Правильні багатокутники та коло. Правильні багатокутники: радіус вписаного та описаного кола. Завдання В6
Математичні властивості
Особливість правильного шестикутника - рівність його сторони та радіуса описаного кола, оскільки.
Усі кути дорівнюють 120°.
Радіус вписаного кола дорівнює:
Периметр правильного шестикутника дорівнює:
Площа правильного шестикутника розраховується за формулами:
Шестикутники замощують площину, тобто можуть заповнювати площину без пробілів та накладень, утворюючи так званий паркет.
Шестикутний паркет.- Замощення площини рівними правильними шестикутниками, розташованими сторона до сторони.
Шестикутний паркет є двояким трикутним паркетом: якщо з'єднати центри суміжних шестикутників, то проведені відрізки дадуть трикутний паркетаж. Символ Шлефлі шестикутного паркету - (6,3), що означає, що в кожній вершині паркету сходяться три шестикутники.
Шестикутний паркет є найбільш щільною упаковкою кіл на площині. У двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл у вершинах паркету, утвореного правильними шестикутниками, у якому кожне коло оточене шістьма іншими. Щільність цієї упаковки дорівнює. У 1940 році було доведено, що ця упаковка є найбільш щільною.
Правильний шестикутник зі стороною є універсальною покришкою, тобто всяка множина діаметра можна покрити правильним шестикутником зі стороною (лема Пала).
Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Нижче наведено метод побудови, запропонований Евклідом у «Початках», книга IV, теорема 15.
Правильний шестикутник у природі, техніці та культурі
показують розбиття площини на правильні шестикутники. Шестикутна форма більше за інших дозволяє заощадити на стінках, тобто на стільники з такими осередками піде менше воску.
Деякі складні кристали та молекулинаприклад, графіт, мають гексагональну кристалічну решітку.
Утворюється, коли мікроскопічні краплі води у хмарах притягуються до пилових частинок і замерзають. Кристали льоду, що з'являються при цьому, не перевищують спочатку 0,1 мм в діаметрі, падають вниз і ростуть в результаті конденсації на них вологи з повітря. При цьому утворюються шестикінцеві кристалічні форми. Через структуру молекул води між променями кристала можливі кути лише 60° і 120°. Основний кристал води має форму правильного шестикутника. На вершинах такого шестикутника потім осідають нові кристали, на них - нові, і так виходять різноманітні форми зірочок-сніжинок.
Вчені з Оксфордського університету змогли в лабораторних умовах змоделювати подібний гексагон. Щоб з'ясувати, як виникає така освіта, дослідники поставили на стіл, що обертається, 30-літровий балон з водою. Вона моделювала атмосферу Сатурна та її звичайне обертання. Усередині вчені помістили маленькі кільця, що обертаються швидше за ємність. Це генерувало мініатюрні вихори та струмені, які експериментатори візуалізували за допомогою зеленої фарби. Чим швидше оберталося кільце, тим більше вихори ставали, змушуючи прилеглий потік відхилятися від кругової форми. Таким чином, авторам досвіду вдалося отримати різні фігури - овали, трикутники, квадрати і, звичайно, шуканий шестикутник.
Пам'ятник природи приблизно з 40 000 з'єднаних між собою базальтових (рідше андезитових) колон, що утворилися в результаті древнього виверження вулкана. Розташований на північному сході Північної Ірландії за 3 км на північ від міста Бушмілса.
Верхівки колон утворюють подобу трампліну, який починається біля підніжжя скелі та зникає під поверхнею моря. Більшість колон шестикутні, хоча в деяких чотири, п'ять, сім та вісім кутів. Найвища колона заввишки близько 12 м-коду.
Близько 50-60 мільйонів років тому, під час палеогенового періоду, місце розташування Антрім зазнавало інтенсивної вулканічної активності, коли розплавлений базальт проникав через відкладення, формуючи великі лавові плато. У міру швидкого охолодження відбувалося скорочення обсягу речовини (подібне спостерігається при висиханні бруду). Горизонтальне стиск приводило до характерної структури шестигранних стовпів.
Перетин гайки має вигляд правильного шестикутника.
Правильні багатокутникита коло. Вітаю, дорогі друзі! У багатьох завданнях в курсі геометрії, у тому числі і в складі ЄДІ є багато завдань, пов'язаних з поняттям кола, вписаного в правильний багатокутник і описаного біля нього. Якщо конкретніше, то в даному випадку ми розглянемо правильний трикутник, а також квадрат і правильний шестикутник. Саме з цими правильними багатокутниками пов'язані умови завдань на іспиті. Зазвичай у ході вирішення таких завдань виникає потреба висловити:
1. Сторону правильного трикутника через радіус вписаного або описаного кола.
2. Сторону квадрата через радіус вписаного кола або описаного кола.
3. Сторону правильного шестикутника через радіус вписаного або описаного кола.
4. Радіус вписаного в правильний багатокутник кола через радіус описаного біля нього кола і навпаки.
На сайті розглянуті (і в майбутньому розглядатимуться) завдання, де ці формули використовуються. При вирішенні докладно не описано, як вони виводяться. Просто говориться, наприклад, що сторона правильного трикутника співвідноситься з радіусом вписаного в нього кола як:
У багатьох виникають питання щодо цього: Як? Чому? Від куди це взялося? У цій статті ми виведемо всі зазначені співвідношення і в майбутньому при вирішенні завдань, якщо потрібно буде, просто даватиму посилання на цю статтю.
Що потрібно завжди пам'ятати та розуміти?
Центр правильного багатокутника збігається з центром, вписаним про описане навколо нього коло.Отже, почнемо!
Правильний трикутник, вписане та описане коло.
Нехай а – це його сторона, радіус описаного кола дорівнює R, а радіус вписаного кола дорівнює r. 
Сторони правильного трикутника та вписане в нього коло мають спільні точки (точки торкання), ці точки ділять сторони трикутника навпіл. Радіус описаного кола, проведений до вершини трикутника є бісектрисою, тобто ділить кут при цій вершині, що дорівнює 60 градусів, навпіл. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений жовтим). За визначенням тангенсу:Отримуємо, що: 
За визначенням косинуса:Отримуємо, що: 
Можемо записати співвідношення радіусів:
Квадрат, вписана та описана біля нього коло.
Нехай а – це сторона квадрата, радіус описаного кола дорівнює R, а радіус вписаного кола дорівнює r.
Сторони квадрата та вписане в нього коло мають спільні точки (точки торкання), ці точки ділять сторони квадрата навпіл.
Радіус описаного кола, проведений до вершини квадрата є бісектрисою, тобто ділить кут квадрата навпіл.
Розглянемо прямокутний трикутник (виділений жовтим). З вищевикладеного можна дійти невтішного висновку у тому, что:
За визначенням косинуса: Отримуємо, що: 
*Можна було скористатися також теоремою Піфагора. Запишемо співвідношення радіусів:
Правильний шестикутник. Вписане та описане коло. От і все.
Звичайно ж, вчити та запам'ятовувати дані формули не потрібно. У ході рішення ви завжди зможете їх також вивести, використовуючи властивості правильних багатокутників, визначення теорему Піфагора.
Я вирішив викласти це в окремій статті тільки для того, щоб у вас не виникали питання при вирішенні та вивченні відповідних завдань на блозі, і ви завжди могли б подивитися, звідки взялася формула. Скрізь, де буде потрібна дана інформація, я розміщуватиму посилання на цю статтю.
Отримати матеріал статті у форматі PDF
Успіху Вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Інструкція
Якщо в умовах завдання дано радіус (R), описаної біля правильного шестикутникакола, обчислювати нічого не доведеться - ця величина тотожна довжині сторони (t) гексагону: t = R. При відомому диметрі (D) просто поділіть його навпіл: t = D/2.
Периметр (Р) правильного шестикутникадозволяє обчислити довжину сторони (t) простою операцією поділу. Як дільник використовуйте число сторін, тобто. шістку: t = Р/6.
Радіус (r) вписаного в такий багатокутник кола пов'язаний з довжиною його боку (t) трохи складнішим коефіцієнтом - подвайте радіус, а отриманий результат розділіть на квадратний корінь із трійки: t = 2*r/√3. Ця сама формула з використанням діаметра (d) вписаного кола стане на одну математичну дію коротшою: t = d/√3. Наприклад, при радіусі 50 см довжина сторони шестикутникаповинна дорівнювати приблизно 2*50/√3 ≈ 57,735 см.
Відома площа (S) багатокутника з шістьма вершинами теж дозволяє обчислити довжину його сторони (t), але чисельний коефіцієнт, що зв'язує їх, точно виражається через дріб із трьох натуральних чисел. Дві третини площі діліть на квадратний корінь із трійки, а з отриманого значення витягайте квадратний корінь: t = √(2*S/(3*√3)). Наприклад, якщо площа фігури становить 400 см², довжина її сторони повинна становити приблизно √(2*400/(3*√3)) ≈ √(800/5,196) ≈ √153,965 ≈ 12,408 см.
Довжина кола (L), описаного біля правильного шестикутника, Пов'язана з радіусом, а значить і з довжиною сторони (t) через число Пі. Якщо вона дана в умовах задачі, поділіть її величину на два числа Пі: t = L/(2*π). Скажімо, якщо ця величина дорівнює 400 см, довжина сторони повинна становити приблизно 400/(2*3,142) = 400/6,284 ≈ 63,654 см.
Цей же параметр (l) для вписаного кола дозволяє розрахувати довжину сторони шестикутника(t) обчисленням співвідношення між нею та добутком числа Пі на квадратний корінь із трійки: t = l/(π*√3). Наприклад, якщо довжина вписаного кола становить 300 см, сторона шестикутникаповинна мати величину, приблизно рівну 300/(3,142*√3) ≈ 300/(3,142*1,732) ≈ 300/5,442 ≈ 55,127 см.
За визначенням із планіметрії правильним багатокутником називається опуклий багатокутник, У якого сторони рівні між собою і кути так само рівні між собою. Правильний шестикутник є правильним багатокутником з числом сторін рівним шести. Існує кілька формул до розрахунку площі правильного багатокутника.
Інструкція
Якщо відомий радіус кола описаного біля багатокутника, його площа можна обчислити за формулою:
S = (n/2) R² sin(2π/n), де n – число сторін багатокутника, R – радіус описаного кола, π = 180º.
У правильному шестикутнику всі кути дорівнюють 120°, тому формула матиме вигляд:
S = √3 * 3/2 * R²
У разі коли коло з радіусом r вписано в багатокутник, його площа обчислюється за формулою:
S = n * r² * tg(π/n), де n – число сторін багатокутника, r – радіус вписаного кола, π = 180º.
Для шестикутника ця формула набуває вигляду.
Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів – це правильний шестикутник. У геометрії він часто використовується у завданнях. А в житті саме такий вид мають стільники на зрізі.
Чим він відрізняється від неправильного?
По-перше, шестикутником є фігура із 6 вершинами. По-друге, він може бути опуклим або увігнутим. Перший відрізняється тим, що чотири вершини лежать по одну сторону від прямої, проведеної через дві інші.
По-третє, правильний шестикутник характеризується тим, що його сторони рівні. Причому кожен кут фігури також має однакове значення. Щоб визначити суму всіх його кутів, потрібно скористатися формулою: 180º * (n - 2). Тут n - число вершин фігури, тобто 6. Простий розрахунок дає значення 720º. Тобто кожен кут дорівнює 120 градусів.
У повсякденній діяльності правильний шестикутник зустрічається у сніжинці та гайці. Хіміки бачать її навіть у молекулі бензолу.
Які властивості потрібно знати під час вирішення завдань?
До того, що зазначено вище, слід додати:
- діагоналі фігури, проведені через центр, поділяють на шість трикутників, які є рівносторонніми;
- сторона правильного шестикутника має значення, яке збігається з радіусом описаного біля нього кола;
- використовуючи таку фігуру, є можливість заповнити площину, причому між ними не вийде перепусток і не буде накладень.
Введені позначення
Зазвичай сторона правильної геометричної постаті позначається латинської літерою «а». Для вирішення завдань потрібні ще площа та периметр, це S та P відповідно. У правильний шестикутник буває вписане коло або описане біля нього. Тоді вводяться значення їх радіусів. Позначаються вони відповідно літерами r та R.
У деяких формулах фігурують внутрішній кут, напівпериметр і апофема (перпендикуляр, що є до середини будь-якої сторони з центру багатокутника). Їх використовуються букви: α, р, m.
Формули, що описують фігуру
Для розрахунку радіуса вписаного кола потрібно така: r = (a * √3) / 2, причому r = m. Тобто така сама формула буде і для апофеми.
Оскільки периметр шестикутника — це сума всіх сторін, він визначиться так: P = 6 * a. З урахуванням того, що сторона дорівнює радіусу описаного кола, для периметра існує така формула правильного шестикутника: P = 6 * R. З тієї, що наведена для радіусу вписаного кола, виводиться залежність між а і r. Тоді формула набуває такого вигляду: Р = 4 r * √3.
Для площі правильного шестикутника може стати в нагоді така: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Завдання
№1. Умова.Є правильна шестикутна призма, кожне ребро якої дорівнює 4 см. У неї вписаний циліндр, об'єм якого необхідно впізнати.
Рішення.Об'єм циліндра визначається як добуток площі основи на висоту. Остання збігається з ребром призми. А вона дорівнює стороні правильного шестикутника. Тобто висота циліндра – теж 4 см.
Щоб дізнатися площу його основи, потрібно обчислити радіус вписаного в шестикутник кола. Формула при цьому вказана вище. Значить, r = 2?3 (см). Тоді площа кола: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).
Відповідь. V = 150,72 см 3 .
№2. Умова.Обчислити радіус кола, яке вписано у правильний шестикутник. Відомо, що його сторона дорівнює √3 см. Чому дорівнюватиме його периметр?
Рішення.Це завдання вимагає використання двох із зазначених формул. Причому їх необхідно застосовувати, навіть не видозмінюючи, просто підставити значення сторони та обчислити.
Таким чином, радіус вписаного кола виходить рівним 1,5 см. Для периметра виявляється вірним таке значення: 63 см.
Відповідь. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.
№3. Умова.Радіус описаного кола дорівнює 6 см. Яке значення у цьому випадку буде у сторони правильного шестикутника?
Рішення.З формули для радіусу вписаного в шестикутник кола легко виходить та, за якою потрібно обчислювати сторону. Зрозуміло, що радіус множиться на два і поділяється на корінь із трьох. Необхідно позбутися ірраціональності у знаменнику. Тому результат дій набуває такого вигляду: (12 √3) / (√3 * √3), тобто 4√3.
Відповідь.а = 4√3 см.
Чи знаєте ви, як виглядає правильний шестикутник?
Це питання не випадково. Більшість учнів 11 класу не знають на нього відповіді.
Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні та всі кути теж рівні.
Залізна гайка. Сніжинка. Осередок сот, в яких живуть бджоли. Молекули бензолу. Що спільного у цих об'єктів? - Те, що всі вони мають правильну шестикутну форму.
Багато школярів губляться, бачачи завдання на правильний шестикутник, і вважають, що їх вирішення потрібні якісь особливі формули. Чи так це?
Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників. 
Ми знаємо, що площа правильного трикутника: .
Тоді площа правильного шестикутника – у шість разів більша.
Де – сторона правильного шестикутника.
Зверніть увагу, що у правильному шестикутнику відстань від його центру до будь-якої з вершин однакова і дорівнює стороні правильного шестикутника.
Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного у правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко розв'яжете будь-які завдання ЄДІ, в яких фігурує правильний шестикутник.
