מה שמכונה פוליהדרון ששני הפנים שלו. עבודות תכנון ומחקר: "דמויות מדהימות: פולידרונים רגילים

מוסד חינוך עירוני

בית ספר דקדוק מספר 26

גיאומטריה

הסוגים העיקריים של הפוליהדרה ותכונותיהם

הושלם:

תלמיד כיתה 9-1

Baysakova Lyazzat

מורה:

סיסובה אלנה אלכסייבנה

צ'ליאבינסק

מבוא

משטח רב פנים. פוליהדרון

פירמידה

מקביל למחצה

נפח גוף

מסקנה

רשימת ספרות משומשת

מבוא

עד עכשיו, במהלך הגיאומטריה, עסקנו בפלנטימטריה - חקרנו את המאפיינים של דמויות גיאומטריות מישוריות, כלומר דמויות שנמצאות לגמרי במישור. אבל רוב החפצים סביבנו אינם שטוחים לחלוטין, הם ממוקמים בחלל. קטע הגיאומטריה בו נלמד תכונות הדמויות בחלל נקרא סטריאומטריה (מיוונית אחרת στερεός, "סטריאו" - "מוצק, מרחבי" ו- μετρέω - "מידה").

הדמויות העיקריות בחלל הן נקודה, ישיר   ו המטוס. יחד עם הדמויות הפשוטות הללו בסטריאומטריה, נחשבים גופים גיאומטריים ומשטחים שלהם. בעת לימוד גופים גיאומטריים השתמש בתמונות ברישום.

איור 1 איור 2

איור 1 מראה פירמידה, איור 2 - קוביה. גופים גאומטריים אלה נקראים פולידרונים.קחו בחשבון כמה סוגים ותכונות של polyhedra.

  משטח רב פנים. פוליהדרון

משטח פוליאדראלי הוא איחוד של מספר מצומצם של מצולעים מישוריים כך שכל צד של כל המצולע הוא בו זמנית הצד של מצולע אחר (אך רק אחד), הנקרא צמוד למצולע הראשון.

מכל אחד מהמצולעים המרכיבים את המשטח הרב-גוני, אתה יכול ללכת לכל אחד אחר, לנוע לאורך מצולעים סמוכים.

מצולעים המרכיבים משטח פוליאדרלי נקראים הפנים שלו; הצדדים של המצולעים נקראים קצוות, והקודקודים נקראים הקודקודים של משטח פוליאדרלי.

איור 1 מראה איחוד של מצולעים העונים על הדרישות שצוינו והם משטחים פוליהדראליים. איור 2 מציג דמויות שאינן משטחים פוליהדראליים.

משטח רב צדדי מחלק את החלל לשני חלקים - האזור הפנימי של המשטח הרב-צדדי והאזור החיצוני. מבין שני האזורים החיצוניים יהיה אחד בו ניתן לשרטט קווים ישרים השייכים לחלוטין לאזור.

5 האיחוד של משטח פוליאדרלי ואזורו הפנימי נקרא פוליהדרון. במקרה זה, המשטח הפוליהדראלי והאזור הפנימי שלו נקראים המשטח והאזור הפנימי של הפולידרון, בהתאמה. הפנים, הקצוות והקודקודים של פני השטח של פוליהדרון נקראים הפנים, הקצוות והקודקודים של הפולידרון בהתאמה.

פירמידה

פוליהדרון שאחד הפנים שלו הוא פוליהדרון שרירותי, והפנים הנותרות הם משולשים בעלי קודקוד משותף אחד, הנקרא פירמידה.

המצולע נקרא בסיס הפירמידה, והפנים הנותרות (המשולשים) נקראות פנים הצדדיות של הפירמידה.

יש להבחין במשולשים, מרובעים, מחומשים וכו '. פירמידות תלויות בסוג המצולע השוכב בבסיס הפירמידה.

הפירמידה המשולשת נקראת גם הטטרהדרון. איור 1 מציג את הפירמידה המרובעת SABCD עם הבסיס ABCD ופני הצדדים SAB, SBC, SCD, SAD.

דפנות הפנים של הפירמידה נקראות קצוות הפירמידה. הצלעות השייכות לבסיס הפירמידה נקראות צלעות הבסיס, וכל שאר הצלעות נקראות צלעות צד. הקודקוד השכיח של כל המשולשים (פרצופי הצד) נקרא ראש הפירמידה (באיור 1, נקודה S היא החלק העליון של הפירמידה, הקטעים SA, SB, SC, SD הם קצוות צד, הקטעים AB, BC, CD, AD הם קצוות בסיס).

גובה הפירמידה הוא קטע הניצב שנמשך מראש הפירמידה S למישור הבסיס (קצות הקטע הזה הם החלק העליון של הפירמידה ובסיס הניצב). באיור 1, SO הוא גובה הפירמידה.

הפירמידה הנכונה. פירמידה נקראת רגילה אם בסיס הפירמידה הוא מצולע רגיל, וההקרנה האורתוגונאלית של קודקודו על מישור הבסיס עולה בקנה אחד עם מרכז המצולע השוכב בבסיס הפירמידה.

כל צלעות הצד של פירמידה רגילה שוות זו לזו; כל הצדדים הצדדיים הם משולשים שולי שווה.

גובה פני הצד של פירמידה רגילה המצוירת מלמעלה נקרא הכינוי של הפירמידה הזו. באיור 2 SN מהווה רווח. כל האפוטמים של הפירמידה הנכונה שווים זה לזה.

פריזמה

פולידרון ששני הפנים שלו שווים n- שוכבים במטוסים מקבילים, והשאר n   פרצופים - מקבילים, נקראים nפריזמה.

פריזמה של פירמידה פוליאתרון מופיעה במקביל

זוג שווים n-גונים קראו לבסיסי הפריזמה. הפנים הנותרות של הפריזמה נקראות הפנים לרוחב שלה, והאיחוד שלהם נקרא המשטח הרוחבי של הפריזמה. איור 1 מראה פריזמה מחומשת.

צידי הפנים של הפריזמה נקראים קצוות, וקצוות הקצוות נקראים קודקודי הפריזמה. צלעות שאינן שייכות לבסיס הפריזמה נקראות צלעות לרוחב.

פריזמה שצלעות הצד שלה בניצב למישור הבסיס נקראת פריזמה ישירה. אחרת, הפריזמה נקראת נוטה.

קטע הניצב למישור בסיסי הפריזמה, שקצותיו שייכים למטוסים אלה, נקרא גובה הפריזמה.

פריזמה ישירה המבוססת על מצולע רגיל נקראת פריזמה רגילה.

מקביל למחצה

מקבילי הצוואר הוא משושה, שפניו הפנימיים מקבילים בזוגות. מקביל למחצה   יש 8 קודקודים, 12 קצוות; פניו מקבילים בשני זוגיים.

מקביל למחצה   נקרא ישר אם הקצוות הצדדיים שלו בניצב למישור הבסיס (במקרה זה, 4 פאות הצדדים הם מלבנים); מלבני אם זה parallelepiped   המלבן הוא הקו והבסיס הישר (לפיכך, 6 פנים הם מלבנים);

מקביל למחצהשכל פניהם ריבועים, הנקראים קוביה.

נפח מקביל למחצה   שווה לתוצר שטח הבסיס שלו בגובה.

נפח גוף

לכל פולידרון יש נפח, אותו ניתן למדוד באמצעות יחידת המדידה שנבחרה. יחידת מדידה של נפחים היא קוביה שהקצה שלה שווה ליחידת המדידה של הקטעים. נקראת קוביה עם קצה של 1 ס"מ סנטימטר מעוקב. מוגדר באופן דומה מטר מעוקבו מילימטר מעוקבוכו '

בתהליך מדידת הנפחים עם יחידת המדידה שנבחרה, נפח הגוף מתבטא במספר חיובי, שמראה כמה יחידות מדידה של הנפחים וחלקיו מתאימים לגוף זה. המספר המבטא את נפח הגוף תלוי בבחירת יחידת המדידה של הנפחים. לפיכך, יחידת המדידה של הנפחים מצוינת לאחר מספר זה.

המאפיינים העיקריים של כרכים:

1. לגופים שווים יש נפחים שווים.

2. אם הגוף מורכב מכמה גופים, נפחו שווה לסכום הנפחים של גופים אלה.

כדי למצוא את נפחי הגופות, במקרים מסוימים נוח להשתמש במשפט שנקרא עקרון Cavalieri.

עקרון הקוואליירי הוא כדלקמן: אם בצומת של שני גופים עם מישור כלשהו מקביל למישור נתון כלשהו, \u200b\u200bמתקבלים קטעים של שטח שווה, אז נפחי הגופים שווים זה לזה.

  מסקנה

אז, polyhedra לומדים קטע של גיאומטריה שנקרא stereometry. פוליהדרה מגיעים בסוגים שונים (פירמידה, פריזמה וכו ') ובעלי תכונות שונות. כמו כן, יש לציין שלפוליתדרה, בניגוד לדמויות המטוס, יש נפח והם ממוקמים בחלל.

מרבית האובייקטים סביבנו נמצאים בחלל, ומחקר הפוליהדרה עוזר לנו לקבל מושג על המציאות הסובבת אותנו מבחינת הגיאומטריה.

  רשימת ספרות משומשת

1. גיאומטריה. ספר הלימוד לכיתות ז'-ט '.

3. ויקיפדיה

5. מילון

מוסד חינוך עירוני גימנסיה מס '26 גיאומטריה מופשטת סוגים עיקריים של פוליאתרה ותכונותיהם בוצע: תלמיד כיתה 9-1 תלמיד ביסאקובה ליאזאט מורה: אלנה סיסואבה על

עבודת תכנון ומחקר:

"דמויות מדהימות: פולידרונים רגילים."

הערה קצרה.

השנה, בשיעורי המעגל המתמטי, למדנו פוליהדרה רגילה, המכונים גם מוצקים אפלטוניים. מה שהופך את הדגמים שלהם, הופתענו מהבלתי רגיל והיפה שבחלקם. בעזרת סריקות למדנו כיצד לבנות דמויות אלה. אך בכדי לבנות סריקה אתה צריך להיות מורכב של ידע מתמטי, כישורי ציור, חשיבה מרחבית.

החלטנו ללמוד עוד על הפוליהדרה הנכונה, להכיר את ההיסטוריה של הופעתם, ללמוד כיצד לבנות אותם בצורה אופטימלית, בקלות ובמהירות, לחקור את תפקידם בעולם הסובב אותנו ולבסוף, לברר אם הנתונים והידע הללו עליהם מועילים לנו בחיים המעשיים.

מטרת המחקר:

מטרות מחקר:

- ללמוד מקורות מידע בנושא זה;

-

מושא הלימוד: הנכוניםפולידרונים.

נושא הלימוד: ח

שיטות מחקר:

-

- התבוננות;

תשאול;

- עבודה מעשית.

בעבודה בנושא זה השלמנו את כל היעדים והיעדים שהצבנו לעצמנו:   הם למדו כיצד לבנות מודלים של פוליאתרה רגילה, חקרו את ההיסטוריה של התרחשותם, את תכונותיהם, מצאו קשר בין צורות פוליאתרה רגילה וחפצים טבעיים, ומצאו יישום בחיי היומיום. דאגנו שהנתונים הללו יעניינו אחרים. בנוסף, למדנו לפתור כמה בעיות מתמטיות בעזרת המצפן והסרגל, ובכך שיפרנו את כישורי השרטוט והידע המתמטי שלנו. זה מועיל לנו מאוד, כי כבר בשנה הבאה עלינו ללמוד גיאומטריה.

כתוצאה מכך עבודה מעשיתשיפרנו מיומנויות מוטוריות עדינות של ידיים, פיתחנו דמיון ודמיון, עבודה קשה והתמדה בהשגת יעדינו.

תוכן עניינים.

מבוא 4

הרעיון של פולידרון רגיל 5-6

מההיסטוריה של פוליהדרה 6-7

שימוש בטפסים ויישום פוליהדרה רגיל 7-9

ביצוע פוליאדרה רגילה 9-10

מסקנה 11

רשימת מקורות המידע. 12

נספח 13-18

מבוא

בעולמנו, הרבה יוצא דופן ויפה. אנו מוקפים בחפצים שצורותיהם מפתיעות אותנו. כאלה, למשל, הם פולידרים רגילים. לדמויות אלה יש גם יופי וגם שלמות של צורות, ומושכות.

כבר מגיל הרך, אנו נפגשים כבר עם פולידרדרים רגילים, משחקים קוביות ופיתוח קונסטרוקטורים, פותר חידות של קוביית רוביק וזניו. אדריכלים, בונים ומעצבים מגלמים את שלהם רעיונות מקורייםבאמצעות צורות אלה.

השנה, בשיעורי המעגל המתמטי, למדנו פוליהדרה רגילה, המכונים גם מוצקים אפלטוניים.   בספרי הלימוד בנושא גיאומטריה לקורס בית הספר העל יסודי, ניתן מידע דל מאוד על פוליהדרה. מעט מאוד בעיות מוצעות בנושא זה, וזו הסיבה שאפשרויות הנושא לא נחשפות כלל. אך תיאורטית היא עשירה מאוד, היא מאפשרת לנו לנסח בעיות מעניינות רבות. פיתרון הבעיות המוצעות יאפשר לראות שטכניקות בנייה מסוימות עוזרות לפשט מאוד הן את הבנייה עצמה והן את הבנת תכונות הדמות.

בלימוד המאפיינים של דמויות אלה, בניית סריקותיהם, קיפול הפוליהדרה, הבנו שאנחנו מעוניינים.החלטנו ללמוד עוד על פוליהדרה רגילה, להכיר את ההיסטוריה של הופעתם, לחקור את תפקידם בעולם סביבנו ולמצוא את יישומם המעשי.

השערה:   פוליאדרונים רגילים הם צורות הרמוניות ורווחיות וניתן להשתמש בהן באופן נרחב.

מטרת המחקר:   הרחבת מעגל הידע אודות פוליהדרה רגילה, לימוד יישומים מעשיים ברחבי העולם.

מטרות מחקר:

- ללמוד מקורות ספרותיים בנושא;

הכינו אוסף של פולידרונים רגילים ועקבו אחר התעניינות בהם.

- מצא דוגמאות לפוליהדרה רגילה בסביבה הטבעית ובסביבה הביתית;

תוכיח כי צורות הפוליהדרה הרגילות חלות בחיי היומיום.

מושא הלימוד: הנכוניםפולידרונים.

נושא הלימוד: ח ההתחלה והיישום של נתונים אלה

שיטות מחקר:

- חיפוש, איסוף ועיבוד של מידע בנושא

- התבוננות;

- עבודה מעשית.

תשאול;

הרעיון של פולידרון רגיל.

פוליהדרה   - אלה הדמויות הפשוטות ביותר בחלל, כמו למשל מצולעים - הדמויות הפשוטות ביותר במטוס. אם ניקח בחשבון את הפוליהדרון מנקודת המבט של הגיאומטריה, אז זהו חלק מהמרחב, מוגבל מצולעים שטוחיםקראו פרצופים. הצדדים וקודקודי הפנים נקראים קצוות וקודקודים של הפוליהדרון עצמו.

פולידרון רגיל הוא דמות בעלת התכונות הבאות:

זה קמור;

כל פניו מצולעים רגילים שווים;

בכל אחד מקודקודיו מתכנס אותו מספר פרצופים;

כל שלו זוויות dihedral   שווים.

מוכחת קיומה של חמש פוליאדרה רגילה בלבד.

טטרהדרון   מורכב מארבעה משולשים שווה-צלעות. כל קודקודיו הם קצה המפתח של שלושה משולשים.
קוביה (משושה) מורכב משש ריבועים. כל קודקוד של הקוביה הוא החלק העליון של שלושה ריבועים.
אוקטהדרון   המורכבת משמונה משולשים שווה צלעות. כל קודקוד של האוקטאהדרון הוא קודקוד של ארבעה משולשים.
דודקהדרון   המורכבת משנים-עשר מחומשות רגילות. כל קודקוד של הדודקהדרון הוא קודקודם של שלושה מחומשים רגילים.
איקוסדרוןמורכבים מעשרים משולשים שווה צלעות. כל קודקוד של איקוסדרון הוא החלק העליון של חמישה משולשים.

קל מאוד לזכור את שמות הדמויות הללו. בתרגום מיוונית, "אדרה" פירושו פנים, "טטרה" - 4, "הקסה" - 6, "אוקטה" - 8, "איקוסה" - 20, "דודקה" - 12.

המאפיינים העיקריים של פולידרון הם מספר וסוג הפנים, מספר הקודקודים ומספר הקצוות. מאפיינים אלה לפוליהדרה רגילה מוצגים בטבלה (נספח 1)

לאחר שבדקנו היטב את תוכן הטבלה, ראינו תבנית: אם מספר הקצוות של הפוליהדרון הנבדק גדל ב -2, נקבל את המספר שווה לסכום   מספר הפנים וקודקודי הפולידרון הזה. אנו מנסחים כלל זה באופן הבא:"סכום מספר הפנים והקודקודים שווה למספר הקצוות שהוגדל ב -2", כלומר, Г + В \u003d Р + 2.

נכון פולידרון	מספר GRAN + TOP	מספר צלעות
טטרדר	4 + 4 = 8	6
קוביה	6 + 8 = 14	12
OCTAEDR	8 + 6 = 14	12
דודקהדרון	12 + 20 = 32	30
ICOSAEDR	20 + 12 = 32	30

כך גילינו נוסחה שהוסקה לראשונה על ידי רנה דקארט בשנת 1640, ובהמשך התגלה מחדש על ידי אוילר בשנת 1752, ושמה הוא נושא מאז. הנוסחה של אוילר תקפה לכל פוליאתדרה קמור.

מההיסטוריה של הפוליהדרה.

המין האנושי ידע על פוליהדרונים רגילים מזה זמן רב. ניתן למצוא את דפוסי הקישוט שלהם על בלונים מגולפים העשויים אבנים שהופיעו בתוכן סקוטלנד הרבה לפני שאפלטון גילה אותם. הקוביות השונות של אותה תקופה דומות אף הן לצורת פולידרדרונים רגילים.

גם אז אנשים השתמשו באנלוגים מברונזה של הדמויות המדהימות הללו.

כבוד הגילוי והלימוד המפורט של פולידרונים רגילים מיוחסים לחוקרים יוונים קדומים. במקורות מסוימים תוכלו למצוא מידע כי פיתגורס זיהה לראשונה את הנתונים הללו. מקורות אחרים טוענים כי הוא הכיר רק את הטטרהדרון, הקוביה והדודקהדרון, ואילו האוקטאהדרון ואיקוסדרדרון התגלו על ידי טטה מאתונה, שתיאר גם את כל חמשת הפולידרים הרגילים.

הוא הקדיש תשומת לב רבה לפוליהדרה רגילה אפלטון לכבודם הם נקראים "מוצקים אפלטוניים". הוא קישר לכל אחד מארבעת היסודות של כדור הארץ, אוויר, מים ואש פולידרון רגיל מסוים. הקוביה או ההקסאהדרון נועדו לכדור הארץ, האוקטאהדרון לאוויר, איקוסהדרון למים והטרהדרון לאש. השוואה כזו קל מאוד להסביר: חום האש מורגש בבירור ובחדות כמו טטרהדרונים קטנים; האוויר מורכב מאוקטאהדרונים: מרכיביו הקטנים ביותר חלקים כמו טיפות מים, אשר איקוסדרדרונים דומים להם ביותר; בניגוד למים, קוביות יציבות מהוות את כדור הארץ. לגבי האלמנט החמישי, הדודקהדרון, כתב אפלטון: "... אלוהיו הגדיר את היקום והשתמש בו כמודל."

אוקליד נתן תיאור מתמטי שלם של חמש פולידרים רגילים והוכיח כי אין פוליתרות רגילות אחרות.

רעיונותיו של אפלטון לגבי חיבור פוליאתרה רגילה עם מבנה עולמי הרמוני מצאו את המשךם בתקופתנו. בשנות ה -80. מהנדסי מוסקבה, V. Makarov ו- V. Morozov, הביעו השערה מדעית מעניינת: ליבה של כדור הארץ יש צורה ותכונות של גביש גדל, אשר משפיע באופן פעיל על התהליכים הטבעיים המתרחשים על פני כדור הארץ. שדה הכוח של קרני הקריסטל הזה מהווה את מבנה כדור הארץ האיקוסאהדרלי-דודכאהדרוני. זה בא לידי ביטוי בכך שכאמור, מופיעים תחזיות של פוליאתרה רגילה הכתובות בעולם: בקרום האדמה: איקסהדרון והדודקהדרון.

הוכח כי מרבצי מינרלים רבים נמצאים ממש לאורך רשת איקוסאהדרלה-דודקאהדרון: 62 קודקודים ונקודות אמצע של שולי הפוליהדרה הם בעלי תכונות מיוחדות המאפשרות להסביר תופעות רבות בכוכב הלכת שלנו. ישנם מרכזים של התרבויות והתרבויות העתיקות ביותר: פרו, מונגוליה הצפונית, האיטי, תרבות אוב ועוד. בנקודות אלה נצפים המקסימות והמינימום של הלחץ האטמוספרי והסערה הענקית של האוקיינוסים. בצמתים אלה נמצא אגם לוך נס, משולש ברמודה.

שימוש בטפסים ויישום פוליהדרה רגילה.

פוליאדרונים נכונים הם הצורות הרווחיות ביותר. האדם והטבע משתמשים בזה באופן נרחב. זה מאושר על ידי צורת גבישים מסוימים. לדוגמא, גבישי מלח הם בצורת קוביה. השתכנענו בכך בחינת גבישים של מלח במיקרוסקופ אלקטרונים בארון הביולוגיה(נספח 2)

ואיך   עולם הקריסטלים, שהם פוליהדרה טבעית, מגוון.אנו חיים בעולם של גבישים: אנו מסתובבים גבישים, בונים מקריסטלים, מעבדים גבישים במפעלים, מגדלים גבישים במעבדות, יוצרים מכשירים ומוצרי קריסטל, משתמשים נרחב בגבישים במדע וטכנולוגיה, אוכלים גבישים ומתייחסים לקריסטלים. במשרד הגיאוגרפיה מצאנו גבישי קריסטל סלעים וקוורץ, בעלי משטח פריזמטי משושה. למינרל זה סגולות ריפוי. בעבר, לילדים קטנים, אבן זו נתלה על החזה, וקשרה אותה על חבל כדי שהילד לא יתקרר ויסבול מקור. דאגנו גם כי גבישי מלח אשלגן הם בצורת משושה. מינרל זה משמש בייצור דשנים מינרליים.

חיידקים ווירוסים רבים ושונים הם פולידרים. אך לכולם יש צורה של איקוסאהדרלה או צורת דודקה. לדוגמה, שלד של אורגניזם חד-תאי של הפיודריום דומה לצורת איקוסדרדר.

מבין כל הפוליהדרה עם אותו מספר פרצופים, זהו האקוסדרדר בעל הנפח הגדול ביותר עם שטח הפנים הקטן ביותר. מאפיין זה מסייע לגוף הימי להתגבר על לחץ עמוד המים.

מרבית הפיאודריומים חיים בים העמוק ומשמשים טרף לדגי האלמוגים. אך בעל החיים הפשוט ביותר מגן על עצמו עם מחטים המגיחות מראש חלקי השלד. כך שהוא דומה יותר לפולידרון כוכב.

ההרמוניה והפשטות של הפולידרה הרגילה אפשרו לנו ליצור סדרת צעצועים, חידות ומעצבים. משחק צעצועים אלה, אנו מפתחים חשיבה לוגית, דמיון, משפרים מיומנויות מוטוריות עדינות   ידיים.

בשיעור המתמטיקה, לפני שצייר את הפיתוח והדבקה של הפוליהדרון מנייר, הרכבנו את הפיתוח ואת הפוליהדרון הנכון עצמו באמצעות קונסטרוקטור מגנטי.

צורות של פוליאתרה רגילה משמשות גם בחפצי בית ואריזת סחורות: שקיות תה וחלב, קופסאות ומזכרות שונות וכו '. יצאנו לטיול למוזיאון בית הספר התיכון סרסינסקי, שם ראינו מזכרות בצורת קוביה וטטרהדרון עם חופן ארץ ארץ לנינגרד הסובלת שנים. פטרסבורג - מתנה שלאחר המלחמה ממפעל הזכוכית לנינגרד שפונה לסארס בשנות מלחמת העולם השנייה.

ואיזה רעיונות יוצאי דופן ונועזים מגולמים על ידי אדריכלים, בונים ומעצבים המשתמשים בצורות פוליאתרה רגילות. באינטרנט מצאנו המון תמונות כיצד השימוש בנתונים המדהימים הללו משמשים בבניית מבנים, בעיצוב פארקים ובעיצוב פתרונות פנים ביתיים.   (נספח 3)

אמנים מתקופות שונות הראו התמדה מתמדת במחקר ובדימוי של פוליהדרה. שיא העניין הזה הוא כמובן ברנסנס. אמנים חקרו את תופעות הטבע וחיפשו למצוא שיטות לתיאור שלהם, מוצדקים מבחינת המדע. תורות על פרספקטיבה, קיארוסקורו ופרופורציות,הבנויה על מתמטיקה, אופטיקה, אנטומיה, הופכים לבסיס לאמנות חדשה. הם אפשרו לאמן ליצור מרחב תלת ממדי במטוס, להשיג תחושת נפח והקלה על עצמים. עבור חלק מהמאסטרים, פוליהדרה היו מודל נוח מאוד לכיבוש השליטה בדימוי הפרספקטיבי. היו גם כאלה שהעריצו בכנות את הסימטריה והיופי הלקוני שלהם.. הוא אהב פוליאתרה ולעתים קרובות כתב אותם על בורותיו על ידי לאונרדו דה וינצ'י המפורסם (1452-1519). הוא העשיר בתמונות של פולידרונים את ספרו של חברו הנזיר לוק פאלוצ'י (1445 - 1514) "על פרופורציה אלוהית."

סלבדור דאלי בציור "הסעודה האחרונה" הציג את ישו הנוצרי עם תלמידיו על רקע דודקאהדרון ענק ושקוף.

במאות ה- XIII-XVII. polyhedra היו הבסיס למבנים ארכיטקטוניים, הקוביות שימשו בעיקר, אך עם התפתחותם נעשה שימוש בסוגים אחרים של polyhedrons, כמו הטטרהדרון והאוקטאהדרון.

כיום, פוליהדרה הם התגלית העיקרית של האנושות. אנו מוקפים ללא הפסקה על ידי פוליאתדרונים: פריטים ביתיים רבים הם בצורת פולידרונים, כל המבנים האדריכליים בנויים בסגנון של דגמים רב גוניים.

ייצור דגמי פוליאתרה.

פגשנו והשתמשנו בשיטה זו לייצור דגמים של פוליהדרה, המכונה שיטת פיתוח.

לרוב, כאשר יוצרים דגמים של פוליהדרה ממסגרות שטוחות, משתמשים באחד מסגרות בהן הפנים צמודות זו לזו עם קצוות, והדגם נבנה על ידי קיפול המסגרות לאורך הקצוות. לדוגמה, בעת יצירת דגמים של פולידרה רגילה, נעשה שימוש לרוב בטאטות הבאות(נספח 4)

אתה יכול לחתוך כל פנים בנפרד, ואז להדביק אותם לפולידרון. שיטה זו חוסכת במוצרים מתכלים.

בנוסף לייצור פוליאתרה בעזרת סריקות, ישנן גם דרכים אחרות לבניית דמויות אלה. זה, למשל, ייצור מוצקים אפלטוניים על ידי אריגה, באמצעות אוריגמי. שיטות אלה מאפשרות לך ליצור עיצובים יפהפיים להפליא. בטיול לבית הספר התיכון סרסינסקי ראינו באמת אילו דמויות נפלאות מתבררות וקיבלנו כיתת אמן על הכנת הפוליהדרה הנכונה בטכניקת האוריגמי (נספח 5)

כך יצרנו אוסף של פולידרונים רגילים, וחלקם מצאו יישום מעשי משלהם. לדוגמה, 12 פנים של dodecahedron יכולים לשמש כלוח שולחן עבודה, וכל סידור פוליאדרון אחר יכול להיות מסודר כ צעצועים לשנה החדשה   או כאלבום תמונות עם נושאי תוכן שונים.

וכאן יש לנו את זה!

בנוסף, ארגנו תערוכה של עבודותינו בכיתה וערכנו סקר קטן בכיתות א ', ה', ח 'ו'.

האם נפגשת עם פולידרונים רגילים בעבר? אם כן, אז איפה?

האם הנתונים האלה מעוררים את העניין שלך? אם כן, אילו?

האם אתה רוצה לנסות להכין אותם בעצמך?

מה אתם חושבים: היכן ניתן למצוא את היישום של צורת הפוליהדרה הרגילה?

מבין 64 הנשאלים, כמעט כל התלמידים נפגשו בעבר עם הפוליהדרונים הנכונים: בצורה של צעצועים, מזכרות, חבילות חפצים, נברשות, עזרים חזותיים בחדר המתמטיקה.

כל משתתפי הסקר אהבו את הנתונים שהוצגו, ותלמידי כיתות א 'ותלמידי כיתה ה' חיבבו במיוחד את אלה שטרם הושלמו, מכיוון שהם רצו לפנטז ולהעלות על עצמם משהו עם הנתונים הללו. המעניינים ביותר היו הדודקהדרון (44 סטודנטים) ואיקוסדרון (52 תלמידים), מכיוון שהם יוצאי דופן ויפים והם היו רוצים ללמוד כיצד ליצור אותם. הסברנו כיצד לעשות זאת ושזה לא קשה והכי חשוב פעילות מועילה, מכיוון שמתפתחים מיומנויות מוטוריות עדינות של ידיים, דמיון ויכולות יצירה. לשאלה היכן ניתן למצוא יישום לדמויות הללו, קיבלנו מגוון רחב של תשובות: האכלת ציפורים, ארונות מזכרות, תכשיטים ואפילו רהיטים.

הסקר הראה כי הפוליהדרונים הנכונים מעניינים, רבים רוצים לעסוק ביצירתיות כזו, והכי חשוב - נתונים אלה מוצאים את יישומם בפעילויות חינוכיות ובחיי היומיום.

מסקנה

נפגשנו עם דמויות יפות, מושלמות והרמוניות - הפולידרונים הנכונים, למדנו את שמות המדענים, האמנים שהקדישו את עבודותיהם לכך. שוב השתכנענו שמקורות המתמטיקה הם בטבע, במציאות הסובבת אותנו.

למדנו כיצד לבנות מודלים של פוליאתרה רגילה, חקרנו את ההיסטוריה של התרחשותם, את תכונותיהם, מצאנו קשר בין צורות פוליאתרה רגילה וחפצים טבעיים, ומצאנו יישום בחיי היומיום. דאגנו שהנתונים הללו יעניינו אחרים.

המודלים של דמויות אלה יכולים למצוא יישום בשיעורי פיזיקה, מתמטיקה, כימיה, ביולוגיה כחומר המחשה והמחשה, כמו גם חומר ללימודים נוספים של כל המעוניינים.

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id\u003dffb40eea69a705e84bc1650202023061&n\u003d21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id\u003d9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n\u003d21

נספח 1

מאפייני פוליאתרה רגילה

שם פולידרון	נוף	מספר פרצופים	מספר הקודקודים	מספר הצלעות
טטרהדרון		4	4	6
קוביה		6	8	12
אוקטהדרון		8	6	12
איקוסדרון		20	12	30
דודקהדרון		12	20	30

נספח 2

מחקר קריסטל

נספח 3

שימוש בצורות פוליאתרה רגילות בשדות ביתיים.

PPT / 13.63 מגה בייט

פוליהדרונים נכונים מימי קדם משכו את תשומת ליבם של פילוסופים, בונים, אדריכלים, אמנים, מתמטיקאים. הם הוכו על ידי היופי, השלמות, ההרמוניה של הדמויות הללו.

פוליהדרון רגיל הוא דמות גיאומטרית קמורה תלת ממדית, שכל פניה הם אותם מצולעים רגילים וכל זוויות הפוליהדרליות בקודקודים שוות. יש רבים מצולעים רגילים, אך יש רק חמש פולידרים רגילים. שמותיהם של הפוליהדרה האלה הגיעו מיוון העתיקה, והם מציינים את המספר (טטרה - 4, הקסה - 6, אוקטה - 8, דודקה - 12, איקוסה - 20) פנים ("אדרה") .

הפולידרים הרגילים הללו נקראו מוצקים אפלטוניים בשם הפילוסוף היווני העתיק אפלטון, שהעניק להם משמעות מיסטית, אך הם היו ידועים עוד לפני אפלטון. הטטרדרון התבטא באש, מכיוון שפסגתו מופנית כלפי מעלה, כמו להבה בוערת; איקוסאהדרון - כמי שמייעל ביותר - מים; הקוביה היא היציבה ביותר מבין הדמויות - האדמה והאוקטאהדרון - אוויר. הדודקהדרון זוהה עם היקום כולו ונערץ בו כחשוב ביותר.

חיות בר רגילות נמצאות בחיות הבר. לדוגמה, השלד של אורגניזם חד-תאיים של הפיאודריה מעוצב כמו איקוסדרון. גביש הפיריט (פיריט סולפיד, FeS2) הוא בצורת דודקהדרון.

הטטרדרון הוא פירמידה משולשת רגילה, והמשושה הוא קוביה - דמויות איתן אנו נפגשים כל הזמן בחיים האמיתיים. על מנת להרגיש טוב יותר את הצורה של מוצקים אפלטוניים אחרים, עליכם ליצור אותם בעצמכם מנייר עבה או קרטון. קל לטאטא תבנית שטוחה. יצירת הפוליהדרה הנכונה מבדרת במיוחד בתהליך העיצוב של עצמה.

נעשה שימוש נרחב בצורות מוגמרות ומוזרות של פוליהדרה רגילה אמנות דקורטיבית. ניתן להפוך צורות נפחיות לאירוח יותר אם מצולעים רגילים שטוחים מיוצגים על ידי צורות אחרות שמשתלבות במצולע. לדוגמא: ניתן להחליף מחומש רגיל בכוכב. לדמות כזו נפוצה לא יהיו קצוות. אתה יכול לאסוף אותו על ידי קשירת קצות קרני הכוכבים. ו -10 כוכבים עוברים סריקה שטוחה. נתון תלת ממדי מתקבל לאחר תיקון שני הכוכבים הנותרים.

אם ילדכם אוהב לעשות מלאכת יד בידיים המיומנות שלו, הציעו לו להרכיב דמות תלת מימדית דוכדון פולידרון של כוכבי פלסטיק שטוחים.   תוצאת העבודה תשמח את ילדכם: הוא יעשה במו ידיו עיצוב דקורטיבי מקורי שיכול לקשט חדר ילדים. אבל, המדהים ביותר הוא שכדור העמודים הזוהר בחושך. כוכבי פלסטיק מיוצרים עם תוספת של חומר לא מזיק מודרני - זרחן.

פוליהדרה הם הגופים הפשוטים ביותר בחלל, ממש כמו המצולעים הם הדמויות הפשוטות ביותר במטוס. אנו רואים טפסים רב-צדדיים מדי יום: ארגזי גפרורים, ספר, חדר, בניין רב-קומות (עם גג אופקי) - מרבבים מקבילים מלבניים; מנות חלב-טטרהדרונים או מקבילי-תאים; עיפרון פנים, אגוז נותנים מושג על מנסרות (עם זאת, הקופסה היא גם פריזמה מרובעת). מבנים ארכיטקטוניים רבים או פרטיהם הם פירמידות או פירמידות קטומות - לפירמידות המצריות המפורסמות או מגדלי הקרמלין יש צורות כאלה. צורות רבות ורב-פנים, כמו "הבית" באיור. 1 וה"בית העגול "באיור. 2, אין לך שמות מיוחדים. מנקודת מבט גיאומטרית גרידא, פולידרון הוא חלק מהחלל שתוחם על ידי מצולעים שטוחים - פנים. הצדדים וקודקודי הפנים נקראים קצוות וקודקודים של הפוליהדרון עצמו. היבטים מהווים את המשטח שנקרא רב-צדדי. כדי לא לכלול שיקול דמויות רב-גוניות מהסוג המוצג באיור. 3, שאינן מכונות בדרך כלל פוליהדרה, בדרך כלל מוטלות ההגבלות הבאות על משטח פוליאדרלי:

1) כל קצה חייב להיות צד משותף   שתיים, ורק שתיים, פנים, הנקראות סמוכות;

2) ניתן לחבר כל שני פנים על ידי שרשרת של פרצופים סמוכים זה לזה;

3) עבור כל קודקוד, זוויות הפנים הצמודות לקודקוד זה חייבות להגביל איזו זווית פוליאדרלית.

פוליאדרון נקרא קמור אם הוא שוכן בצד אחד של המטוס של אחד מִפניו. תנאי זה שווה לכל אחד מהשניים האחרים: 1) הקטע עם הקצוות בשתי נקודות של הפולידרון טמון כולו בפוליהדרון, 2) ניתן לייצג את הפוליהדרון כצומת של כמה חללים.

לכל פוליאדרון קמור, הנוסחה של אוילר תקפה (ראה טופולוגיה), המייצרת קשר בין מספר הקודקודים B, הקצוות P והפנים G:

לגבי פוליהדרה לא קמורה, יחס זה, באופן כללי, אינו נכון, למשל, למשטח הפוליהדראלי המוצג באיור. 2; ,, לפיכך. המספר נקרא אוילר המאפיין את הפולידרון ויכול להיות שווה . מאפיין אוילר מראה, באופן גס, כמה "חורים" יש לפולידרון. מספר החורים (או).

הסיווג הפשוט ביותר לפי מספר הקודקודים (זוויות, צדדים) לפולידרונים אינו יעיל. הפוליהדרה הפשוטה ביותר - טטרהדרונים או טטרהדרונים - מוגבלים תמיד על ידי ארבעה פנים משולשים. אולם פנטהדרונים יכולים כבר להיות מסוגים שונים לחלוטין, למשל: פירמידה מרובעת מוגבלת על ידי ארבעה משולשים ורבע משולש (איור 4, א), והפריזמה המשולשת מוגבלת על ידי שני משולשים ושלושה ריבועים (איור 4, א). דוגמאות לחמישה פסגות הן פירמידה מרובעת וסתם משולש (איור 4, ג).

לפוליהדרה הנפוצה ביותר בעולם סביבנו, כמובן, יש שמות מיוחדים. אז לפירמידה -גונלית יש -גון בבסיס ופנים משולשות לרוחב המתכנסות בראש המשותף של המשולשים (איור 4, א, איפה); פריזמה-גונלית מוגבלת על ידי שני גשרים שווים, מקבילים ומרווחים באותה מידה - בסיסים ומקבילים - פנים צדי המחברים בין הצדדים התואמים של הבסיסים (איור 4, איפה).

מיקום הביניים בין הפירמידות והפריזמות תפוס על ידי פירמידות קטועות שהתקבלו מהפירמידות על ידי ניתוק הפירמידות הקטנות יותר עם מישורים מקבילים לבסיסים (איור 5). בין הצורות הטבעיות של גבישים ישנם דידרדרונים, או ביפירמידות, המורכבים משתי פירמידות עם בסיס משותף (איור 4, ג). ארכימדס שקל גם אנטי-פריזמות α-זוויתיות, המוגבלות על ידי שתי זוויות מקבילות אך פנו ביחס זו לזו ומחברות ביניהן, כמוצג באיור. 6, משולשים (עם אנטיפריזם גדול דומה לתוף חלוץ - איור 6).

כמו מצולעים, גם פוליהדרה מסווגת לפי מידת הסימטריה שלהם. בין הפירמידות נבדלים הקבועים: יש להם מצולע רגיל בבסיס, והגובה - הניצב הנמשך מלמעלה למישור הבסיס - נופל למרכז בסיס הפירמידה.

אנלוגי של מקבילית הוא מקביל לצפייה; ממש כמו מקבילית, למארך המקביל יש מרכז סימטריה בו כל ארבעת האלכסונים מצטלבים ומחלקים לשניים (קטעים המחברים קודקודים שאינם שייכים לאותה פנים). מנסרות נכונות לבסיסים מצולעים מצולעים קבועים, כך שהקו הישר העובר במרכזיהם ניצב למישור הבסיסים. יש לאתר גם את בסיסי האנטיפריזם הזויתי, אך יש לסובב רק בסיס אחד בזווית יחסית לשני. בכל הפוליהדרה הרגילה יש לא מעט יישור עצמי - סיבובים וסימטריות המתורגמות את הפוליהדרון לעצמו. מערך ההתיישרות העצמית, כולל הזהות, מהווה את מה שמכונה קבוצת הסימטריה של הפולידרון. על פי קבוצות הסימטריה בקריסטלוגרפיה, גבישים בודדים מסווגים, אשר ככלל, הם בעלי צורה רבת פנים.

הסימטריה, נכונותה של הפוליהדרה הנחשבת לעיל איננה שלמה לחלוטין - יתכן ויש להם פנים לא שוויוניות, זוויות פוליאדרליות שונות. היוצא מן הכלל הוא שלוש פוליאתרה: טטרהדרון רגיל - פירמידה משולשת רגילה עם קצוות שווים, המוגבלת בארבעה משולשים רגילים (איור 7, א); קוביה, או משושה סדרה רגילה, היא פריזמה מרובעת רגילה עם קצוות שווים, מוגבלת בשישה ריבועים (איור 7, ב); לבסוף, האוקטאהדרון הוא שושלת ריבועית רגילה עם קצוות שווים, המוגבלת בשמונה משולשים רגילים (איור 7, ג); ניתן להגדיר את האוקטאהדרון כאנטיפריזם משולש רגיל עם קצוות שווים. בניגוד לפירמידות רגילות שרירותיות, מנסרות, סוכריות ואנטי-פריזמות - הטטרהדרון, הקוביה, האוקטאהדרון הם כאלה שכל אחד משני פניהם (וכל שתי זוויות פוליהדרליות) יכול להיות משולב באמצעות יישור עצמי כלשהו של הפולידרון כולו. בנוסף, זוויות הפוליהדרליות שלהם קבועות, כלומר יש זוויות dihedral שטוחות ושוות.

בדומה לפוליגונים רגילים במטוס, אפשר להגדיר "פולידרה" רגילה "באופן כללי": זה פוליאתרה קמורמוגבלת על ידי מצולעים רגילים שווים ובעלי זוויות פוליאדרליות רגילות שוות. מסתבר שבנוסף לשלושת סוגי הפוליהדרה הרגילה שהוזכרו לעיל - הטטרהדרון הרגיל, הקוביה והאוקטאהדרון - ישנם רק שני סוגים נוספים של פוליהדרה רגילה: הדודקהדרון (דו-צדדי) ואיקוסדרון (דו-צדדי), בהתאמה מוגבלת על ידי 12 מחומשים רגילים ו -20 משולשים רגילים, - איור. 8, א, ב. שתי הפוליתרות הללו קשורות זו בזו כמו קוביה וטטרהדרון (ראו קוביה): מרכזי פניהם של הדודקהדרון הם קודקודי הקרקע - איור. 9, ולהיפך.

עצם קיומם של חמש פוליאתרה רגילה באמת היא מדהימה - יש אינסוף הרבה מצולעים רגילים במטוס.

כל הפוליהדרונים הנכונים היו ידועים אפילו ביוון העתיקה, וספרם האחרון, ה- XIII, של "ההתחלות" המפורסם של אוקליד הוקדש להם. פוליתרות אלה נקראות לרוב גם מוצקים אפלטוניים - בתמונת העולם האידיאליסטית שניתנה על ידי ההוגה היווני הקדום הגדול אפלטון, ארבעה מהם ייצגו את ארבעת היסודות: הטטרהדרון - אש, הקוביה - אדמה, המים האיקוסדרה - והאוקטטהדרון - אוויר; הפוליהדרון החמישי, הדודקהדרון, סימל את היקום כולו - בלטינית החלו לקרוא לו quinta essentia ("המהות החמישית"). ככל הנראה, לא היה קשה להמציא את הטטרהדרון הימני, הקוביה, האוקטאהדרון, במיוחד מכיוון שלצורות אלה יש גבישים טבעיים, למשל: קוביה היא גביש בודד של נתרן כלוריד (NaCl), אוקטהדרון הוא גביש יחיד של אלום אשלגן. . יש הנחה כי היוונים הקדמונים קיבלו את צורת הדודחדרון בשים לב לגבישים של פיריט (פיריט סולפיד FeS). לאחר הדודקהדרון, לא קשה לבנות איקסהדרון: כאמור, קודקודיו יהיו מרכזיהם של שנים עשר הפנים של הדקדחדרון - איור. 9.