Upisani tetraedar. Koja je razlika između tetraedra i piramide

Tetraedar ili trokutasta piramida najjednostavniji je poliedar, kao što je trokut najjednostavniji mnogougao na ravnini. Riječ "tetraedar" nastala je od dvije grčke riječi: tetra - "četiri" i hedra - "baza", "lice". Tetraedar ABCD definiran je sa svoja četiri vrha - točke A, B, C, D, koje ne leže u istoj ravnini; lica tetraedra - četiri trokuta; tetraedar ima šest bridova. Za razliku od proizvoljne n-gonalne piramide (za n ≥ 4), bilo koja od njezinih aspekata može se odabrati kao baza tetraedra.

Mnoga svojstva tetraedra slična su svojstvima trokuta. Konkretno, 6 ravnina provučenih kroz središnje točke rubova tetraedra okomito na njih sijeku se u jednoj točki. U istoj točki O sijeku se i 4 ravne crte povučene kroz središta opisanog oko rubova kružnica okomitih na ravnine lica, a O je središte kruga opisanog oko tetraedra (slika 1). Slično tome, 6 simetrala poluravnina tetraedra, odnosno poluravnina koje dijele dvokutne kutove na rubovima tetraedra na pola, također se sijeku u jednoj točki - u središtu kugle upisane u tetraedar - kugle koja dodiruje sva četiri lica tetraedra. Bilo koji trokut ima, osim upisanih, još 3 bivša kruga (vidi Trokut), ali tetraedar može imati bilo koji broj - od 4 do 7 ex-sfera, tj. Sfera koje dodiruju ravnine sva četiri lica tetraedra. U krnje trokutaste kutove uvijek su upisane 4 kugle, od kojih je jedna prikazana na sl. 2, točno. U krnje dvokutne kutove na rubovima tetraedra mogu se upisati još 3 sfere (ne uvijek!) - jedna od njih prikazana je na sl. 2 su ostala.

Za tetraedar postoji još jedna mogućnost njegovog relativnog pozicioniranja s kuglom - kontakt s određenom kuglom sa svim njezinim rubovima (slika 3). Takva kugla - koja se ponekad naziva i "poluupisana" - postoji samo ako su zbrojevi duljina suprotnih bridova tetraedra jednaki: AB + CD \u003d AC + BD \u003d AD + BC (slika 3).

Za bilo koji tetraedar vrijedi analog teorema o presjeku medijana trokuta u jednoj točki. Naime, 6 ravnina provučenih kroz rubove tetraedra i središnje točke suprotnih bridova sijeku se u jednoj točki - u težištu tetraedra (slika 4). Kroz težište M prolaze i 3 "srednje crte" - segmenti koji povezuju središnje točke tri para suprotnih bridova i podijeljeni su točkom M na pola. Konačno, kroz M prolaze 4 "medijane" tetraedra - segmenti koji povezuju vrhove s težištima suprotnih stranica i podijeljeni su u točki M u omjeru 3: 1, računajući od vrhova.

Najvažnije svojstvo trokuta - jednakost ∠A + ∠B + ∠C \u003d 180 ° (ili π) - nema razuman "tetraedarski" analog: zbroj svih 6 dvostranih kutova tetraedra može imati bilo koju vrijednost između 2π i 3π. (Naravno, zbroj svih 12 ravninskih kutova tetraedra - 3 na svakom vrhu - neovisan je o tetraedru i jednak je 4π.)

Trokuti se obično klasificiraju prema stupnju njihove simetrije: pravilni ili jednakostranični trokuti imaju tri osi simetrije, jednakokraki - jednu. Klasifikacija tetraedra prema stupnju simetrije bogatija je. Najsimetričniji tetraedar je pravilan, omeđen s četiri pravilna trokuta. Ima 6 ravnina simetrije - one prolaze kroz svako rebro okomito na suprotno rebro - i 3 osi simetrije koje prolaze kroz središnje točke suprotnih rebara (slika 5). Manje su simetrične pravilne trokutaste piramide (3 ravni simetrije, slika 6) i izoedralni tetraedri (tj. Tetraedri s jednakim licima - 3 osi simetrije, slika 7).

U zaključku predstavljamo dvije formule za izračunavanje volumena tetraedra. Nisu baš slični poznatim formulama za područje trokuta, ali ipak se može pronaći neka analogija.

gdje je visina h D u ovom slučaju udaljenost od vrha D do ravnine lica ABC.

gdje je (∠AB) - dvokutni kut na rubu AB. Postoje i druge formule za izračunavanje volumena tetraedra.

Definicija Tetraedar je poliedar s četiri trokutaste stranice, na svakom od vrhova kojih se konvertiraju 3 stranice. Tetraedar ima 4 lica, 4 temena i 6 bridova. Riječ "tetraedar" nastala je od dvije grčke riječi: tetra- "četiri" i hedra- "baza", "lice".

Definicije medijana, bimedijana (srednje crte) i visine tetraedra Segment koji povezuje vrh tetraedra s točkom presijecanja medijana suprotnog lica naziva se njegova medijana, ispuštena iz ovog vrha. Segment koji povezuje središnje točke rubova križanja tetraedra naziva se njegov bimedijal koji povezuje te bridove. Segment koji povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani i okomit na to lice naziva se njegova visina, ispuštena s ovog vrha.

Vrste tetraedra Jednakostranični tetraedar je tetraedar u kojem su sva lica jednaki trokuti. Ortocentrični tetraedar je tetraedar u kojem se u jednoj točki sijeku sve visine spuštene s vrhova na suprotna lica. Pravokutni tetraedar je tetraedar u kojem su svi rubovi susjedni jednom od vrhova okomiti jedni na druge. Pravilni tetraedar je tetraedar sa svim licima jednakostraničnih trokuta. Razmjerni tetraedar jednakih visina. Incentrični tetraedar je tetraedar u kojem se segmenti koji povezuju vrhove tetraedra sa središtima kružnica upisanih na suprotnim stranama sijeku u jednoj točki.

Sva četiri lica pravilnog tetraedra pravilni su trokuti. Ako je duljina ruba pravilnog tetraedra označena sa a, tada možete izračunati: Ukupna površina Polumjer opisane kugle Volumen Kut nagiba ruba Visina Kut nagiba lica Poluprečnik upisane kugle Puni kut na vrhu Pravilan tetraedar

Svojstvo tetraedra Svaki njegov vrh je vrh tri trokuta. To znači da će zbroj ravnih kutova na svakom vrhu biti jednak 180º. U pravilni tetraedar može se upisati oktaedar. Pravilni tetraedar može biti upisan u ikosaedar, štoviše, četiri vrha tetraedra bit će poravnata s četiri vrha ikosaedra. Pravilni tetraedar može se upisati u kocku na dva načina, s tim da se četiri vrha tetraedra poravnaju s četiri vrha kocke.

Gdje se koristi tetraedar? Tetra Classic® tetraedrična kutija za skladištenje mlijeka, stvorena 1950. godine od strane Tetra Pak. Od 1959. isporučuje se i široko koristi u SSSR-u, gdje su se ti paketi obično nazivali "piramidama" ili "trokutastim vrećicama". Piramide su bile dvije glavne veličine: velike (za mlijeko i kefir) i manje (za vrhnje). Bili su ukrašeni različito, ovisno o vrsti proizvoda. Ispostavilo se da je prikladno lijepiti takve tetraedre na transporter rezanjem praznina za njih s kartonskog crijeva.

Tetraedri u divljini Neki se plodovi, s jedne strane njih četiri, nalaze na vrhovima tetraedra, koji je blizu ispravnog. Ovakav dizajn nastaje zbog činjenice da su središta četiriju identičnih kuglica koje se međusobno dodiruju na vrhovima pravilnog tetraedra. Stoga loptasti plodovi tvore sličan međusobni raspored. Na primjer, orasi se mogu postaviti na ovaj način.

Tetraedri u gradnji Tetraedar čini krutu, statički definiranu strukturu. Tetraedar izrađen od šipki često se koristi kao osnova za prostorne nosive konstrukcije raspona zgrada, podova, greda, rešetki, mostova itd. Šipke su izložene samo uzdužnim opterećenjima.

Kutni reflektor Kutni reflektor je naprava u obliku pravokutnog tetraedra s međusobno okomitim reflektirajućim ravninama. Zračenje koje ulazi u kutni reflektor odražava se u potpuno suprotnom smjeru. Koristi se: za precizno mjerenje udaljenosti (za lasersko mjerenje Mjeseca, satelita; topografija, konstrukcija); da se zračenje vrati točno natrag (reflektor, elektronički rat).

Tetraedri u mikrosvijetu Molekula metana CH 4 Molekula amonijaka NH 3 Dijamant C tetraedar s rubom jednakim 2,5220 angstrema Fluorit CaF2, tetraedar s rubom jednakim 3, 8626 angstrema Sfalerit, ZnS, tetraedar s rubom jednakim 3,823 ang angstrom - -, 2+ silikati, čija se struktura temelji na silicij-kisikovom tetraedru 4-20

Tetraedar i piramida su poliedri ili zatvorene površine sastavljene od poligona (znanstvena definicija). Postoji beskonačan broj poliedara, ali mi ćemo se usredotočiti na ovo dvoje. Koja je razlika između tetraedra i piramide i što im je zajedničko? Pogledajmo izbliza.

Piramida

Piramida u svijesti mnogih ljudi snažno je povezan s drevnim grobnicama egipatskih faraona. Doista, sve su to piramide s kvadratnom (ili blizu kvadratne) baze. Iz rečenog je jasno da postoje piramide s bazama različitog oblika. Piramida u geometriji je poliedar, čija je jedna stranica (baza) proizvoljan poligon (odnosno može imati čak i nepravilan oblik), a ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom.

Razlika između tetraedra i piramide je ta što potonjih može biti bilo koji broj vrsta. Postoje sljedeći elementi piramide koji karakteriziraju njezin oblik:

• bočna lica (trokuti koji se skupljaju na vrhu);
• baza;
• bočna rebra ( zajedničke strane susjedna lica);
• visina;
• vrh;
• apotema (ovaj element imaju samo pravilne piramide, odnosno one čija je osnova pravilni (s jednakim stranama) poligon).

Usporedba

Tetraedar je najjednostavniji politop. Ima četiri lica i šest rubova, manje je jednostavno nemoguće. Lica su trokuti. Ako su svi jednakostranični, tada se takav tetraedar naziva pravilnim. Sukladno tome, tetraedar je istodobno pravilna trokutasta piramida, čija osnova može biti bilo koje lice. Tetraedar se široko koristi u tehnologiji i raširen je u divljini: plodovi nekih biljaka sakupljaju se u četkici upravo ovog oblika.

Stanice nekih ažurnih metalnih konstrukcija također imaju oblik tetraedra - na taj način bolje drže teret. Da, i u mikrokozmosu se često nalazi taj poliedar. Na primjer, oblik tetraedra svojstven je molekuli amonijaka. U "kralju minerala", dijamantu, u kristalnoj rešetki svaki od atoma ugljika nalazi se u središtu tetraedra, a četiri najbliža atoma služe kao vrhovi. Zbog te strukture dijamant je najtvrđi mineral na Zemlji.

U SSSR-u se mlijeko prodavalo u tetraedarskim vrećama

Stol

Jasno je koja je razlika između tetraedra i piramide: tetraedar je poseban slučaj trokutaste piramide. Njegova jednostavnost postala je osnova za stvaranje vrlo krutih struktura, kako prirodnih (dijamantna kristalna rešetka), tako i umjetnih (stanice metalnih konstrukcija). Rezultat usporedbe potražite u donjoj tablici.

	Piramida	Tetraedar
Oblik	Baza - poligon slobodnog oblika, bočne stranice - trokuti sa zajedničkim vrhom	Piramida sa trokutasta baza, sve bočne stranice su podudarne s bazom (pravilni tetraedar), stoga su same baze (ako je tetraedar obrnut)
Rasprostranjenost u prirodi	Oblik četverokutne piramide svojstven je molekulama nekih spojeva	Molekula amonijaka, dijamantna kristalna rešetka i grozdovi voća nekih biljaka (na primjer orah) imaju tetraedrični oblik.
Primjena u svakodnevnom životu, tehnologiji i gradnji	Četverokutne piramide su vjerske građevine niza drevnih civilizacija (Maje, Drevni Egipat, Asteci)	Oblik pravilnog tetraedra bio je u vrećama s mlijekom u SSSR-u, stanice brojnih metalnih konstrukcija također imaju ovaj oblik