Головна Вироби своїми руками

Знайти площу поверхні всі двогранні кути прямі. Площа поверхні багатогранника площею поверхні багатогранника за визначенням вважається сума площ, що входять до цієї поверхні багатокутників

Продовжуємо вирішувати завдання із відкритого банку завдань ЄДІ з математики категорії «№8» . Сьогодні розбираємо завдання, у яких фігурують складові багатогранники. (Ми вже зустрічалися із завданнями на складовими багатогранниками).

Завдання 1.

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Рішення:

Площа поверхні багатогранника дорівнює різниці площі поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами 3, 3 та 2 та двох площ квадратів 1х1.

Завдання 2.

З одиничного куба вирізано правильну чотирикутну призму зі стороною основи 0,4 і бічним ребром 1. Знайдіть площу поверхні частини куба, що залишилася.

Рішення:

Площа поверхні частини куба, що залишилася, є сума площі поверхні куба (ребро 1) і площі бічної поверхні призми, зменшена на подвійну площу квадрата (зі стороною 0,4).

Відповідь: 7,28.

Завдання 3.

У скільки разів збільшиться площа поверхні октаедра, якщо всі його ребра збільшити у 6 разів?

Рішення:

При збільшенні всіх ребер в 6 разів площа кожної грані зміниться в 36 разів, тому і сума площ усіх граней (площа поверхні) збільшеного октаедра буде в 36 разів більше площі поверхні вихідного октаедра.

Завдання 4.

Площа поверхні тетраедра дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.

Рішення:

Поверхня багатогранника, що шукається, складається з 8 граней – трикутників.

Площа кожного такого трикутника з пари (на малюнку виділено одним кольором)

у 4 рази менше площівідповідної грані тетраедра.

Тоді сума площ граней багатогранника є половиною поверхні тетраедра. Тобто

Відповідь: 0,5.

Ви можете подивитись і відеоролик до завдання 4:

Завдання 5.

Знайдіть обсяг просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.

Рішення:

Обсяг цього просторового хреста – 7 обсягів одиничних кубів. Тому

Завдання 6.

Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Рішення:

Об'єм даного багатогранника – є обсяг прямокутного паралелепіпеда з вимірами 3, 6 та 2 без обсягу прямокутного паралелепіпеда з вимірами 1, 2, 2.

Завдання 7.

Об'єм тетраедра дорівнює 1,5. Знайдіть обсяг багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі.

Рішення завдання

У цьому уроці розглядається приклад вирішення завдання визначення площі поверхні багатогранника. Наголошується, що площа поверхні багатогранника дорівнює сумі площ усіх його граней, при цьому площі протилежних граней попарно рівні. У результаті рішення використовується формула знаходження площі квадрата: , де – довжина боку квадрата, і формула знаходження площі прямокутника: , де і — суміжні сторони. Спочатку обчислюється площа граней зверху та знизу (вершини відзначаються червоним кольором). Потім визначається площі бічної (вершини відзначаються синім кольором) та протилежної їй поверхні. При цьому виготовляється додаткова побудова, внаслідок чого грань розбивається на дві фігури — квадрат і прямокутник. Останньою обчислюється площа передньої поверхні, вершина якої відзначається зеленим кольором. Потім знайдена площа множиться на . Таким чином, склавши площі всіх знайдених попарних граней, визначається потрібна площа поверхні багатогранника.

Наведене рішення можна використовувати з метою успішної підготовкидо ЄДІ з математики, зокрема під час вирішення завдань типу В10.

ПЛОЩА ПОВЕРХНІ МНОГОГРАНИКА Площею поверхні багатогранника за визначенням вважається сума площ, що входять в цю поверхню багатокутників. Площа поверхні призми складається з площі бічної поверхні та площ основ. Площа поверхні піраміди складається з площі бічної поверхні та площі основи.

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 22. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 4, чотирьох прямокутників площі 2 і двох невипуклі шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 22. Вправа 6

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 22. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 4, чотирьох прямокутників площі 2 і двох невипуклих шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 22. Вправа 7

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі). Відповідь. 38. Рішення. Поверхня багатогранника складається з квадрата площі 9, семи прямокутників площі яких дорівнюють 3, і двох невипуклих восьмикутників площі яких дорівнюють 4. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 38. Вправа 9

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 24. Рішення. Поверхня багатогранника складається з трьох квадратів площі 4, трьох квадратів площі 1 і трьох невипуклі шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 24. Вправа 10

Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 92. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 16, прямокутника площі 12, трьох прямокутників площі 4, двох прямокутників площі 8 і двох невипуклих восьмикутників площі 10. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 92. Вправа 11

Вправа 26 Осьовий переріз циліндра – квадрат. Площа основи дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні циліндра. Відповідь: 6.

Радіуси двох куль рівні 6 і 8. Знайдіть радіус кулі, площа поверхні якої дорівнює сумі площ їх поверхонь. Відповідь. 10. Рішення. Площі поверхонь даних куль рівні і. Їхня сума дорівнює. Отже, радіус кулі, площа поверхні якої дорівнює цій сумі, дорівнює 10. Вправа 30

Останні рішення

u84236168 ✎ Біотичний фактор – вплив живих організмів один на одного. Абіотичний фактор – вплив неорганічного середовища на живі організми (хімічні та фізичні). А) Підвищення тиску є фізичним фактором, отже відносимо його до абіотичних. Б) Землетрус – фізичний абіотичний фактор. В) Епідемія викликається мікроорганізмами, отже тут біотичний фактор. Г) Взаємодія вовків у зграї – біотичний фактор. Д) Конкуренція між соснами – біотичний чинник, т.к. сосни – живі організми. Відповідь: 11222 до завдання

u84236168 ✎ 1) За таблицею видно, що якщо пташенят у гнізді більше 5, то частка пташенят, що вижили, різко скорочується, отже, ми погоджуємося з даним твердженням. 2) Загибель пташенят у таблиці ніяк не пояснюється, отже, ми нічого не можемо сказати щодо цього твердження. 3) Так, за таблицею видно, що чим менше в кладці яєць, тим вище турбота про потомство, так, найвищий відсоток пташенят (100%), що вижили, корелює з їх найменшою кількістю (1), тому ми погоджуємося з цим твердженням. 4) За четвертим твердженням у нас немає жодної точної інформації + частка пташенят, що вижили, знижується, значить, ми не згодні з цим твердженням. 5) У таблиці немає інформації, з чим пов'язана кількість яєць у кладці, отже, ми ігноруємо це твердження. Відповідь: 1, 3. до задачі

u84236168 ✎ А) Колючки кактуса та колючки барбарису - органи рослин, приклад використовується в порівняльно-анатомічному методі вивчення еволюції. Б) Останки є скам'янілі частини древніх живих істот, вивченням яких займається наука палеонтологія, отже, це палеонтологічний метод. В) Філогенез – процес історичного розвиткуприроди та окремих організмів. У філогенетичному ряді коні можуть бути її древні предки, отже, це палеонтологічний метод. Г) багатососковість людини відноситься до порівняльно-анатомічного методу, т.к. порівнюється норма (два соски) та атавізм. Д) Апендикс у людини є рудиментом, отже, тут також порівнюється норма та рудимент. Відповідь: 21122 до завдання

u84236168 ✎ 1) Швидкість не може бути прямо пропорційна, інакше б при зменшенні температури швидкість строго збільшувалася б, що на графіку ми не спостерігаємо. 2) Про ресурси середовища на графіку нічого не сказано, тому і ми про це твердження сказати нічого не можемо. 3) Про генетичну програму на графіці теж жодної інформації немає, отже, і сказати нічого не можемо. 4) За графіком видно, що швидкість розмноження збільшується на проміжку від 20 до 36 градусів, з цим твердженням ми погоджуємося. 5) За графіком видно, що після 36 градусів швидкість падає, отже, із цим твердженням ми погоджуємося. Відповідь: 4, 5. до завдання

u84236168 ✎ На цьому малюнку зовнішній слуховий прохід, барабанна перетинка та равлик (що видно за формою) позначені правильно. Інші елементи: 3 - камера внутрішнього вуха, 4 - молоточок, 5 - ковадло. Відповідь: 1, 2, 6. до завдання

Насамперед визначимося, що таке багатогранник. Це тривимірна геометрична фігура, грані якої представлені у вигляді плоских багатокутників. Єдиної формули пошуку обсягу багатогранника немає, оскільки багатогранники бувають різної форми. Для того щоб знайти об'єм складного багатогранника, його умовно ділять на кілька простих, таких як паралелепіпед, призма, піраміда, а потім складають об'єми простих багатогранників і одержують в результаті об'єм фігури, що шукається.

Як знайти обсяг багатогранника - паралелепіпеда

Для початку знайдемо площу прямокутного паралелепіпеда. У такої геометричної фігуривсі грані представлені у вигляді плоских прямокутних фігур.

Найпростіший прямокутний паралелепіпед – це куб. Усі ребра куба рівні між собою. Загалом у такого паралелепіпеда 6 граней, тобто 6 однакових квадратів. Обсяг такої фігури розраховується таким чином:

де a - Довжина будь-якого ребра куба.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда, сторони якого мають різні вимірювання, розраховується за такою формулою:

де a, b і с – довжини ребер.

Як знайти обсяг багатогранника - похилого паралелепіпеда

У похилого паралелепіпеда так само 6 граней, 2 їх – підстави фігури, ще 4 – бічні грані. Похилий паралелепіпед відрізняється від прямого тим, що його бічні грані по відношенню до основи розташовані не під прямим кутом. Обсяг такої фігури розраховується як добуток між площею основи та висотою:

де S – це площа чотирикутника, що лежить у основі, h – висота шуканої фігури.

Як знайти обсяг багатогранника - призми

Об'ємна геометрична фігура, основа якої представлена багатокутником будь-якої форми, а бічні грані – паралелограмами, що мають спільні сторониз основою – називається призмою. У призми дві основи, а бічних граней стільки, скільки сторін у фігури, що є основою.

Для знаходження обсягу будь-якої призми, як прямої, так і похилої, множать площу основи на висоту:

де S – площа багатокутника на основі фігури, а h – висота призми.

Як знайти обсяг багатогранника - піраміди

Якщо в основі фігури розташований багатокутник, а бічні грані представлені у вигляді трикутників, що змикаються в загальної вершині, то таку фігуру називають пірамідою. Вона відрізняється від перелічених вище фігур тим, що в неї є тільки одна підстава, крім цього, у неї є вершина. Щоб знайти обсяг піраміди, її основу множать на висоту і ділять результат на 3:

тут S – площа основи шуканої геометричної фігури, а h – висота.

Площу простого багатогранника знайти досить просто, набагато складніше знайти площу фігури, що складається з безлічі багатогранників. Особливу увагу доведеться приділити правильному розподілу складного багатогранника на прості.