Kako znati koordinatnu liniju. Idite od točke do točke: formule, primjene, rješenja

Stani između točaka na koordinatnoj crti – 6. razred.

Formula za određivanje udaljenosti između točaka na koordinatnoj liniji

Algoritam za pronalaženje koordinata točke - sredine presjeka

Svim mojim kolegama na Internetu, čiji je materijal odabran iz ove prezentacije!

Prednost:

Pogled naprijed:

Kako biste brzo vidjeli svoju prezentaciju unaprijed, izradite vlastiti Google račun i idite na: https://accounts.google.com

Naslovi prije slajdova:

Stanite između točaka na koordinatnoj liniji x 0 1 AB AB = ρ (A, B)

Određivanje udaljenosti između točaka na koordinatnoj liniji Meta lekcija: - Pronađite metodu (formulu, pravilo) za određivanje udaljenosti između točaka na koordinatnoj liniji. - Naučite kako pronaći udaljenost između točaka na koordinatnoj liniji učenjem pravila.

1. Usny rahunok 15-22+8-31+43-27-14

2. Lako je dokučiti problem iza dodatne koordinatne crte: koliko se cijelih brojeva nalazi između brojeva: a) – 8,9 i 2 b) – 10,4 i – 3,7 c) – 1,2 i 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 pozitivni brojevi -1 -5 o beznačajnim brojevima Stani ispred kabine do stadiona 6 Stani ispred kabine do škole 6 Koordinatna crta

0 1 2 7 -1 -5 Tribina od stadiona do kabine 6 Tribina od škole do kabine 6 Udaljenost između točaka na koordinatnoj liniji ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Udaljenost između točaka je značajno iteroyu ρ (ro)

0 1 2 7 -1 -5 Od stadiona do kabine 6 Od škole do kabine 6 Određivanje udaljenosti točaka na koordinatnoj liniji ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ ( a; b) =? | a-b |

Postavite između točaka a i b u odnosu na modul razlike koordinata tih točaka. ρ (a; b) = | a-b | Stanite između točaka na koordinatnoj liniji

Geometrijski pomak modula efektivnog broja a b a a = b b x x x Stani između dvije točke

0 1 2 7 -1 -5 Odredite udaljenost između točaka na koordinatnom pravcu - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Odredi udaljenost između točaka na koordinatnom pravcu - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Sažetak: značenja izraza a - b | taj | b - a | jednaka za bilo koju vrijednost a i b =

-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 ρ (-3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(-16; -2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Stanite između točaka koordinatne crte

Odredite ρ(x; y), što je: 1) x = – 14, y = – 23; ρ(x;y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 | = 9 2) x = 5,9, y = -6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12.7 | = 12,7

Nastavi tvrdnju 1. Koordinatna linija je linija s vrijednostima na njoj... 2. Stoji između dvije točke -... 3. Susjedni brojevi su brojevi, ... 4. Modul broj X naziva se... 5. - Izjednačite vrijednosti pravaca a – b V b – i steknite novu ideju... - Izjednačite vrijednosti izraza | a - b | V | b - a | c obnavljanje posla...

Gvintik i Shpuntik idu razmjenom koordinata. Vijak se nalazi u točki B (236), pero i utor su u točki W (193) Na kojoj se strani nalaze vijci i pera? ρ (B, Š) = 43

Nađi udaljenost između točaka A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B(-3) A(-10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

Pronađite udaljenost između točaka A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3)

Provjera AB = CV = AC =

Z(– 5) Z(– 3) Odredi koordinatu točke - sredine odsječka VA

Na koordinatnoj liniji vrijednosti točke A su (-3,25) i (2,65). Odredite koordinate točke O - sredine presjeka AB. Odluka: 1) ρ(A;B)= |-3,25 - 2,65 | = | -5,9 | = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) -3,25 + 2,95 = - 0,3 ili 2,65 - 2,95 = - 0,3 Vrsta: O(-0, 3)

Na koordinatnoj liniji, vrijednosti točaka C (-5,17) i D (2,33). Odredite koordinatu točke A - sredine presjeka CD-a. Rješenje: 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = | - 7,5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 ili 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 Vrsta: A ( - 1, 42)

Sažetak: Algoritam za pronalaženje koordinata točke - sredine zadanog segmenta: 1. Nađite udaljenost između točaka - krajeva ovog segmenta = 2. Rezultat-1 podijelite s 2 (polovica vrijednosti) = 3. Dodajte rezultat-2 za koordinatu a ili dobivanje rezultata-2 s koordinate a + s abo - s 4. Rezultat-3 ê koordinata točke - sredina ovog odjeljka

Rad s majstorom: §19, str.112, A. br. 573, 575 V. br. 578, 580 Poboljšanje doma: §19, str.112, A. br. 574, 576, V. br. 579, 581 pripremiti za CD “Zbrajanje i identifikacija racionalnih brojeva. Stanite između točaka na koordinatnoj liniji"

Danas sam naučio... Bilo je cool... Shvatio sam to... Sada mogu... Shvatio sam... Shvatio sam... Pokušat ću... Bio sam uzbuđen. .. Htio sam...

U ovom će članku biti prikazani načini izračuna udaljenosti od točke do točke, teoretski i praktično za specifične zadatke. Od sada ćemo uvoditi sljedeće korake.

Viznachennya 1

Stanite između točaka- Postoji jako puno rezanja koje ih povezuje, u očitim razmjerima. Potrebno je postaviti ljestvicu tako da možete vidjeti jednu po jednu jedinicu. Dakle, u osnovi, zadano mjesto udaljenosti između točaka je određeno kada su njihove koordinate različite na koordinatnoj liniji, koordinatnoj ravnini ili trivijalnom prostoru.

Izlazni podaci: koordinatni pravac O x i odgovarajuća točka A koja na njemu leži ima istu snagu aktivni broj: neka za točku A tse bude deyake broj x A, nalazi se koordinata točke A.

Općenito, možemo reći da je procjena trajanja danog segmenta jednaka segmentu uzetom kao jedno trajanje na danoj ljestvici.

Budući da točka A označava cijeli efektivni broj, uzastopnim dodavanjem od točke O do točke O A, rezovi su jedinice dužine, možemo izračunati dužinu rezine O A za broj vrećice u izvješćima pojedinačnih odjeljaka.

Na primjer, točka A označava broj 3 - da biste došli do nje iz točke Pro, morat ćete umetnuti tri pojedinačna reza. Budući da je točka A koordinata - 4 - jedan po jedan, odjeljci su postavljeni sličnim redoslijedom, ali u različitom negativnom smjeru. Na ovaj način, u prvoj epizodi, podignite O A na prva 3; drugi ima PRO = 4.

Budući da je točka A koordinata racionalnog broja, tada od klipa prema naprijed (točka O) dodamo broj pojedinačnih rezova, a zatim potrebni dio. Ale geometrijski, kako god možete stvoriti vimir. Na primjer, važno je staviti 4 111 na koordinatnu liniju.

Nemoguće je iracionalan broj staviti izravno na značajniji način. Na primjer, ako je koordinata točke A veća od 11. U ovom slučaju možete ići do apstrakcije: ako je koordinata točke A dana veća od nule, tada je O A = x A (broj se uzima kao pomak); Ako je mensch koordinata nula, onda je O A = - x A . Ova izjava vrijedi za bilo koji aktivni broj x A.

Ukratko: stanite od klipa do točke koja odgovara efektivnom broju na koordinatnoj liniji:

• 0, ako je točka blizu koordinatnog korijena;

• x A, ako je x A > 0;

• - x A kutija x A< 0 .

S obzirom na to da je očito da sama dovzhka ne može biti negativna, tada pišemo vikory znak modula od točke O do točke A s koordinatom xA: O A = x A

Držimo se afirmacije: ići od jedne točke do druge prema modulu razlike koordinata. Tobto. za točke A i B, koje leže na istoj koordinatnoj liniji, za bilo koju vrstu njihove rotacije i koordinate mogu biti konzistentne xAі x B: A B = x B - x A.

Izlazni podaci: točke A i B koje leže na ravnini pravocrtnog koordinatnog sustava O x y sa zadanim koordinatama: A (x A, y A) i B (x B, y B).

Povlačimo okomice kroz točke A i B na koordinatne osi O x i O y i uzimamo kao rezultat točaka projekcije: A x, A y, B x, B y. Dolazeći iz točaka A i B, moguće su sljedeće opcije:

Ako se točke A i B spoje, tada je pravac između njih jednak nuli;

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os O x (apscis), tada točke I konvergiraju, a | A B | = | A y B y | . Fragmenti se pojavljuju između točaka u odnosu na modul razlike njihovih koordinata, zatim A y B y = y B - y A , a zatim A B = A y B y = y B - y A .

Ako točke A i B leže na ravnoj liniji okomitoj na os O y (os ordinata) - po analogiji s prednjom točkom: A B = A x B x = x B - x A

Ako točke A i B ne leže na ravnoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osi, udaljenost između njih možemo pronaći pomoću formule za rastavljanje:

Mi bachimo, scho trikutnik ABC ê pryamokutnym za pobudova. Kada je A C = A x B x i B C = A y B y. Prema Pitagorinom teoremu, možemo riješiti jednadžbu: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , a zatim je pretvoriti: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Oblikujmo crtež na temelju dobivenog rezultata: udaljenost od točke A do točke na ravnini određena je rasporedom formule pomoću koordinata tih točaka

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula također potvrđuje prethodno formirano otvrdnjavanje za pad točaka ili situaciju, ako točke leže na ravnim, okomitim osima. Dakle, kako biste izbjegli točke A i B, ispravno poravnanje će biti: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Za situaciju u kojoj točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os apscisa:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Kako bismo osigurali da točke A i B leže na ravnoj liniji okomitoj na ordinatnu os:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Izlazni podaci: pravokutni koordinatni sustav O x y z s dodatnim točkama sa zadanim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti udaljenost između tih točaka.

Pogledajmo ledeni pad, ako točke A i B ne leže u blizini ravnine paralelne s jednom od koordinatnih ravnina. Kroz točke A i B povučemo ravnine okomite na koordinatne osi, te vidimo odgovarajuće točke projekcije: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Stanite između točaka A i B - dijagonala rezultirajućeg paralelopipeda. Potrebno je potvrditi ovaj paralelepiped dok se ne stvori: A x B x , A y B y i A z B z

Iz tečaja geometrije znamo da je kvadrat dijagonala paralelopipeda moderne svote kvadrati vašeg svijeta. Izlazeći iz ove čvrstoće, izvodi se jednakost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Vikoristovuchi otromani vysnovki, zapišimo:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Kabriolet Viraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Pidsumkova formula za određivanje udaljenosti između točaka u prostoru izgledat će ovako:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula također vrijedi za napadaje ako:

Mrlje nestaju;

Leže na jednoj koordinatnoj osi ili izravno paralelno s jednom od koordinatnih osi.

Primijenite zadatke za pronalaženje udaljenosti između točaka

stražnjica 1

Izlazni podaci: Zadana je koordinatna crta za točku koja na njoj leži sa zadanim koordinatama A (1 - 2) i B (11 + 2). Potrebno je znati udaljenost od točke O do točke A između točaka A i B.

Odluka

1. Stanite od točke klipa do točke koja odgovara modulu, koordinate ove točke su identične O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Udaljenost između točaka A i B značajna je kao modul razlike koordinata tih točaka: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Primjer: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

stražnjica 2

Izlazni podaci: zadan je pravocrtni koordinatni sustav i dvije točke na kojima leže A (1, - 1) i B (λ + 1, 3) . λ – deyake deysne broj. Potrebno je znati sve značajne brojeve za koje je vrijednost AB jednaka 5.

Odluka

Da biste pronašli udaljenost između točaka A i B, trebate upotrijebiti formulu A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti koordinata možemo ukloniti: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Također mi je jasno da je AB = 5 i onda će to biti istina:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Primjer: AB = 5, jer je λ = ± 3.

stražnjica 3

Izlazni podaci: zadan je trodimenzionalni prostor za pravocrtni koordinatni sustav O x y z i točke A (1, 2, 3) i B - 7, - 2, 4 koje leže na istom mjestu.

Odluka

Za rješavanje problema upotrijebite formulu A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti možemo poništiti: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Predmet: | A B | = 9

Ako ste u tekstu označili uslugu, pogledajte je i pritisnite Ctrl+Enter

Stanite od točke do točke- Postoji samo jedan dio koji povezuje točke u danom mjerilu. Na ovaj način, ako jezik go O svijetu ekspanzije potrebno je znati mjerilo (jedinicu veličine) u kojem će se svijet odvijati. Stoga se željena lokacija od točke do točke mora promatrati ili na koordinatnoj liniji, ili u pravokutnom kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini, ili u trodimenzionalnom prostoru. Inače, čini se da je najčešće potrebno izračunati udaljenosti između točaka s njihovim koordinatama.

U ovom članku, prije svega, jasno je kako se određuje udaljenost od točke do točke na koordinatnoj liniji. Zatim nalazimo formule za izračunavanje udaljenosti između dviju točaka ravnine i prostora izvan zadanih koordinata. Na primjer, pobliže ćemo pogledati rješenja za određene aplikacije i upute.

Navigacija na stranici.

Stanite između dvije točke na koordinatnoj liniji.

Pogledajmo sada značenja. Stanite od točke A do točke označene kao jak.

Možete zaraditi povrat tako da uspon od točke A s koordinatama do točke B s koordinatama u odnosu na modul razlike koordinata, zatim, kad god se točka na koordinatnoj liniji pomakne.

Stanite od mrlje do mrlje na ravnoj površini, formula.

Pronalazimo formulu za izračunavanje udaljenosti između točaka i zadataka u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini.

Važno je napomenuti da je točka A iu mogućim dostupnim opcijama.

Ako se točke A i B spoje, tada je pravac između njih jednak nuli.

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os apscisa, tada se točke i izbjegavaju, a stvaraju se suprotni pravci. U prvoj točki smo objasnili da je udaljenost dviju točaka na koordinatnoj liniji jednaka modulu razlike njihovih koordinata, tj. . Otje, .

Slično, ako točke A i B leže na ravnoj liniji okomitoj na os ordinata, tada stoje od točke A do točke .

U ovom slučaju, tricutnik ABC je ravno rezan iza pobudova, i, štoviše, ta . iza Pitagorin poučak Možemo zapisati ljubomoru, zvijezde.

Pogledajmo pobliže rezultate: uspon od točke do točke na ravnini koju treba pronaći kroz koordinate i točku pomoću formule .

Formula za pronalaženje udaljenosti između točaka može se ispraviti ako se točke A i B izbjegnu ili leže na ravnoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osi. Zapravo, ako to izbjegnu, onda... Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os Ox, tada je . Ako A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os Oy, tada.

Stanite između točaka prostora, formula.

Uvedimo pravocrtni koordinatni sustav Oxyz u prostoru. Uklonimo formulu za pronalaženje udaljenosti od točke do točke .

U halal konjunkturi, točke A i B ne leže u blizini ravnine paralelne s jednom od koordinatnih ravnina. Kroz točke A i B povučemo ravninu okomitu na koordinatne osi Ox, Oy i Oz. Točke prečke tih ravnina s koordinatnim osima daju nam projekcije točaka A i na tu os. Značajne projekcije .

Šukana stoji između točaka A i dijagonala je pravocrtnog paralelopipeda prikazanog na bebi. Izvan svakodnevnog života, svijet ovog paralelopipeda ta . Na kolegiju geometrije u srednjoj školi otkriveno je da je kvadrat dijagonale pravocrtnog paralelopipeda jednak zbroju kvadrata tri svijeta, tj. Oslanjajući se na podatke iz prvog dijela ovog članka, možemo evidentirati trenutno stanje, dakle,

zvjezdice se mogu ukloniti formula za određivanje udaljenosti između točaka u prostoru .

Ova formula vrijedi i za točke A i B

• pobjeći;
• leže na jednoj od koordinatnih osi ili su ravne, paralelne s jednom od koordinatnih osi;
• leže na jednoj od koordinatnih ravnina ili ravnini paralelnoj s jednom od koordinatnih ravnina.

Vrijednost će varirati od točke do točke, primijenite to rješenje.

Zatim smo izveli formule za određivanje udaljenosti između dviju točaka na koordinatnom pravcu, površine i trivijalnog prostora. Došlo je vrijeme da pogledamo rješenja za karakteristične opuške.

Broj zadataka, kada se završna faza završi, a to je pronaći udaljenost između dviju točaka izvan njihovih koordinata, uistinu je velik. Pogledaj bolje takve aplikacije nadilaze granice ovog članka. Ovdje smo okruženi kundacima, koji imaju koordinate dviju točaka i potrebno je izračunati udaljenosti između njih.

§ 1 Pravilo za određivanje udaljenosti između točaka koordinatnog pravca

U ovoj lekciji učimo pravilo za pronalaženje udaljenosti između točaka koordinatne crte, a također učimo kako pronaći zadnji rez koji slijedi ovo pravilo.

Vikonayamo Zavodannya:

Poravnajte svoje linije

1. a = 9, b = 5;

2. a = 9, b = -5;

3. a = -9, b = 5;

4. a = -9, b = -5.

Zamijenimo vrijednosti izraza i pronađimo rezultat:

Module razlike 9 i 5 su moderne prema modulu 4, modul 4 je moderne 4. Module razlike 5 i 9 su moderne prema modulu minus 4, modul -4 je moderne 4.

Razlika modula 9 -5 veća je od modula 14, modul 14 je veća od 14. Razlika modula minus 5 i 9 veća je od modula -14, modul -14=14.

Modul razlika minus 9 i 5 moderan modul minus 14, modul minus 14 moderan 14. Modul razlika 5 minus 9 moderan modul 14, modul 14 moderan 14

Razlika modula minus 9 i minus 5 moderni modul minus 4, modul -4 moderni 4. Razlika modula minus 5 i minus 9 moderni modul 4, modul 4 moderni (l-9 - (-5)l = l-4l = 4; - 5 - (-9)l = l4l = 4)

Oštećenja kože su imala iste rezultate, tako da možete nastaviti sa sljedećim:

Vrijednosti modula razlike a i b i modula razlike b i a jednake su bilo kojim vrijednostima a i b.

Još jedna stvar:

Odredite udaljenost između točaka koordinatne crte

1.A(9) i B(5)

2.A(9) i B(-5)

Na koordinatnoj liniji značajne točke su A(9) i B(5).

Postoji nekoliko pojedinačnih rezova između ovih točaka. Їh 4, što znači stajati između točaka A i B i 4. Na sličan način možemo pronaći udaljenost između dvije druge točke. Značajno na pravocrtnoj koordinatnoj točki A(9) i B(-5), značajno na pravocrtnoj koordinatnoj udaljenosti između ovih točaka, koja je poravnata s 14.

Uspoređujemo rezultate iz prethodnih zadataka.

Modul razlike 9 i 5 jednak je 4, a udaljenost između točaka s koordinatama 9 i 5 također je jednaka 4. Modul razlike 9 i minus 5 jednak je 14, a jednak je točkama između točaka s koordinatama 9 i minus 5 je jednako 14.

Postavlja se pitanje:

Stanite između točaka A(a) i B(b) koordinatnog pravca u odnosu na modul razlike koordinata tih točaka l a - b l.

Štoviše, veza se može identificirati kao modul razlike b i a, budući da se broj pojedinačnih odjeljaka ne mijenja s koje god točke da ih razmatramo.

§ 2 Pravilo za pronalaženje dvostrukog reza iza koordinata dviju točaka

Poznat nam je kraj isječka CD-a koji se nalazi na koordinatnoj liniji C(16), D(8).

Znamo da nakon završetka sječe sela dižu od kraja sječe do sljedećeg. od točke W do točke D na koordinatnoj liniji.

Najbrže pravilo:

i nalazimo modul razlike koordinata h i d

Pa, zadnja sekcija CD-a je starija od 8 godina.

Pogledajmo još jedan obrat:

Znamo dan MN reza, čije koordinate lebde oznake nestašluka M(20), N(-23).

Zamjenjive vrijednosti

Znamo da je -(-23) = +23

To znači da je modul razlike 20, a minus 23 jednak modulu zbroja 20 i 23

Znamo zbroj modula koordinata ove dionice:

Vrijednosti modula razlike u koordinatama i zbroja modula koordinata u ovom slučaju pokazale su se istima.

Možete dodati simbole:

Ako koordinate dviju točaka imaju različite predznake, tada je udaljenost između točaka jednaka zbroju koordinatnih modula.

Na satu smo upoznali pravilo određivanja udaljenosti dviju točaka na koordinatnom pravcu i naučili pronaći razliku u rezu koji slijedi to pravilo.

Popis Wikoritanske literature:

1. Matematika. 6. razred: nastavni planovi za učiteljicu II. Zubareva, A.G. Mordkovich // Autor-supervizor L.A. Topilin. - M.: Mnemozina 2009.
2. Matematika. 6. razred: zgodan alat za učenike pod rasvjetom vatre. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. 6. razred: ručni alat za učenike rasvjetnih instalacija za paljenje / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemozina, 2013.
4. Dovidnik iz matematike - http://lyudmilanik.com.ua
5. Vodič za učenike srednjih škola http://shkolo.ru