაგრამ ეს იგივეა, რაც ჩვეულებრივ მრავალკუთხედს ეწოდება, რომელსაც აქვს თანაბარი კუთხეები და გვერდები. ასეთი ფორმები ბევრია, მაგრამ მათ ყველას ერთი და იგივე თვისებები აქვს და იგივე ფორმულები ეხება მათ.

რეგულარული მრავალკუთხედის თვისებები

ნებისმიერი ჩვეულებრივი მრავალკუთხედი, იქნება ეს კვადრატი თუ რვაკუთხედი, შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. ეს ძირითადი თვისება ხშირად გამოიყენება ფორმის აგებისას. გარდა ამისა, წრე შეიძლება ჩაიწეროს მრავალკუთხედში. ამ შემთხვევაში, საკონტაქტო წერტილების რაოდენობა ტოლი იქნება მისი გვერდების რაოდენობის. მნიშვნელოვანია, რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში ჩაწერილ წრეს მასთან საერთო ცენტრი ჰქონდეს. ეს გეომეტრიული ფიგურები ექვემდებარება იგივე თეორემებს. ჩვეულებრივი n-gon– ის ნებისმიერი მხარე უკავშირდება შემოხაზული წრის რადიუსს. ამიტომ მისი გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: a \u003d 2R ∙ sin180 °. მისი საშუალებით შეგიძლიათ იპოვოთ არა მხოლოდ გვერდები, არამედ მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

როგორ ვიპოვოთ ჩვეულებრივი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა

ნებისმიერი შედგება გარკვეული რაოდენობის თანაბარი სეგმენტებისგან, რომლებიც დაკავშირების შემთხვევაში ქმნიან დახურულ ხაზს. ამ შემთხვევაში, ჩამოყალიბებული ფიგურის ყველა კუთხეს იგივე მნიშვნელობა აქვს. მრავალკუთხედები იყოფა მარტივ და რთულ. პირველ ჯგუფში შედის სამკუთხედი და კვადრატი. რთულ მრავალკუთხედებს მეტი მხარე აქვთ. მათში ასევე შედის ვარსკვლავის ფორმის ფიგურები. რთული რეგულარული მრავალკუთხედებისათვის გვერდები გვხვდება წრეში აღწერით. აქ არის მტკიცებულება. დახაზეთ რეგულარული მრავალკუთხედი გვერდების თვითნებური რაოდენობით n. დახაზეთ წრე მის გარშემო. მიეცით რადიუსი R. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ მოგეცათ n-gon. თუ მისი კუთხეების წრე წრეზეა და ერთმანეთის ტოლია, მაშინ გვერდების პოვნა შესაძლებელია ფორმულით: a \u003d 2R ∙ sinα: 2.

წარწერიანი რეგულარული სამკუთხედის გვერდების რაოდენობის პოვნა

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის ჩვეულებრივი მრავალკუთხედი. ფორმულები მას ისევე ეხება, როგორც კვადრატს და n-gon- ს. სამკუთხედი სწორად ჩაითვლება, თუ მას აქვს იგივე სიგრძის გვერდები. ამ შემთხვევაში, კუთხეები უდრის 60-ს. ავაშენოთ მოცემული გვერდის სიგრძის სამკუთხედი a. მისი საშუალო და სიმაღლის ცოდნა შეგიძლიათ იპოვოთ მისი მხარეების მნიშვნელობა. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ a \u003d x ფორმულის საშუალებით მოძიების მეთოდს: cosα, სადაც x არის საშუალო ან სიმაღლე. რადგან სამკუთხედის ყველა მხარე ტოლია, მივიღებთ a \u003d b \u003d c. შემდეგ მართებული იქნება შემდეგი ფრაზა a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. ანალოგიურად, გვერდების მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედში, მაგრამ x იქნება მოცემული სიმაღლე. ამ შემთხვევაში, იგი მკაცრად უნდა იყოს დაპროექტებული ფიგურის ბაზაზე. ასე რომ, ვიცით x სიმაღლე, ჩვენ ვხვდებით ტოლფერდა სამკუთხედის a გვერდს a \u003d b \u003d x: cosα ფორმულით. A- ს მნიშვნელობის აღმოჩენის შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ c ფუძის სიგრძე. მოდით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვეძებთ ფუძის ნახევრის მნიშვნელობას: 2 \u003d √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α \u003d x ∙ tgα. შემდეგ c \u003d 2xtgα. ასეთი მარტივი გზით შეგიძლიათ იხილოთ ნებისმიერი წარწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა.

წრეში ჩაწერილი კვადრატის გვერდების გაანგარიშება

როგორც ნებისმიერი წარწერილი რეგულარული მრავალკუთხედი, კვადრატს აქვს თანაბარი გვერდები და კუთხეები. მასზე იგივე ფორმულები მოქმედებს, რაც სამკუთხედს. კვადრატის გვერდების გამოთვლა შეგიძლიათ დიაგონალის მნიშვნელობის გამოყენებით. მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად. ცნობილია, რომ დიაგონალი კუთხეს შუაზე ყოფს. თავდაპირველად, მისი ღირებულება 90 გრადუსი იყო. ამრიგად, გაყოფის შემდეგ წარმოიქმნება ორი. მათი კუთხე ძირში 45 გრადუსის ტოლი იქნება. შესაბამისად, კვადრატის თითოეული მხარე ტოლი იქნება, ეს არის: a \u003d b \u003d c \u003d q \u003d e ∙ cosα \u003d e√2: 2, სადაც e არის კვადრატის დიაგონალი, ან გაყოფის შემდეგ ჩამოყალიბებული მართკუთხა სამკუთხედის ფუძე. ეს არ არის ერთადერთი გზა კვადრატის გვერდების პოვნისა. მოდით, ეს ფორმა წრედ დავწეროთ. ამ R წრის რადიუსის ცოდნით ვიპოვით კვადრატის მხარეს. ჩვენ გამოვთვლით შემდეგნაირად a4 \u003d R√2. რეგულარული მრავალკუთხედების რადიუსები გამოითვლება R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) ფორმულით, სადაც a არის მხარის სიგრძე.

როგორ გამოვთვალოთ n- გონის პერიმეტრი

N-gon- ის პერიმეტრი არის მისი ყველა გვერდის ჯამი. მისი გამოთვლა არ არის რთული. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა მხარის მნიშვნელობა. ზოგიერთი ტიპის მრავალკუთხედის სპეციალური ფორმულები არსებობს. ისინი საშუალებას მოგცემთ უფრო სწრაფად იპოვოთ პერიმეტრი. ცნობილია, რომ ნებისმიერ რეგულარულ მრავალკუთხედს თანაბარი გვერდები აქვს. ამიტომ, მისი პერიმეტრის გამოსათვლელად საკმარისია იცოდეთ ერთი მათგანი მაინც. ფორმულა დამოკიდებული იქნება ფორმის გვერდების რაოდენობაზე. ზოგადად, ასე გამოიყურება: P \u003d an, სადაც a არის გვერდის მნიშვნელობა და n არის კუთხეების რაოდენობა. მაგალითად, 3 სმ გვერდის მქონე ჩვეულებრივი რვაკუთხედის პერიმეტრის მოსაძებნად აუცილებელია მისი გამრავლება 8 – ზე, ანუ P \u003d 3 ∙ 8 \u003d 24 სმ. ექვსკუთხედის გვერდით 5 სმ გამოთვლით შემდეგნაირად: P \u003d 5 ∙ 6 \u003d 30 სმ. და ასე შემდეგ თითოეული მრავალკუთხედი.

პარალელოგრამის, კვადრატისა და რომბის პერიმეტრის პოვნა

დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენი გვერდი აქვს რეგულარულ მრავალკუთხედს, გამოითვლება მისი პერიმეტრი. ეს ამოცანას ბევრად ამარტივებს. მართლაც, სხვა ფიგურებისგან განსხვავებით, ამ შემთხვევაში არ არის საჭირო მისი ყველა მხარის ძებნა, საკმარისია ერთი. იმავე პრინციპით, ჩვენ ვხვდებით ოთხკუთხედების პერიმეტრს, ანუ კვადრატს და რომბს. მიუხედავად იმისა, რომ ეს განსხვავებული ფიგურაა, მათთვის ფორმულა არის იგივე P \u003d 4a, სადაც a არის მხარე. მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი. თუ რომბის ან კვადრატის მხარეა 6 სმ, მაშინ პერიმეტრს ვხვდებით შემდეგნაირად: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 სმ. პარალელოგრამის მხოლოდ მოპირდაპირე მხარეებია ტოლი. ამიტომ, მისი პერიმეტრი სხვა მეთოდის გამოყენებით გვხვდება. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ სიგრძე a და სიგანე ფიგურაში. შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას P \u003d (a + b) ∙ 2. პარალელოგრამას, რომელშიც ყველა მხარე და კუთხე მათ შორის ტოლია, რომბს უწოდებენ.

ტოლგვერდა და მართკუთხა სამკუთხედის პერიმეტრის პოვნა

სწორი პერიმეტრის პოვნა შესაძლებელია P \u003d 3a ფორმულით, სადაც a არის გვერდის სიგრძე. თუ ეს უცნობია, მისი პოვნა შესაძლებელია მედიანის საშუალებით. მართკუთხა სამკუთხედში მხოლოდ ორი მხარეა ერთნაირი მნიშვნელობის. საძირკვლის პოვნა შესაძლებელია პითაგორას თეორემის საშუალებით. სამივე მხარის მნიშვნელობების ცნობილი შემდეგ, ჩვენ გამოვთვლით პერიმეტრს. მისი პოვნა შესაძლებელია P \u003d a + b + c ფორმულის გამოყენებით, სადაც a და b ტოლი მხარეებია და c არის ფუძე. გავიხსენოთ, რომ ტოლფერდა სამკუთხედში a \u003d b \u003d a, ასე რომ a + b \u003d 2a, შემდეგ P \u003d 2a + c. მაგალითად, თუ ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი 4 სმ-ია, ჩვენ ვიპოვით მის ფუძესა და პერიმეტრს. ჩვენ ვიანგარიშებთ ჰიპოტენუზის მნიშვნელობას პითაგორას თეორემის მიხედვით \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 სმ. ახლა ჩვენ გამოვთვლით პერიმეტრს P \u003d 2 ∙ 4 + 5,65 \u003d 13,65 სმ.

როგორ ვიპოვოთ ჩვეულებრივი მრავალკუთხედის კუთხეები

ჩვენს ცხოვრებაში ყოველდღე ხდება ჩვეულებრივი პოლიგონი, მაგალითად, ჩვეულებრივი კვადრატი, სამკუთხედი, რვაკუთხედი. როგორც ჩანს, არაფერია იმაზე მარტივი, ვიდრე თავად შექმნა ეს ფიგურა. მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი შეხედვით არის. ნებისმიერი n-gon- ის შესაქმნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი კუთხეების მნიშვნელობა. მაგრამ როგორ პოულობთ მათ? ძველი მეცნიერებიც კი ცდილობდნენ რეგულარული მრავალკუთხედების აგებას. მათ გამოიცნეს წრეებში ჩაწერა. შემდეგ მათ აღნიშნეს მასზე საჭირო წერტილები, დააკავშირეს ისინი სწორი ხაზებით. მარტივი ფორმებისთვის, მშენებლობის პრობლემა მოგვარებულია. მიღებულია ფორმულები და თეორემები. მაგალითად, ევკლიდე თავის ცნობილ ნაშრომში "Inception" ეწეოდა პრობლემების მოგვარებას 3-, 4-, 5-, 6- და 15 გონით. მან იპოვა მათი აშენების გზები და კუთხეების პოვნა. ვნახოთ, როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს 15 გონისთვის. პირველ რიგში, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი შიდა კუთხეების ჯამი. თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა S \u003d 180⁰ (n-2). ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა 15 გონი, ამიტომ n n არის 15. შეცვალეთ ჩვენთვის ცნობილი მონაცემები ფორმულაში და მივიღებთ S \u003d 180⁰ (15 - 2) \u003d 180⁰ х 13 \u003d 2340⁰. ჩვენ აღმოვაჩინეთ 15 გონის ყველა შიდა კუთხის ჯამი. ახლა თქვენ უნდა მიიღოთ თითოეული მათგანის ღირებულება. ჯამში 15 კუთხეა.ანგარიშს ვაკეთებთ 2340⁰: 15 \u003d 156. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული შიდა კუთხე არის 156⁰, ახლა მმართველისა და კომპასის დახმარებით შეგიძლიათ ააშენოთ რეგულარული 15 გონი. მაგრამ რაც შეეხება უფრო რთულ n-gons- ს? მრავალი საუკუნის განმავლობაში მეცნიერები ცდილობდნენ ამ პრობლემის მოგვარებას. ის მხოლოდ მე -18 საუკუნეში იპოვა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა. მან შეძლო 65537 გონის აშენება. მას შემდეგ, ოფიციალურად პრობლემა მთლიანად მოგვარებულად ითვლება.

რადიანებში n- გონების კუთხეების გამოთვლა

რა თქმა უნდა, მრავალკუთხედის კუთხეების პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს. ყველაზე ხშირად ისინი გამოითვლება გრადუსებით. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოხატოთ ისინი რადიანში. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია შემდეგნაირად გაგრძელება. პირველ რიგში, ვიგებთ რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, შემდეგ გამოვაკლებთ 2. ამრიგად, მივიღებთ მნიშვნელობას: n - 2. ნაპოვნი სხვაობა გავამრავლოთ რიცხვზე n ("pi" \u003d 3.14). ახლა რჩება მხოლოდ მიღებული პროდუქტის დაყოფა n-gon- ში კუთხეების რაოდენობაზე. განვიხილოთ ეს გამოთვლები იმავე ექვსკუთხა მაგალითის გამოყენებით. რიცხვი n არის 15. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა S \u003d n (n - 2): n \u003d 3.14 (15 - 2): 15 \u003d 3.14 ∙ 13: 15 \u003d 2.72. რა თქმა უნდა, ეს არ არის რადიანში კუთხის გამოთვლის ერთადერთი გზა. თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ კუთხე გრადუსზე 57.3-ზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ზუსტად ამ რაოდენობის ხარისხები უდრის ერთ რადიანს.

კუთხეების მნიშვნელობის გაანგარიშება გრადუსებად

გრადუსებისა და რადიანების გარდა, შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ ჩვეულებრივი პოლიგონის კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსებში. ეს ხდება შემდეგნაირად. კუთხეების საერთო რაოდენობიდან გამოკლე 2, გაყო შედეგი განსხვავება რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე. ნაპოვნი შედეგი გავამრავლოთ 200-ზე. სხვათა შორის, კუთხეების ისეთი საზომი ერთეული, როგორიცაა გრადუსი, პრაქტიკულად არ გამოიყენება.

N- გონების გარე კუთხეების გაანგარიშება

ნებისმიერი ჩვეულებრივი მრავალკუთხედისთვის, შინაგანის გარდა, ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ გარე კუთხე. მისი მნიშვნელობა გვხვდება ისევე, როგორც სხვა ფიგურებისთვის. ასე რომ, რეგულარული მრავალკუთხედის გარე კუთხის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ შინაგანი პოლიგონის მნიშვნელობა. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ ამ ორი კუთხის ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია. ამიტომ, ჩვენ გამოთვლებს შემდეგნაირად ვაკეთებთ: 180⁰ მინუს შიდა კუთხის მნიშვნელობას. იპოვნეთ განსხვავება. ეს ტოლი იქნება მომიჯნავე კუთხის მნიშვნელობას. მაგალითად, კვადრატის შიდა კუთხე 90 გრადუსია, ამიტომ გარეთ იქნება 180⁰ - 90⁰ \u003d 90⁰. როგორც ვხედავთ, მისი პოვნა არ არის რთული. გარე კუთხეს შეუძლია მნიშვნელობა მიიღოს შესაბამისად + 180⁰-დან -180⁰-მდე.

სიბრტყის ნაწილს, რომელიც შემოიფარგლება დახურული პოლილინით, ეწოდება მრავალკუთხედი.

ამ პოლილაინის სეგმენტებს ეწოდება წვეულებები მრავალკუთხედი AB, BC, CD, DE, EA (ნახ. 1) - მრავალკუთხედის გვერდები ABCDE. მრავალკუთხედის ყველა გვერდის ჯამს მას უწოდებენ პერიმეტრი.

მრავალკუთხედს უწოდებენ ამოზნექილი, თუ იგი მისი რომელიმე მხარის ერთ მხარეს მდებარეობს, განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელდება ორივე ვერტიკსის მიღმა.

მრავალკუთხედი MNPKO (ნახ. 1) არ იქნება ამოზნექილი, რადგან ის არ მდებარეობს სწორი ხაზის KP ერთ მხარეს.

ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ამოზნექილ მრავალკუთხედებს.

მრავალკუთხედის ორი მომიჯნავე გვერდისგან შემდგარ კუთხეებს ეწოდება მისი შინაგანი კუთხეები და მათი დაპყრობა - მრავალკუთხედის მწვერვალები.

სწორხაზოვან სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს მრავალკუთხედის ორ არა-მომიჯნავე წვერს, ეწოდება მრავალკუთხედის დიაგონალი.

AC, AD - მრავალკუთხედის დიაგონალები (ნახ. 2).

პოლიგონის შიდა კუთხეების მიმდებარე კუთხეებს ეწოდება პოლიგონის გარე კუთხეები (სურათი 3).

კუთხეების (გვერდების) რაოდენობიდან გამომდინარე, მრავალკუთხედს ეწოდება სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, ხუთკუთხედი და ა.შ.

ამბობენ, რომ ორი მრავალკუთხედი ტოლია, თუ მათი გადახურვა შეიძლება.

ჩაწერილი და შემოხაზული მრავალკუთხედები

თუ მრავალკუთხედის ყველა წვერი წრეზე მდებარეობს, მაშინ მრავალკუთხედს ეწოდება წარწერილი წრეში და წრეში - აღწერილი პოლიგონის მახლობლად (ლეღვი).

თუ მრავალკუთხედის ყველა მხარე წრიულია, მაშინ მრავალკუთხედი ეწოდება აღწერილი წრის შესახებ და წრე ეწოდება წარწერილი მრავალკუთხედში (ლეღვი).

მრავალკუთხედების მსგავსება

ერთსა და იმავე სახელწოდების ორ მრავალკუთხედს მსგავსი ეწოდება, თუ ერთის კუთხეები შესაბამისად მეორის კუთხეების ტოლია და მრავალკუთხედების მსგავსი გვერდები პროპორციულია.

ამავე სახელწოდების პოლიგონებს პოლიგონებს უწოდებენ, რომლებსაც აქვთ გვერდების (კუთხეების) იგივე რაოდენობა.

ამგვარი მრავალკუთხედების გვერდებს, რომლებიც ერთმანეთთან აკავშირებს შესაბამისად თანაბარი კუთხეების, მსგავსია (ნახ.).

ასე რომ, მაგალითად, რომ ABCDE მრავალკუთხედი მსგავსი იყოს A 'B'C'D'E მრავალკუთხედისა, აუცილებელია: ∠A \u003d ∠A' ∠B \u003d ∠B '∠С \u003d ∠С' ∠D \u003d ∠D '∠ E \u003d 'E' და, გარდა ამისა, AB / A'B '\u003d BC / B'C' \u003d CD / C'D '\u003d DE / D'E' \u003d EA / E'A '.

მსგავსი მრავალკუთხედების პერიმეტრის თანაფარდობა

პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ მთელი რიგი თანაბარი ურთიერთობების თვისება. მოდით, გვქონდეს, მაგალითად, კოეფიციენტები: 2/1 \u003d 4/2 \u003d 6/3 \u003d 8/4 \u003d 2.

მოდით ვიპოვოთ ამ ურთიერთობების წინა წევრების ჯამი, შემდეგ - მათი შემდგომი წევრების ჯამი და ვიპოვნოთ მიღებული თანხების თანაფარდობა, მივიღებთ:

$ $ \\ frac (2 + 4 + 6 + 8) (1 + 2 + 3 + 4) \u003d \\ frac (20) (10) \u003d 2 $ $

იგივეს მივიღებთ, თუ ავიღებთ რამდენიმე სხვა ურთიერთობის მაგალითს, მაგალითად: 2/3 \u003d 4/6 \u003d 6/9 \u003d 8/12 \u003d 10/15 \u003d 2/3 იპოვნეთ ამ ურთიერთობების წინა ტერმინების ჯამი და შემდგომი თანხების ჯამი, შემდეგ ვიპოვით ამ თანხების თანაფარდობას, მივიღებთ:

$ $ \\ frac (2 + 4 + 5 + 8 + 10) (3 + 6 + 9 + 12 + 15) \u003d \\ frac (30) (45) \u003d \\ frac (2) (3) $ $

ორივე შემთხვევაში, მთელი რიგი თანაბარი ურთიერთობების წინა წევრების ჯამი ეხება იმავე სერიის შემდგომი წევრების ჯამს, რადგან ამ რომელიმე ურთიერთობის წინა წევრი მიუთითებს მის შემდგომ ურთიერთობაზე.

ჩვენ ეს თვისება გამოვიტანეთ რიგი რიცხვითი მაგალითების გადახედვით. მისი მიღება შესაძლებელია მკაცრად და ზოგადად.

ახლა გაითვალისწინეთ ასეთი მრავალკუთხედების პერიმეტრის თანაფარდობა.

მოდით, მრავალკუთხედი ABCDE მსგავსი იყოს მრავალკუთხედის A'B'C'D'E '(ნახაზი).

ამ მრავალკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ის

AB / A'B '\u003d BC / B'C' \u003d CD / C'D '\u003d DE / D'E' \u003d EA / E'A '

ჩვენი საკუთრების საფუძველზე, რომელიც მივიღეთ მთელი რიგი თანაბარი ურთიერთობებისთვის, შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენს მიერ აღებული ურთიერთობების წინა წევრების ჯამი არის პირველი მრავალკუთხედის პერიმეტრი (P) და ამ ურთიერთობების შემდგომი წევრების ჯამი არის მეორე მრავალკუთხედის პერიმეტრი (P '), ამიტომ P / P' \u003d AB / A'B '.

შესაბამისად, ასეთი მრავალკუთხედების პერიმეტრს უწოდებენ მსგავს გვერდებს.

მსგავსი მრავალკუთხედების ფართობის თანაფარდობა

ABCDE და A'B'C'D'E იყოს მსგავსი მრავალკუთხედები (ნახაზი).

ცნობილია, რომ ΔABC ~ ΔA'B'C 'ΔACD ~ ΔA'C'D' და ΔADE ~ ΔA'D'E '.

გარდა ამისა,

;

ვინაიდან ამ პროპორციის მეორე თანაფარდობა ტოლია, რაც გამომდინარეობს მრავალკუთხედების მსგავსებიდან

რიგი თანაბარი ურთიერთობების თვისების გამოყენებით ვიღებთ:

ან

სადაც S და S 'ამ მსგავსი მრავალკუთხედების ადგილებია.

შესაბამისად, მსგავსი მრავალკუთხედების ფართობებს უწოდებენ მსგავსი გვერდების კვადრატებს.

მიღებული ფორმულა შეიძლება გადაკეთდეს ამ ფორმაში: S / S '\u003d (AB / A'B') 2

უფასო მრავალკუთხედის ფართობი

მოდით, საჭირო იქნება თვითნებური ოთხკუთხა ABDC- ის ფართობის გამოთვლა (ნახაზი).

მოდით დავხატოთ მასში დიაგონალი, მაგალითად AD. მივიღებთ ორ სამკუთხედს ABD და ACD, რომელთა არეების გათვლაც ვიცით. შემდეგ ვიპოვით ამ სამკუთხედების ფართობების ჯამი. შედეგად მიღებული თანხა გამოხატავს ამ ოთხკუთხედის არეალს.

თუ თქვენ გჭირდებათ ხუთკუთხედის ფართობის გამოთვლა, ჩვენც იგივეს ვაკეთებთ: ერთი მწვერვალიდან დავხაზეთ დიაგონალები. მივიღებთ სამ სამკუთხედს, რომელთა ფართობის გამოთვლა შეგვიძლია. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მოცემული პენტაგონის ფართობი. იგივეს ვაკეთებთ ნებისმიერი მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლისას.

პოლიგონის პროექტორის არე

შეგახსენებთ, რომ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის არის კუთხე მოცემულ სწორ ხაზსა და მის პროექციას სიბრტყეზე (ნახ.).

თეორემა. პოლიგონის ორთოგონალური პროექციის ფართობი სიბრტყეზე ტოლია დაპროექტებული მრავალკუთხედის ფართობის გამრავლებული მრავალკუთხედის სიბრტყით წარმოქმნილი კუთხის კოსინუსზე და პროექტორის სიბრტყეზე.

თითოეული მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად, რომელთა ფართობების ჯამი ტოლია მრავალკუთხედის ფართობისა. ამიტომ, საკმარისია სამკუთხედის თეორემის დამტკიცება.

მოდით, ΔABS დაპროექტდეს თვითმფრინავზე რ... განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

ა) ΔABS- ის ერთ-ერთი მხარე სიბრტყის პარალელურია რ;

ბ) ΔABS– ის არცერთი მხარე არ არის პარალელური რ.

განვიხილოთ პირველი შემთხვევა: ნება [AB] || რ.

მოდით დახაზოთ თვითმფრინავი (AB) - ით რ 1 || რ და დიზაინის ორთოგონალურად ΔABS ჩართვა რ 1 და შემდეგ რ (ნახ.); ვიღებთ ΔABS 1 და ΔA'B'S '.

პროექციის თვისებით, ჩვენ გვაქვს ДАВС 1 (კონგ) ΔА'В'С 'და, შესაბამისად,

S Δ ABC1 \u003d S Δ A'B'C '

დახაზეთ ⊥ და სეგმენტი D 1 C 1. შემდეგ, a \\ (\\ overbrace (CD_1C_1) \\) \u003d φ არის კუთხის მნიშვნელობა ΔABS სიბრტყესა და სიბრტყეს შორის რ 1 ამიტომ

S Δ ABC1 \u003d 1/2 | AB | | C 1 D 1 | \u003d 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ \u003d S Δ ABC cos φ

და ამიტომ S Δ A A'B'C '\u003d S Δ ABC cos φ.

გადავიდეთ განხილვაზე მეორე შემთხვევა... მოდით დავხატოთ თვითმფრინავი რ 1 || რ ამ ვერტიკალური ΔABS- ის გავლით, მანძილი საიდადან სიბრტყემდე რ ყველაზე პატარა (იყოს A მწვერვალი).

მოდით, შევქმნათ ΔABS თვითმფრინავზე რ 1 და რ (ნახ.); მოდით, მისი პროგნოზები იყოს შესაბამისად ΔАВ 1 С 1 და ΔА'В'С '.

მოდით (ВС) გვ 1 \u003d D. შემდეგ

S Δ A'B'C '\u003d S ΔAB1 C1 \u003d S ΔADC1 - S ΔADB1 \u003d (S ΔADC - S ΔADB) cos φ \u003d S Δ ABC cos φ

სხვა მასალები

ამ გაკვეთილზე დავიწყებთ ახალ თემას და შემოგვთავაზებს ახალ კონცეფციას "მრავალკუთხედი". ჩვენ მოიცავს პოლიგონებთან დაკავშირებულ ძირითად ცნებებს: გვერდები, წვერები, კუთხეები, ამოზნექილობა და არა-ამოზნექილობა. შემდეგ ჩვენ დავამტკიცეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფაქტები, მაგალითად, თეორემა მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამზე, თეორემა მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამის შესახებ. შედეგად, ჩვენ მივუახლოვდებით პოლიგონების სპეციალური შემთხვევების შესწავლას, რომელთა განხილვა მოხდება შემდგომ გაკვეთილებზე.

თემა: ოთხკუთხედები

გაკვეთილი: მრავალკუთხედები

გეომეტრიის კურსში, ჩვენ ვსწავლობთ გეომეტრიული ფორმების თვისებებს და უკვე განვიხილეთ მათგან ყველაზე მარტივი: სამკუთხედები და წრეები. ამავდროულად, ჩვენ განვიხილეთ ამ ფიგურების სპეციფიკური განსაკუთრებული შემთხვევები, როგორიცაა მართკუთხა, ტოლფერდა და რეგულარული სამკუთხედები. ახლა დროა ვისაუბროთ უფრო ზოგად და რთულ ფორმებზე - მრავალკუთხედები.

განსაკუთრებული შემთხვევით მრავალკუთხედები ჩვენთვის უკვე ცნობილია - ეს არის სამკუთხედი (იხ. სურათი 1).

ფიგურა: 1. სამკუთხედი

თავად სახელი უკვე ხაზს უსვამს იმას, რომ ეს არის ფიგურა სამი კუთხით. შესაბამისად, მრავალკუთხედი შეიძლება ბევრი იყოს, ე.ი. სამზე მეტი. მაგალითად, მოდით დავხატოთ ხუთკუთხედი (იხ. სურათი 2), ე.ი. ფიგურა ხუთი კუთხით.

ფიგურა: 2. პენტაგონი. ამოზნექილი მრავალკუთხედი

განმარტებამრავალკუთხედი - ფიგურა, რომელიც შედგება რამდენიმე წერტილისაგან (ორზე მეტი) და ხაზის სეგმენტების შესაბამისი რაოდენობა, რომლებიც მათ ერთმანეთთან აკავშირებს. ამ წერტილებს ეწოდება მწვერვალები მრავალკუთხედი და სტრიქონის სეგმენტები - წვეულებები... უფრო მეტიც, არცერთი მომიჯნავე მხარე არ მდებარეობს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და არცერთი არა-მომიჯნავე მხარე იკვეთება.

განმარტებარეგულარული მრავალკუთხედიარის ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომლის ყველა მხარე და კუთხე ტოლია.

ნებისმიერი მრავალკუთხედი ყოფს სიბრტყეს ორ არეად: შიდა და გარე. შინაგანი არეალი ასევე მოიხსენიება როგორც მრავალკუთხედი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც ისინი საუბრობენ ხუთკუთხედზე, ისინი გულისხმობენ მის მთელ შიდა რეგიონს და მის საზღვარს. და ყველა წერტილი, რომელიც პოლიგონის შიგნით მდებარეობს, ასევე ეკუთვნის შიდა რეგიონს, ე.ი. წერტილი ასევე ეკუთვნის ხუთკუთხედს (იხ. სურათი 2).

მრავალკუთხედებს ზოგჯერ n- გონებსაც უწოდებენ იმის ხაზგასასმელად, რომ განიხილება კუთხეების (n ცალი) უცნობი რაოდენობის ზოგადი შემთხვევა.

განმარტება პოლიგონის პერიმეტრი - მრავალკუთხედის გვერდების სიგრძეების ჯამი.

ახლა ჩვენ უნდა გავეცნოთ მრავალკუთხედების ტიპებს. ისინი იყოფა ამოზნექილი და არა-ამოზნექილი... მაგალითად, ნახ. 2 ამოზნექილია და ნახ. 3 არა-ამოზნექილი.

ფიგურა: 3. არაკონვექსური მრავალკუთხედი

განმარტება 1. მრავალკუთხედი დაურეკა ამოზნექილითუ მის რომელიმე მხარეს სწორი ხაზის გატანისას, მთელი მრავალკუთხედი მდგომარეობს ამ სწორი ხაზის მხოლოდ ერთ მხარეს. არა-ამოზნექილი ყველა დანარჩენი მრავალკუთხედები.

ადვილი წარმოსადგენია, რომ პენტაგონის ორივე მხარის გაფართოებისას ნახ. 2 ეს ყველაფერი ამ სწორი ხაზის ერთ მხარეს იქნება, ე.ი. ეს ამოზნექილია. მაგრამ სწორი ხაზის დახატვისას ოთხკუთხედში ნახ. 3 უკვე ვხედავთ, რომ იგი მას ორ ნაწილად ყოფს, ე.ი. ეს არ არის ამოზნექილი.

მაგრამ არსებობს მრავალკუთხედის ამობურცულობის კიდევ ერთი განმარტება.

განმარტება 2. მრავალკუთხედი დაურეკა ამოზნექილითუ მისი ორი შინაგანი წერტილის არჩევისა და სეგმენტთან დაკავშირებისას, სეგმენტის ყველა წერტილი ასევე არის პოლიგონის შინაგანი წერტილები.

ამ განმარტების გამოყენების დემონსტრირება ჩანს სეგმენტების აგების მაგალითზე ნახ. 2 და 3.

განმარტება დიაგონალი მრავალკუთხედი არის ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ არამყარ მწვერვალს.

პოლიგონების თვისებების აღსაწერად, არსებობს ორი მნიშვნელოვანი თეორემა მათი კუთხეების შესახებ: თეორემა ამოზნექილი მრავალკუთხედის შინაგანი კუთხეების ჯამზე და თეორემა ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამზე... მოდით განვიხილოთ ისინი.

თეორემა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი (ნ-გონ).

სად არის მისი კუთხეების (გვერდების) რაოდენობა.

მტკიცებულება 1. ჩვენ ასახავს ნახ. 4 ამოზნექილი n-gon.

ფიგურა: 4. ამოზნექილი n-gon

ზემოდან დახაზეთ ყველა შესაძლო დიაგონალი. ისინი n- გონს სამკუთხედებად ყოფენ, რადგან მრავალკუთხედის თითოეული მხარე ქმნის სამკუთხედს, გარდა ვერტექსის მიმდებარე მხარეებისა. ნახატიდან მარტივად ჩანს, რომ ყველა ამ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ზუსტად უდრის n-gon– ის შიდა კუთხეების ჯამს. მას შემდეგ, რაც ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამია, n-gon– ის შიდა კუთხეების ჯამია:

Q.E.D.

მტკიცებულება 2. ამ თეორემის კიდევ ერთი დადასტურებაა შესაძლებელი. მოდით დავხატოთ მსგავსი n-gon ნახ. 5 და დააკავშირეთ მისი რომელიმე შიდა წერტილი ყველა ვერტიკასთან.

ფიგურა: ხუთი

მივიღეთ n-gon- ის დანაყოფი n სამკუთხედებად (რამდენი მხარე, იმდენი სამკუთხედი). მათი ყველა კუთხის ჯამი ტოლია მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამისა და კუთხის კუთხეების ჯამისა შიდა წერტილში და ეს არის კუთხე. Ჩვენ გვაქვს:

Q.E.D.

დადასტურებულია.

დადასტურებული თეორემით ნათელია, რომ n- გონის კუთხეების ჯამი დამოკიდებულია მისი გვერდების რაოდენობაზე (n). მაგალითად, სამკუთხედში და კუთხეების ჯამი. ოთხკუთხედში და კუთხეების ჯამია და ა.შ.

თეორემა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი (ნ-გონ).

სად არის მისი კუთხეების (გვერდების) რაოდენობა და,…, არის გარე კუთხეები.

მტკიცებულებები. დახაზეთ ამოზნექილი n-gon ნახაზზე. 6 და დანიშნეთ მისი შიდა და გარე კუთხეები.

ფიგურა: 6. ამოზნექილი n-gon მარკირებული გარე კუთხეებით

რადგან გარე კუთხე უკავშირდება შიდა კუთხეს, როგორც მიმდებარე, მაშინ და სხვა დანარჩენი კუთხეების მსგავსად. შემდეგ:

გარდაქმნების პროცესში ჩვენ გამოვიყენეთ უკვე დადასტურებული თეორემა n-gon– ის შიდა კუთხეების ჯამზე.

დადასტურებულია.

დადასტურებული თეორემიდან გამომდინარეობს საინტერესო ფაქტი, რომ ამოზნექილი n- გონის გარე კუთხეების ჯამი ტოლია მისი კუთხეების (გვერდების) რიცხვიდან. სხვათა შორის, შინაგან კუთხეების ჯამისგან განსხვავებით.

ბიბლიოგრაფია

1. ალექსანდროვი ახ.წ. გეომეტრია, მე -8 კლასი. - მ .: განათლება, 2006 წ.
2. ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პრასოლოვი ვ.ვ. გეომეტრია, მე -8 კლასი. - მ.: განათლება, 2011 წ.
3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. გეომეტრია, მე -8 კლასი. - მ.: VENTANA-GRAF, 2009 წ.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Საშინაო დავალება

არსებობს სხვადასხვა თვალსაზრისი იმის შესახებ, თუ რა ითვლება მრავალკუთხედში. სკოლის გეომეტრიის კურსში გამოიყენება შემდეგი განმარტებებიდან ერთ – ერთი.

განმარტება 1

მრავალკუთხედი

არის ფორმა, რომელიც შედგება ხაზის სეგმენტებისგან

ისე რომ მიმდებარე სეგმენტები(ეს არის მიმდებარე ხაზის სეგმენტები საერთო წვერით, მაგალითად, A1A2 და A2A3) არ იტყუოთ ერთ სწორ ხაზზე და არამდგრადი ხაზის სეგმენტებს არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება 2

უბრალო დახურულ მრავალკუთხედს ეწოდება.

ქულები

უწოდებენ მრავალკუთხედის მწვერვალები, სეგმენტები

— მრავალკუთხედის გვერდები.

ყველა მხარის სიგრძეების ჯამი ეწოდება მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

მრავალკუთხედს, რომელსაც აქვს n წვერი (და, შესაბამისად, n მხარე), ეწოდება n - gon.

მრავალკუთხედს, რომელიც ერთ სიბრტყეში მდებარეობს, ეწოდება ბინა... მრავალკუთხედზე საუბრისას, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, გასაგებია, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ბრტყელ მრავალკუთხედზე.

ეწოდება ორი მწვერვალი, რომლებიც პოლიგონის ერთსა და იმავე მხარეს მიეკუთვნება მეზობელი... მაგალითად, A1 და A2, A5 და A6 მეზობელი წვერებია.

სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს ორ არა-მომიჯნავე მწვერვალს, ეწოდება მრავალკუთხედის დიაგონალით.

მოდით გავეცნოთ რამდენი დიაგონალი აქვს მრავალკუთხედს.

მრავალკუთხედის თითოეულ n მწვერვალს აქვს n-3 დიაგონალი

(ჯამში არის n წვეტი. ჩვენ არ ჩავთვლით თვით მწვერვალს და ორ მეზობელ წვერს, რომლებიც არ ქმნიან დიაგონალს მოცემულ წვერთან. A1 წვერისთვის, მაგალითად, არ ვითვალისწინებთ თვით A1- ს და მეზობელ A2 და A3 წვეროებს)

ამრიგად, თითოეული n მწვერვალი შეესაბამება n-3 დიაგონალებს. მას შემდეგ, რაც ერთი დიაგონალი ერთდროულად ორ მწვერვალს ეხება, მრავალკუთხედის დიაგონალების რაოდენობის მოსაძებნად, n (n-3) პროდუქტი უნდა განახევრდეს.

ამიტომ, n-gon აქვს

დიაგონალები.

ნებისმიერი მრავალკუთხედი სიბრტყეს ყოფს ორ ნაწილად - მრავალკუთხედის შიდა და გარე რეგიონებად. მრავალკუთხედისგან შედგენილ ფორმას და მის შინაგანს პოლიგონსაც უწოდებენ.

§ 1 სამკუთხედის ცნება

ამ გაკვეთილზე გაეცნობით ისეთ ფორმებს, როგორიცაა სამკუთხედი და მრავალკუთხედი.

თუ სამი წერტილი, რომლებიც არ მდებარეობს ერთ სწორ ხაზზე, დაკავშირებულია სეგმენტებით, მაშინ მიიღებთ სამკუთხედს. სამკუთხედს აქვს სამი წერტილი და სამი მხარე.

სანამ ABC სამკუთხედს შექმნით, მას აქვს სამი წვერი (წერტილი A, წერტილი B და წერტილი C) და სამი მხარე (AB, AC და CB).

სხვათა შორის, ამ იგივე მხარეებს სხვაგვარად შეიძლება ეწოდოს:

AB \u003d BA, AC \u003d CA, CB \u003d ძვ.

სამკუთხედის გვერდები სამკუთხედს ქმნის სამკუთხედის წვერებზე. სურათზე ხედავთ A, B კუთხეს, C კუთხეს.

ამრიგად, სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს სამ წერტილს, რომლებიც არ იტყუებიან ერთ სწორ ხაზზე.

§ 2 მრავალკუთხედის ცნება და მისი ტიპები

სამკუთხედების გარდა, არსებობს ოთხკუთხედები, ხუთკუთხედები, ექვსკუთხედები და ა.შ. ერთი სიტყვით, მათ შეიძლება მრავალკუთხედებად ვუწოდოთ.

სურათზე ხედავთ DMKE ოთხკუთხედს.

D, M, K და E წერტილები ოთხკუთხედის მწვერვალებია.

სეგმენტები DM, MK, KE, ED ამ ოთხკუთხედის მხარეებია. ისევე, როგორც სამკუთხედის შემთხვევაში, ოთხკუთხედის გვერდები წვერებზე ოთხ კუთხეს ქმნის, როგორც თქვენ მიხვდით, აქედან მოდის სახელწოდებაც - ოთხკუთხედი. ამ ოთხკუთხედისთვის ნახავთ ნახატს კუთხეში D, კუთხე M, კუთხე K და კუთხე E.

რა ოთხკუთხედები უკვე იცით?

მოედანი და მართკუთხედი! თითოეულ მათგანს აქვს ოთხი კუთხე და ოთხი მხარე.

მრავალკუთხედების კიდევ ერთი სახეობაა ხუთკუთხედი.

O, P, X, Y, T წერტილები ხუთკუთხედის მწვერვალებია, ხოლო სეგმენტები TO, OP, PX, XY, YT ამ ხუთკუთხედის მხარეებია. პენტაგონს, შესაბამისად, აქვს ხუთი კუთხე და ხუთი მხარე.

თქვენი აზრით რამდენი კუთხე და მხარე აქვს ექვსკუთხედს? მართალია, ექვსი! მსგავს მსჯელობაზე დაყრდნობით შეგიძლიათ თქვათ რამდენი გვერდი, წვერი ან კუთხე აქვს კონკრეტულ პოლიგონს. და შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სამკუთხედი ასევე არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ზუსტად სამი კუთხე, სამი მხარე და სამი წვერი.

ამრიგად, ამ გაკვეთილზე თქვენ გაეცანით ისეთ ცნებებს, როგორიცაა სამკუთხედი და მრავალკუთხედი. გავიგეთ, რომ სამკუთხედს აქვს 3 წვეტი, 3 მხარე და 3 კუთხე, ოთხკუთხედი - 4 წვეთი, 4 მხარე და 4 კუთხე, ხუთკუთხედი - შესაბამისად 5 მხარე, 5 წვერი, 5 კუთხე და ა.შ.

გამოყენებული ლიტერატურის ჩამონათვალი:

1. მათემატიკის 5 კლასი. ვილენკინ ნ.ია, ჟოხოვი ვ.ი. და სხვათა 31-ე რედაქცია, წაშლილია. - M: 2013 წელი.
2. დიდაქტიკური მასალები მათემატიკაში მე –5 კლასში. ავტორი - პოპოვი მ.ა. - 2013 წელი
3. ჩვენ გამოვთვლით შეცდომების გარეშე. მუშაობს თვითტესტთან მათემატიკაში 5-6 კლასებში. ავტორი - მინაევა ს.ს. - 2014 წელი
4. დიდაქტიკური მასალები მათემატიკაში მე –5 კლასში. ავტორები: დოროფეევი გ.ვ., კუზნეცოვა ლ.ვ. - 2010 წ
5. კონტროლი და დამოუკიდებელი მუშაობა მათემატიკაში, მე –5 კლასი. ავტორები - პოპოვი მ.ა. - 2012 წელი
6. Მათემატიკა. მე -5 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლების სტუდენტებისთვის. ინსტიტუტები / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - მე -9 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინა, 2009 წ