Чому дорівнює кут у шестикутнику. Правильний шестикутник: чим він цікавий та як його побудувати
Інструкція
Знаходження площі правильного шестикутника безпосередньо пов'язане з одним з його властивостей, яке свідчить, що навколо цієї фігури можна описати коло, а також вписати її всередину цього шестикутника. Якщо всередину правильного шестикутника вписали коло, то його радіус можна знайти за формулою: r = ((√3)*t)/2, де t - сторона даного шестикутника. Варто відзначити, що радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні (R = t).
Розібравшись, як знаходиться радіус вписаного/описаного кола, можна приступити до знаходження площі шуканої фігури. Для цього скористайтеся такими формулами:
S = (3 * 3 * R²) / 2;
S = 2 * 3 * r².
Щоб перебування площі цієї постаті не викликало труднощів, розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1: Даний правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 6 см, потрібно знайти його площу. Для вирішення можна скористатися кількома способами:
S = (3 * √ 3 * 6 ²) / 2 = 93.53 см ²
Другий спосіб довший. Для початку знайдіть радіус вписаного кола:
r = ((√3) * 6) / 2 = 5.19 см
Потім скористайтеся другою формулою для знаходження площі правильного шестикутника:
S = 2*√3*5.19² = 93.53 см²
Як видно, обидва вказані способи дійсні і не вимагають перевірки своїх рішень.
За визначенням із планіметрії правильним багатокутником називається опуклий багатокутник, У якого сторони рівні між собою і кути так само рівні між собою. Правильний шестикутник є правильним багатокутником з числом сторін рівним шести. Існує кілька формул для розрахунку площі правильного багатокутника.
Інструкція
Якщо відомий радіус кола описаного біля багатокутника, його площа можна обчислити за формулою:
S = (n/2) R² sin(2π/n), де n – число сторін багатокутника, R – радіус описаного кола, π = 180º.
У правильному шестикутнику всі кути дорівнюють 120°, тому формула матиме вигляд:
S = √3 * 3/2 * R²
У разі коли коло з радіусом r вписано в багатокутник, його площа обчислюється за формулою:
S = n * r² * tg(π/n), де n – число сторін багатокутника, r – радіус вписаного кола, π = 180º.
Для шестикутника ця формула набуває вигляду:
S = 2 * √3 * r²
Площу правильного багатокутника так само можна обчислити, знаючи лише довжину його сторони за такою формулою:
S = n/4 * a² * ctg(π/n), n – число сторін багатокутника, a – довжина сторони багатокутника, π = 180º.
Відповідно площа шестикутника дорівнює.
Чи є поблизу Вас олівець? Погляньте на його перетин - воно є правильним шестикутником або, як його ще називають, гексагоном. Таку форму має також переріз гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекул вуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники та інші об'єкти. Чи не здається дивним таке часте використання природою для своїх творінь конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо докладніше.
Правильний шестикутник є багатокутником з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. Зі шкільного курсу нам відомо, що він має такі властивості:
- Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
- Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
- Периметр гексагону можна знайти за формулою Р=6*R, якщо відомий радіус описаного навколо нього кола, або Р=4*√(3)*r, якщо коло вписано. R і r - радіуси описаного та вписаного кола.
- Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається так: S=(3*√(3)*R 2)/2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіусу описаного кола.
У правильного шестикутника є одна цікава особливість, Завдяки якій він отримав у природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площини без накладень та пробілів. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний гексагон, сторона якого дорівнює 1/√(3), є універсальною покришкою, тобто може покрити будь-яку множину з діаметром в одну одиницю.
Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця та лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільне коло, потім у довільному місці на цьому колі робимо крапку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на колі наступну насічку, продовжуємо так доти, доки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками, і вийде шукана фігура.
Насправді бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневій стелі гіпсокартону, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже складно. Як вчинити у цьому випадку? Як взагалі намалювати велике коло? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини та обв'язати один із її кінців навпроти олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який притиснув би до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звісно, у разі можливі незначні похибки, але навряд вони взагалі будуть помітні сторонній людині.
Відомо, що у правильному шестикутнику відстані від центру до його вершин рівні, також ця відстань дорівнює стороні шестикутника. Тобто правильний шестикутник складається з шести рівносторонніх трикутників «складених» один з одним.
ГДЗ з геометрії 9 клас Атанасян Л.С.
Завдання 1097. Знайдіть відношення площ двох правильних шестикутників – вписаного в коло та описаного біля неї.
Як правило, коли дана така умова більшість хлопців звикли будувати ескіз таким чином:
*Звичайно, можна побудувати діагоналі та висоти утворених рівносторонніх трикутників. Далі позначити сторону описаного шестикутника, наприклад, за «х» і обчислювати їх площу.
Ми зробимо так: повернемо вписаний шестикутник за годинниковою стрілкою на 30 градусів і розіб'ємо (діагоналями) на 6 рівносторонніх трикутників:
Видно, що сторона вписаного шестикутника дорівнює висоті описаного. Крім того, очевидно, що шестикутники, що розглядаються, подібні. Згадаймо властивості подібності фігур:
=> відношення сторін подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності, тобто
=> відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто
Для того, щоб обчислити відношення площ шестикутників, нам достатньо знайти відношення площ двох рівносторонніх трикутників (маленького і великого):
*Як уже сказано: сторона маленького трикутника дорівнює висоті великого.
Ми знаємо, що в рівносторонньому трикутнику зі стороною «х» його висота дорівнює
* Це нескладне обчислення, що можна використовувати теорему Піфагора.
Значить відношення сторін обумовлених трикутників дорівнюватиме:
Ми отримали коефіцієнт подібності.
Таким чином, відношення площ трикутників (малого та великого), а значить і вписаного та описаного шестикутників, буде дорівнює квадрату цього коефіцієнта:
Підсумок: ми збудували ескіз, обчислили відношення сторін шестикутників (ставлення сторін рівносторонніх трикутників), далі використовували властивість подібності.
*Коментар: незважаючи на те, що пояснення рішення викладено дещо ємно, насправді сам процес обчислення дуже простий і при розумінні здійснюється протягом хвилини. Тут важлива сама ідея рішення, саме: використання властивості подоби фігур. І, безумовно, час витрачений на пошук результату буде значно меншим, ніж якби ми обчислювали відношення площ іншим способом.
Доповнення! Важливим є один момент: необхідно уважно прочитати умову. Тут сказано, що необхідно знайти відношення площ вписаного та описаного шестикутника. Якщо ж стоятиме питання про знаходження відношення площі описаного та вписаного шестикутника, то результат буде іншим. Детальніше:
Відношення сторін великого і малого трикутників дорівнюватиме:
Це коефіцієнт подоби. Значить його квадрат дорівнюватиме:
Тобто відношення площ у цьому випадку дорівнюватиме 4/3.
Матеріал надав репетитор з математики, провідний курсів ЄДІ з математики та інформатики у місті Челябінськ.
З повагою, Олександр Крутицьких.
