Площа трикутника через середню лінію формули. Як знайти площу трикутника

Шкільна програмапередбачає навчання дітей геометрії із раннього віку. Одне з самих базових знань цієї галузі – це знаходження площі різних фігур. У цій статті ми намагатимемося навести всі можливі способи отримання цієї величини, від найпростіших до найскладніших.

Основа

Перша формула, яку вивчають діти у школі, передбачає знаходження площі трикутника через довжину його висоти та основи. Висота - це відрізок, проведений з вершини трикутника під прямим кутом до протилежної сторони, яка буде основою. Як знайти площу трикутника за цими величинами?

Якщо V – висота, а O – основа, тоді площа S=V*O:2.

Інший варіант отримання необхідної величини вимагає від нас знання довжин двох сторін, а також величини кута між ними. Якщо ми L і M - довжини сторін, а Q - кут з-поміж них, тоді ви можете отримати площу за формулою S=(L*M*sin(Q))/2.

Формула Герону

Крім всіх інших відповідей на питання про те, як обчислити площу трикутника, є формула, що дозволяє отримати необхідне значення, знаючи виключно довжини сторін. Тобто, якщо нам відомі довжини всіх сторін, то немає необхідності проводити висоту і обчислювати її довжину. Ми можемо скористатися так званою формулою Герона.

Якщо M, N, L - це довжина сторін, тоді ми можемо знайти площу трикутника, так. P=(M+N+L)/2, тоді необхідна нам величина S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). У результаті нам залишиться лише вирахувати корінь.

Для прямокутного трикутника формула Герона трохи спрощується. Якщо M, L це катети, тоді S = (P-M) * (P-L).

Кола

Інший спосіб, за допомогою якого можна знайти площу трикутника, передбачає використання вписаних та описаних кіл. Щоб отримати необхідну нам величину за допомогою вписаного кола, нам знадобиться її радіус. Позначимо його "r". Тоді формула, за якою ми проводитимемо обчислення, набуде наступного вигляду: S=r*P, де P - це половина від суми довжин усіх сторін.

У прямокутному трикутнику ця формула дещо перетворюється. Звичайно, ви можете використовувати і вказану вище, проте краще взяти для обчислень інший вираз. S=E*W, де E і W - це довжини відрізків, куди ділиться гіпотенуза, точкою дотику кола.

Говорячи про описане коло, знайти площу трикутника, також не складе труднощів. Ввівши позначення R як радіус описаного кола можна отримати наступну формулу, необхідну для обчислення шуканої величини: S= (M*N*L):(4*R). Де три перші величини – це сторони трикутника.

Говорячи про рівносторонній трикутник, за рахунок низки найпростіших математичних перетворень можна отримати німого змінені формули:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S = 3 * 3 1/2 * r 2 .

У будь-якому випадку, будь-яка формула, що дозволяє знайти площу трикутника, може бути змінена відповідно до даних поставленої задачі. Тож усі написані висловлювання є абсолютами. Під час вирішення завдань поміркуйте, щоб знайти найбільш підходящий спосіб вирішення.

Координати

При вивченні координатних осей завдання, що стоять перед учнями, ускладнюються. Однак не настільки, щоб впадати у паніку. Для того щоб знайти площу трикутника за координатами вершин, ви можете скористатися все тією самою, але трохи зміненою формулою Герона. Для координат вона набуває наступного вигляду:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Втім, ніхто не забороняє, використовуючи координати, обчислити довжини сторін трикутника і потім за формулами, які були написані вище, порахувати площу. Для перетворення координат у довжину користуйтеся наступною формулою:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Примітки

У статті використовувалися стандартні позначення величин, що застосовуються за умов більшості завдань. При цьому ступінь "1/2" означає, що вам необхідно витягти корінь із усього виразу під дужками.

При виборі формули будьте уважнішими. Деякі їх втрачають свою актуальність залежно від початкових умов. Наприклад, формула описаного кола. Вона здатна вирахувати вам результат у будь-якому випадку, проте може бути така ситуація, коли трикутника із заданими параметрами може взагалі не існувати.

Якщо ви сидите вдома та робите домашнє завданняТоді можете скористатися онлайн-калькулятором. Багато сайтів надають можливість обчислення різних величин за заданими параметрами, причому не має значення, яким саме. Ви можете вписати початкові дані в поля, і комп'ютер (сайт) вважатиме за вас результат. Таким чином, ви зможете уникнути помилок, допущених через неуважність.

Сподіваємося наша стаття відповіла всі ваші питання щодо обчислення площі різних трикутників, і вам не доведеться шукати додаткову інформацію в іншому місці. Удачі з навчанням!

Трикутником називається фігура на площині, що складається з трьох сторін і трьох вершин і обмежується відрізками трьох прямих, які попарно перетинаються. Кожна вершина зазвичай позначається латинськими великими літерами (нехай, наприклад, А, В і С). Кожна сторона - парою літер, що відповідають кутам, між якими ця сторона розташована (у прикладі - АВ, BC та АС).

Перед тим як знайти площу трикутника може знадобитися визначити деякі його характеристики: величини сторін, які позначаються маленькими латинськими малими літерами (у прикладі - a, b і c), та величини внутрішніх кутів, які позначаються малими грецькими літерами (у прикладі - α, β та γ).

Далеко не завжди як початкові дані дається достатньо параметрів, щоб визначити площу фігури. Вирішити трикутник (обчислити його розміри та площу) можна лише у трьох випадках:
- коли задані дві сторони і значення кута, що лежить між ними. Цих вихідних даних цілком достатньо, щоб безпосередньо скористатися однією з формул визначення площі без додаткових обчислень.
- коли відома одна сторона та величини двох прилеглих до неї кутів. Третій кут визначається у такій ситуації однозначно. А невідомі сторони можуть бути обчислені за теоремою синусів. Після уточнення значення хоча б однієї додаткової сторони даних розрахунку площі трикутника цілком достатньо.
- коли трикутника задані величини всіх трьох сторін. У цьому випадку для визначення площі можна застосувати формулу Герона, і тоді в обчисленні величин кутів (за теоремою косінусів) не буде потреби.

Існує багато формул, які дозволяють визначити площу будь-якого трикутника. Вибір відповідної залежить тільки від того, які величини у трикутника або вже відомі, або легко і швидко можуть бути знайдені.

Найбільш широко відома така формула: площа трикутника дорівнює добутку сторони на половину висоти, проведену до цієї сторони. Наприклад, для боку ВС протилежної є вершина А. З цієї вершини опускаємо перпендикуляр на бік ВС (або її продовження). Така висота зазвичай позначається ha. І тоді площа визначається виразом: S = a * ha / 2.

Ще одна поширена формула: площа трикутника дорівнює добутку двох сторін на половину синуса кута, розташованого між ними. Вона безпосередньо пов'язана з попереднім виразом для визначення площі, оскільки висота якраз і обчислюється через одну зі сторін і кут, що прилягає до неї. Наприклад, між сторонами АС (довжиною b) і ПС (довжиною a) лежить кут С (величиною γ). Отже, S = b * а * sin(γ) / 2.

Формула Герона (як і перша формула) для застосування також потребує попереднього визначення додаткового параметра. Він називається напівпериметром (р) і обчислюється як напівсума довжин усіх сторін трикутника: p = (с + b + а) / 2. Остаточно формула Герона має такий вигляд: S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^ ½, де ^ означає функцію зведення в ступінь. Варто відзначити, що зведення в ступінь ? рівносильно витягу кореня з значення, що вийшло.

Окрема увага завжди приділяється особливим типам трикутників. Вони класифікуються або з кутів, або з боків. Залежно від величин кутів трикутники поділяються на гострокутні, тупокутні та прямокутні. Останні характеризуються обов'язковою наявністю у трикутника кута завбільшки 90º. Сторони, які утворюють цей прямий кут, називають катетами (а і b), а протилежну сторону називають гіпотенузою (c). Наявність однозначно відомого кута впливає на те, як знайти площу прямокутного трикутника. Широко поширена така формула: площа трикутника з прямим кутом дорівнює добутку катетів, поділеному навпіл. А точніше: S=a*b/2.

Залежно від величин сторін виділяють такі типи трикутників: рівностегнові та рівносторонні. Останні характеризуються рівністю всіх трьох сторін (с = b = а), а також рівністю всіх трьох кутів (α = β = γ = 60 º). Для трикутників особливого виду, безумовно, можна використовувати стандартні формули, і вони дадуть правильний результат. Але в деяких випадках є сенс застосовувати давно відомі вирази, які суттєво прискорюють процес обчислень. Так як знайти площу рівностороннього трикутника, наприклад, можна спираючись лише на значення величини сторони. Вона пропорційна квадрату боку із коефіцієнтом (3/16)^ ½. Тобто S= (3/16)^ ½ * a^2.

Під час навчання, у виробництві та побуті доводиться стикатися з таким завданням як розрахунок площі трикутника. Для того, щоб порахувати її правильно, треба знати формулу, за якою робиться розрахунок.

Насамперед питання, як визначити площу трикутника, будь-якого, прямокутного, рівнобедреного, рівностороннього хвилює, звичайно ж, школярів та студентів. Їм на геометрії, математиці та фізиці такими розрахунками доводиться займатися із завидною регулярністю. Тому формула, за якою вважається площа трикутника, повинна, як то кажуть, «відскакувати від зубів».

Потім вона забувається, але геометрію нам викладають недарма. Часом виникають побутові завдання, коли забуті шкільні знання дуже навіть потрібні. Наприклад, вам ніколи не доводилося розраховувати кількість необхідного оздоблювального матеріалу для якоїсь трикутної поверхні.

Не варто переживати через те, що формула площі прямокутного трикутника благополучно вилетіла у вас із голови одразу після отримання диплома. Це нормальна властивість людського мозку, забувати все, що не дуже потрібне, а точніше відкладати інформацію у віддалені куточки і там її складувати.

Зараз ми з вами розберемося з усіма формулами і нагадаємо, як порахувати цю невловиму площу.

Для початку пригадаємо, що трикутник – плоска фігура, що утворює перетином трьох прямих ліній, що перетинаються. Крапки, де прямі перетинаються – вершини, а протилежні вершині відрізки прямих – ребра. Розрізняються приватні види трикутників: рівнобедрений, рівносторонній та прямокутний.

Спочатку розберемо загальний випадок. Найпростіша формула: площа будь-якого трикутника в загальному випадку дорівнює половині твору основи на висоту, опущену на обрану основу з вершини, що протилежно лежить.
Записується формула так:
S = 1/2 ∙ b ∙ h
де S-площа, b-довжина основи, h-висота, опущена на основу

Використовуємо формулу Герона – знаходимо площу по трьох сторонах

Трапляються такі випадки, коли відома довжина кожної сторони трикутника. У цьому випадку розраховується значення напівпериметра (Р) , що дорівнює половині сум сторін, а потім обчислюється площа:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

У формулі використані такі позначення: S - площа, p-напівпериметр, a, b, c-сторони трикутника.

Ще один варіант обчислення площі стане в нагоді в тому випадку, якщо виміряні значення двох сторін і відома величина кута між цими сторонами. Тоді можна використовувати формулу із синусом, по суті, що є модифікацією базової формули
S = a*h/2 = a*b*sinα/2
У цій формулі - кут між двома сторонами.
Точно також і всі інші формули - лише модифікації базової. Так прямокутних трикутників площа виявляється дорівнює половині добутку довжин катетів, проте тому, що катет є висотою іншого.
S = a*b/2
Нескладно знайти і площу рівнобедреного і правильного трикутника (тим більше, що останній лише модифікація рівнобедреного).
І насамкінець розповімо, як можна знайти потрібну величину в тому випадку, коли відома довжина однієї сторони та величини трьох кутів. Тоді площа знаходиться за формулою:
S = a²sinα sinγ / (2sinβ)
тут β - кут, протилежний стороніз відомою довжиною, а α та γ – прилеглі кути.

Деякі із завдань з геометрії, а якщо точніше, то за планіметрією, вимагають знаходження площі якоїсь заданої фігури. Площа будь-якої фігури може бути як кінцевою метою завдання, так і проміжним обчисленням, необхідним для підстановки складнішу формулу. Часто у таких завданнях просять знайти площу трикутника. Початкові дані можуть бути різними. В одних випадках відома якась сторона трикутника та значення висоти, проведеної до неї, в інших – периметр трикутника тощо.

Припустимо, задано знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони. Для знаходження площі такого трикутника використовується формула Герона. Щоб визначити площу за цією формулою, потрібно спочатку обчислити напівпериметр трикутника (п) . Знаючи значення всіх трьох сторін, це зробити елементарно. Потрібно підсумовувати усі сторони трикутника – це буде його периметр, а потім розділити отримане значення на два. Після цього треба від значення напівпериметра відняти по черзі значення довжини кожної з трьох заданих сторін трикутника, тобто з відняти а, потім з відняти b і, нарешті, відняти від.

Отримані три різниці слід перемножити між собою і цей твір знову помножити значення напівпериметра. Провівши всі перелічені дії та отримавши результат множення, треба з цього результату витягти квадратний корінь. Те число, яке вийде після отримання квадратного кореняі буде площею заданого трикутника. Якщо записати коротко, то формула площі трикутника буде така: площа (S) = корінь кв-ний (п * (п-а) * (п-b) * (п-с)). Як можна зрозуміти з формули, вирішується питання знаходження трикутника з відомими значеннями сторін дуже легко.

Наприклад, як знайти площу трикутника, якщо відомі 3 сторони: сторона а дорівнює 3 сантиметри, сторона b дорівнює 4 сантиметри і сторона з дорівнює 2 сантиметри. Периметр цього трикутника дорівнюватиме а + b + с = 3 сантиметри + 4 сантиметри + 2 сантиметри = 9 см. Значить напівпериметр дорівнює 9: 2 = 4,5 сантиметри. ,5 сантиметри - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметри - 4 сантиметри) * (4,5 сантиметри - 2 сантиметри)) = 2,9 квадратних сантиметрів

А що, якщо значення сторін не тільки відомі, а й зазначено, що вони рівні за умовою завдання? У такому разі, як знайти площу трикутника, якщо відомі всі сторони, а також вони рівні? Можна, звичайно, теж обчислити її за розглянутою вище формулою Герона, але навіщо зайві розрахунки, якщо для такого трикутника виведено іншу формулу, яка набагато простіша за формулу Герона. За цією формулою потрібно спочатку вирахувати кв-ний корінь з числа 3, потім звести в другий ступінь значення довжини сторони трикутника, перемножити це значення в другому ступені з коренем з числа 3 і отриманий в результаті множення добуток розділити на число 4. Вийде площа заданого трикутника . При записі ця формула має такий вигляд: S=(a^2*корінь(3)) /4

Нехай є трикутник з однаковою довжиною сторін, яка дорівнює 3 сантиметрам. За цією формулою можна отримати площу такого трикутника: S=(3^2*корінь(3)) /4=3,9 квадратних сантиметрів. Щоб перевірити, чи правильно обчислено значення площі конкретного трикутника, можна провести додаткові розрахунки по ф-ле Герона і звірити отримані результати.

Напівпериметр (п) = (3 +3 +3) / 2 = 4,5 сантиметра. За формулою Герона знаходиться: S = корінь кв-ний з (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметри - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметри - 3 сантиметри)) = 3 9 квадратних сантиметрів. Обидва значення площі, знайдені за різним формулам, збігаються. Значить площу трикутника визначено правильно. Вирішуючи якісь інші завдання, слід враховувати дані в умові та використовувати відповідну цим даним формулу.