Чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника?

Багатокутник- це замкнута лінія, яка утворюється, якщо взяти будь-які точки і з'єднати їх послідовно відрізками.

Багатокутник зі сторонами називають -кутником.

Довільні багатокутники

Давай намалюємо, які бувають багатокутники.

А тепер питання: який із цих багатокутників випадає з ряду?

Подивися уважно на другий багатокутник - він по суті відрізняється від решти. Чому ж? Він не опуклий. Це, звичайно, математична назва, але з людською інтуїцією не розходиться.

Ну ось, а ми розглядатимемо лише опуклі багатокутники, тобто такі, як 1), 3), 4) і т.п.

Отже, основний факт:

Давай одразу до прикладів:

Ах так, про трикутник забули.

А тепер давай таки розберемося, звідки взялася формула. Навіщо? Розумієш, приймач, який ми зараз застосуємо, часто виявляється корисним під час вирішення різних завдань. Незважаючи на те, що теорема про суму кутів багатокутника вірна для будь-якого багатокутника, доказ красивий і простий тільки для опуклих багатокутників. Отже, давай поділимо багатокутник на трикутники.

Ось так: з однієї точки проведемо усі діагоналі, що можна. Скільки їх буде? Вважаємо:

Значить всього діагоналей. А скільки трикутників розпався наш багатокутник?

Уяви собі: на. Помалюй, порахуй - переконайся, що трикутників виявляється рівно на один більше.

Отже, у нас рівно трикутника. І сума кутів багатокутника просто дорівнює сумі кутів трикутників, куди ми розбили багатокутник. Чому дорівнює сума кутів трикутника? Пам'ятаєш? Звичайно.

Ну ось, трикутника, в кожному по, значить:

Що ж із цього може виявитися корисним? А ось що:

Поділ на трикутники.
Усвідомлення того, що якщо провести якусь діагональ, то вийде два нових багатокутники, сума кутів яких дорівнює сумі кутів великого багатокутника.

Ось дивись, був -кутник:

Вийшов п'ятикутник і семикутник. Сума кутів дорівнює, а сума кутів дорівнює. А разом: – все зійшлося! Ну і на цьому про довільні багатокутники – вистачить.

Правильні багатокутники

Так, наприклад: квадрат – правильний чотирикутник, а от прямокутник – ні, хоч і всі кути у нього рівні, і ромб – ні, хоч і всі боки рівні. Потрібно неодмінно, щоб Усекути та Усесторони були рівними.

Перше запитання:

А можна знайти величину одного (а значить і всіх) кута правильного багатокутника?

І відповідь:можна, можливо!

Давай подивимося на прикладі.

Нехай є, скажімо, правильний восьмикутник:

Значить будь-який кут, скажімо, можна знайти:

Що ми ще маємо знати?

При цьому центри цих кіл збігаються.

Дивись, як це виглядає!

Давай знову на прикладі восьмикутника. Подивись на. В ньому

Значить, і це не тільки у восьмикутнику!

Чому ж дорівнює у нашому випадку?

Рівно половині, уяви собі!

Значить. Смішно? Але ж так і є! Тому для восьмикутника.

Може виникнути ще одне питання: а чи можна порахувати кути «біля» крапки? І та сама відповідь: звичайно можна! Знову розглянемо наш восьмикутник. Ось ми хочемо знайти (тобто).

Ми знаємо, що сума кутів дорівнює. Значить:

І так можна все знаходити не тільки для восьмикутника, а й для будь-якого правильного багатокутника.

Інструкція

Спочатку за формулою S= 180⁰(n-2) розрахуйте суму внутрішніх кутів вашого багатокутника. Наприклад, якщо вам потрібно знайти кутиправильного багатокутниказ 15 сторонами, підставте n=15 рівняння. У вас вийде S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰.

Далі розділіть отриману суму внутрішніх кутів їх кількість. Наприклад, у прикладі з багатокутником кількість кутів дорівнює кількості сторін, тобто 15. Таким чином, ви отримаєте, що кут дорівнює 2340⁰/15=156⁰. Кожен внутрішній кут багатокутникадорівнює 156⁰.

Якщо вам зручніше розрахувати кути багатокутникау радіанах, дійте в такий спосіб. Відніміть із кількості сторін число 2 і помножте отриману різницю на число П (Пі). Потім розділіть добуток на кількість кутів у багатокутнику. Наприклад, якщо вам потрібно розрахувати кутиправильного 15-кутника, дійте так: П*(15-2)/15=13/15П, або 0,87П, або 2,72 (але, як правило, число П залишається у незмінному вигляді). Або просто розділіть розмір кута в градусах на 57,3 – саме стільки градусів міститься в одному радіані.

Також можете спробувати розрахувати кутиправильного багатокутникау градах. Для цього відніміть із кількості сторін число 2, розділіть отримане число на кількість сторін і помножте результат на 200. Ця одиниця виміру кутів сьогодні майже не використовується, але якщо ви вирішили порахувати кутиу градах, не забудьте, що град розбивається на метричні секунди та хвилини (по 100 секунд за хвилину).

Можливо, вам необхідно розрахувати зовнішній кут правильного багатокутника, у цьому випадку чиніть так. Відніміть із 180⁰ внутрішній кут – у результаті ви отримаєте значення суміжного, тобто зовнішнього кута. Він може набувати значення від -180⁰ до +180⁰.

Багатокутник складається з кількох відрізків, з'єднаних між собою та утворюють замкнуту лінію. Усі фігури цього класу поділяються на прості та складні. До простих відносяться трикутник і чотирикутник, а до складних – багатокутники з великою кількістю сторін, а також зірчасті багатокутники.

Інструкція

Найчастіше у завданнях зустрічається правильний трикутник зі сторіной a. Оскільки багатокутник є правильним, то всі його три сторінви рівні. Отже, знаючи медіану та висоту трикутника, можна знайти всі його сторіны. Для цього використовуйте спосіб знаходження сторінчерез синус:a=x/cosα.Так як сторіны трикутника рівні, тобто. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, де x - висота, медіана або бісектриса. Аналогічним чином знаходите всі три невідомі сторіні в рівнобедреному трикутнику, але за однієї умови - заданої висоті. Вона повинна проектуватися на основу трикутника. Знаючи висоту основи x, знайдіть сторіну рівнобедреного трикутника a:a=x/cosα. Оскільки a=b, оскільки трикутник рівнобедрений, знайдіть його сторіны наступним чином:a=b=x/cosα.Після того як ви знайшли бічні сторінти трикутника, обчисліть довжину основи трикутника, застосовуючи теорему Піфагора для знаходження половини основи:c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α =xtgα.Звідси знайдіть основу:c=2xtgα.

1) 23 – 2 = 21 (Наскільки годин довше пасажир їхав назад?)
2) 23 + 2 = 24 (Скільки годин всього пасажир витратив на дорогу?)

Завдання 4.

Яке число на 5 менше, ніж 43? 90? 99?

Рішення:

1) 38 на 5 менше ніж 43
2) 85 на 5 менше ніж 90
3) 94 на 5 менше ніж 99

Завдання 5.

Рішення:

Завдання 6.

Рішення:

Завдання 7.

Обчисли різниці та виконай перевірку.

Рішення:

Завдання 8.

Розв'яжи рівняння: х - 8 = 6, y + 9 = 17

Рішення:

х - 8 = 6	y + 9 = 17
x = 6 + 8	y = 17 - 9
x = 14	y = 8

Сторінка 9

Завдання 1.

1) Скільки кутів у кожному багатокутнику?
2) Запиши номери кутів: прямих, гострих, тупих.

Рішення:

1) У першому - 3, у другому 4, у третьому 5.
2) 1 - гострий, 2 - тупий, 3 - гострий, 4 - прямий, 5 - гострий, 6 - тупий, 7 - прямий, 8 - прямий, 9 - тупий, 10 - прямий, 11 - тупий, 12 - прямий.

Завдання 2.

Обчисли та виконай перевірку.

Рішення:

Завдання 3.

Рішення:

30 + (24 - 8) = 46	35 - 3 + 8 = 40	80 - 1 = 79
40 - (30 - 6) = 16	6 + 24 - 7 = 23	90 - 61 = 29
60 + (42 - 7) = 90	2 + 86 - 8 = 80	70 - 61 = 9

Завдання 4.

Склади задачу за виразом: (12 + 7) - 3

Рішення:

Першого дня було продано 12 кілограмів борошна, другого на 7 кг більше, а третій день на 3 кг менше ніж другого. Скільки кілограмів борошна було продано у третій день?

Завдання 5.

Діти зробили 10 ліхтариків та 6 хлопавок. Скільки всього ялинкових іграшоквони зробили?

Рішення:

10 + 6 = 16
Відповідь: 16 іграшок.

Завдання 6.

У цирковому дійстві виступали 9 собачок та 5 ведмежат. На скільки більше собачок, ніж ведмежат, виступали у цій цирковій виставі?

Рішення:

9 - 5 = 4
Відповідь: на 4.

Завдання 7.

Рішення:

Завдання 8.

Скільки гострих кутів на кресленні? Скільки прямих кутів? тупих кутів?

Рішення:

Гострі кути: 2.
Прямих кутів: 5
Тупих кутів: 1.

Сторінка 10

Завдання 1.

На полі 6 гравців команди «Місяць» і стільки ж гравців команди «Марс». Чекають на свою чергу ще 16 гравців. Скільки всього людей в обох командах?

Рішення:

1) 6 + 6 = 12
2) 12 + 16 = 28
Відповідь: 28 гравців.

Завдання 2.

У руках у гравців команди «Марс» 14 ключок, а запасних ключок на 6 менше. Скільки всього ключок у команди Марс?

Рішення:

14 - 6 = 8
14 + 8 = 22
Відповідь: 26 ключок.

Завдання 3.

Гра закінчилася з рахунком 10:12. Скільки разів шайба була у воротах? З якою різницею у рахунку закінчилася гра?

Рішення:

1) 10 + 12 = 22 (раза шайба була у воротах)
2) 12 – 10 = 2 (різниця)
Відповідь: шайба була у воротах 22 рази, різниця в рахунку 2 очки.

Завдання 4.

1) Накресли чотирикутник, у якому 2 кути прямі. Чи є в ньому тупий кут? гострий кут?
2) Накресли трикутник із прямим кутом.

Завдання 5.

Розв'яжи приклади.

Рішення:

Завдання 7.

Із 9 паличок склали таку фігуру. Переклади 2 палички так, щоб вийшло 3 трикутники.

Рішення:

Сторінка 11

Завдання 8.

Костя запитав у шістьох своїх друзів, які казки вони любили слухати в дитинстві. Отримані відповіді він записав у таблиці.