Kako znati koordinatnu liniju. Hodajte od tačke do tačke: formule, aplikacije, rješenja

Šetnja između tačaka na koordinatnoj liniji - 6 razred.

Formula za razliku između tačaka na koordinatnoj liniji

Algoritam za pronalaženje koordinata tačke - sredine vídrízke

Mojim kolegama na internetu, čiji je materijal predstavljen u ovoj prezentaciji!

Prednost:

Pogled sprijeda:

Kako biste unaprijed ubrzali prezentaciju, kreirajte vlastiti Google Post i pogledajte prije: https://accounts.google.com

Naslovi prije slajdova:

Kretanje između tačaka na koordinatnoj liniji x 0 1 AB AB \u003d ρ (A, B)

Pronalaženje između tačaka na koordinatnoj liniji Meta lekcija: - Znati način (formulu, pravilo) za pronalaženje između tačaka na koordinatnoj liniji. - Naučite da znate između tačaka na koordinatnoj liniji, pronađite pravilo.

1. Sleepy rahunok 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Lako je zapisati zadatak za dodatnu koordinatnu liniju: koliko je brojeva cijelih brojeva postavljeno između brojeva: a) - 8,9 i 2 b) - 10,4 i - 3,7 c) - 1,2 i 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 pozitivnih brojeva -1 -5 o trouglastim brojevima Udaljenost od kuće do stadiona 6 Udaljenost od kuće do škole 6 Koordinatna linija

0 1 2 7 -1 -5 Udaljenost od stadiona do separe 6 Udaljenost od škole do kabine 6 Udaljenost između tačaka na koordinatnoj pravoj ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Udaljenost između tačaka označenih slovom ρ (ro)

0 1 2 7 -1 -5 Udaljenost od stadiona do kuće 6 Udaljenost od škole do kuće 6 Udaljenost između tačaka na koordinatnoj pravoj ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ ( a; b) =? | a-b |

Krećite se između tačaka a i b kako biste uskladili modul razlike u koordinatama ovih tačaka. ρ (a; b) = | a-b | Krećite se između tačaka na koordinatnoj liniji

Geometrijska promjena modula decimalnog broja a b a a = b b x x x Kretanje između dvije tačke

0 1 2 7 -1 -5 Pronađite između tačaka na koordinatnoj liniji - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7)= ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Pronađite između tačaka na koordinatnoj pravoj - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0)= ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Visnovok: značenje a - b | to | b-a | jednako za bilo koju vrijednost a í b =

-16 -2 0 -3 +8 0 +4 +17 0 ρ (-3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(-16; -2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Kretanje između tačaka koordinatne linije

Naći ρ(x; y), što znači: 1) x = – 14, y = – 23; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 | = 9 2) x = 5,9, y = -6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12.7 | = 12,7

Nastavite prijedlog 1. Koordinatna linija - ce linija íz dodijeljena níy ... 2. Stanite između dvije tačke - tse ... 3. Produženi brojevi - tse brojevi, ... 4. Modul broja X se naziva . .. 5. - Podesite vrijednosti ​​stihova a - b V b – a zrobít vysnovok… - Uskladite vrijednosti vrazív | a-b | v | b-a | c rob vysnovok ...

Gvintik i Shpuntik idu promjenom koordinata. Gvintik se nalazi u tački B (236), Špuntik - u tački W (193) U kojoj zemlji se nalaze Gvintik i Špuntik? ρ(B, W) = 43

Saznajte između tačaka A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B(-3) A(-10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

Saznajte između tačaka A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3)

Ponovo provjerite AB = KV = AC =

Z(– 5) Z(– 3) Pronađite koordinatu tačke - središte šine VA

Na koordinatnoj liniji označene su tačke A (-3,25) i (2,65). Naći koordinatu tačke O - sredine reza AB. Rješenje: 1) ρ(A;V)= |-3,25 - 2,65 | = | -5.9 | = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) -3,25 + 2,95 = - 0,3 ili 2,65 - 2,95 = - 0,3 3)

Na koordinatnoj liniji su označene tačke C(-5.17) i D(2.33). Pronađite koordinatu tačke A - sredina preseka CD. Rješenje: 1) ρ(S; D) = | - 5, 17 - 2, 33 | = | - 7, 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d - 1, 42 ili 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 - 1, 42)

Visnovok: Algoritam za pronalaženje koordinata tačke - sredina date tračnice: 1. Pronađite rastojanje između tačaka - krajeva date tračnice = 2. Rezultat-1 podijelite sa 2 (pola vrijednosti) = 3 Dodajte rezultat-2 u koordinatu i pogledajte z koordinate rezultata-2 a + c ili - z 4. Rezultat-3 ê koordinata tačke - sredina ovog v_drízka

Rad sa majstorom: §19, str.112, A. br. 573, 575 B. br. 578, 580 Domaći: §19, str.112, A. br. 574, 576, V. br. 579, 581 da vídnímannya racionalni brojevi. Kretanje između tačaka na koordinatnoj liniji"

Danas sam saznao... Bilo je grozno... Shvatio sam da... Sad mogu... Učim... Shvatio sam... Pokušaću... Bio sam uzbuđen... Hteo sam da...

U ovom članku možemo pogledati načine izračunavanja od tačke do tačke teoretski i na osnovu konkretnih zadataka. Prije svega, uvodimo akte o imenovanju.

Zakazivanje 1

Krećite se između tačaka- Trošak vídrízke, scho ih integriše, na jasnoj skali. Potrebno je podesiti vagu, kako bi majka dugo živjela sama. Zato, uglavnom, definicija razlike između tačaka varira sa različitim koordinatama na pravoj liniji, u koordinatnoj ravni ili u trivimernom prostoru.

Postojeći podaci: koordinatna prava O x í koja leži na njoj je prava tačka A. Ako postoje tačke na pravoj, postoji samo jedan broj: neka je to broj za tačku A xA, vono w - koordinata tačke A.

Općenito, možemo reći da je procjena datuma trenutnog vjetra preuzeta sa vrha rijeke, uzećemo je kao jedinicu dana u datoj skali.

Na primjer, tačke A u broju su tačne, koje su uzastopno uključene u tačku O do tačke prave linije O A u liniji - jednu tačku, možemo dodijeliti tačku na liniji O A za broj torbe u slučaj pojedinačnih tačaka.

Na primjer, tačke A pokazuju broj 3 - da biste došli do njega od točke Pro, morat ćete dodati tri pojedinačna namotaja. Kao i tačka A, koordinate su 4 - jedna po jedna, tačke su postavljene sličnim redom, ali u drugom negativnom pravcu. U takvom rangu, na prvom vipadku, v_dstan O A do_vnyuê 3; drugu vipadku PRO = 4 .

Ako je točka A koordinata racionalnog broja, tada dodajemo broj pojedinačnih namotaja, a zatim i potrebni dio. Ale, geometrijski, moguće je stvoriti vimir. Na primjer, važno je uzeti u obzir koordinatnu pravu liniju 4 111 .

Nemoguće je staviti iracionalan broj na direktnu liniju na značajniji način. Na primjer, ako je koordinata tačke A jednaka 11. U ovom trenutku moguće je preći na apstrakciju: ako je koordinata tačke A veća od nule, onda O A = x A (broj se uzima kao broj); ako je koordinata manja od nule, tada je O A = - x A . Zagalom qi vrijedi za bilo koji realan broj x A .

Sumiranje: hodajte po klipu do tačke, koja je tačan broj na koordinatnoj liniji, završite:

• 0 kako se tačka kreće duž grebena koordinata;

• x A, ako je x A > 0;

• - x A x A< 0 .

Zbog toga je očito da dužina same prave ne može biti negativna, tako da možemo napisati znak modula iz tačke O u tačku A sa koordinatom x A: O A = x A

Bićemo čvrsti: ići od jedne tačke do druge udaljenosti do modula koordinatne razlike. Tobto. za tačke A i B, koje leže na istoj koordinatnoj liniji za bilo koju varijaciju i mogu imati različite koordinate x Aі x B: A B = x B - x A.

Izlazni podaci: tačke A í B , koje leže na ravni pravougaonog koordinatnog sistema O x y íz date koordinate: A (x A , y A) í B (x B , y B) .

Povucimo okomice kroz tačke A í B na koordinatne ose O x í O y í i kao rezultat oduzmimo tačke projekcije: A x, A y, B x, B y. Vykhodyachi z roztashuvannya tačke A i B dale su mogućnost napredovanja opcija:

Kako su točke A i zbígayutsya, onda ih vydstan mízh na nulu;

Ako tačke A i B leže na pravoj liniji, okomite na osu O x (os apscisa), tada tačke i vode, i | A B | = | A y B y | . Krhotine između tačaka su bliže modulu razlike njihovih koordinata, tada A y B y = y B - y A , također A B = A y B y = y B - y A .

Isto tako, tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu O y (y-osa) - po analogiji sa prednjom tačkom: A B = A x B x = x B - x A

Iako tačke A i B ne leže na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa, znamo da se možemo kretati između njih, pokazavši formulu za širenje:

Mi bachimo, da je ABC trikutnik ravno rezan nakon pupoljka. Kada je A C = A x B x í B C = A y B y. Vikoristovuyuchi Pitagorina teorema, preklopna jednakost: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 i zatim reverzibilna joga: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formiramo obrazac na osnovu preuzetog rezultata: krećemo se od tačke A do tačke na ravni, određuje se izračunavanjem po formuli za variranje koordinata ovih tačaka

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Otrimanova formula također potvrđuje ranije formiranje čvrstoće za promjenu tačaka ili situacija, ako tačke leže na pravim, okomitim osama. Dakle, za padajući meni, tačka A í B će biti tačna jednaka: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Za situaciju u kojoj tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu apscise:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Za pad, ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na y-osu:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Izlazni podaci: pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dovoljnim brojem tačaka sa datim koordinatama A (x A , y A , z A) í B (x B , y B , z B) . Potrebno je odrediti između ovih tačaka.

Vidimo strmu padinu, ako tačke A i B ne leže blizu ravni, paralelne sa jednom od koordinatnih ravni. Kroz tačke A i B povlačimo ravni okomite na koordinatne ose i uzimamo u obzir tačke projekcije: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Korak između tačaka A i B je dijagonala onog uzetog kao rezultat paralepipeda. Vídpovídno do vimíryuvannya tsgogo paralepipeda: A x B x , A y B y i A z B z

Iz kursa geometrije je jasno da je kvadrat dijagonale paralelepipeda više novca kvadrati joge vimiriv. Vykhodyachi z th solidarnost se uzima u obzir: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Vikoristovuyuchi otrimani vysnovki, zapišite sljedeće:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Prepravimo viraz:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Pidsumkova formula za određivanje udaljenosti između tačaka u prostoru izgledat ćeš ovako:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Otrimanova formula je također diisna za vipadkiv, ako:

Tačkice bježe;

Leži na jednoj koordinatnoj osi ili ravno paralelno s jednom od koordinatnih osa.

Primijenite rješenje zadataka na značenje razlike između tačaka

guza 1

Vanjski podaci: data je koordinatna linija tačke koja leži na njoj sa datim koordinatama A (1 - 2) i B (11 + 2) . Potrebno je znati rastojanje između tačaka na klipu i O do tačke A između tačaka A i B.

Rješenje

1. Idite do tačke na klipu u liniji sa tačkom bliže modulu koordinata tačke u pravom smeru O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Razlika između tačaka A i B je značajna kao modul razlike u koordinatama ovih tačaka: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Prijedlog: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

guza 2

Eksterni podaci: dat je pravougaoni koordinatni sistem i dve tačke, koje leže na njemu A (1, - 1) í B (λ + 1, 3). λ je realan broj. Potrebno je znati sve vrijednosti tog broja, za koji je AB jednak 5.

Rješenje

Da biste znali razliku između tačaka A i B, potrebno je koristiti formulu A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti koordinata, uzimamo: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

I tako ću namigovati, siguran sam da je AB = 5 i onda će to biti prava smirenost:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Vidpovid: AB = 5, dakle λ = ± 3.

guza 3

Eksterijerni podaci: trodimenzionalni prostor je dat za pravougaoni koordinatni sistem O x y z í tačke A (1 , 2 , 3) ​​í B - 7 , - 2 , 4 , koje leže blizu nove.

Rješenje

Da bismo riješili problem, koristimo formulu A B \u003d x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti uzimamo: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Prijedlog: | A B | = 9

Kako ste zapamtili pomilovanje u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter

Hodajte od tačke do tačke- Cijena vídrízke, scho z'ednuê tsí bodova, na datoj skali. Ovim redoslijedom, ako je u toku rat, potrebno je znati razmjer (jedinicu vremena) u kojem će se ratovanje voditi. Stoga, zadatak poznavanja udaljenosti od tačke do tačke treba posmatrati ili na koordinatnoj liniji, ili u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni, ili u trivijalnom prostoru. Inače, očigledno je često potrebno izračunati broj tačaka između tačaka iz njihovih koordinata.

U ovim statistikama, prvo nagađamo kako se određuje od tačke do tačke na koordinatnoj liniji. Zatim oduzimamo formule za izračunavanje udaljenosti između dvije tačke ravni i prostora iza datih koordinata. Na primjer, možemo pogledati rješenje karakterističnih primjera i zadataka.

Navigacija sa strane.

Krećite se između dvije tačke na koordinatnoj liniji.

Hajde da pogledamo znakove. Vídstan víd tačku A do točke koju ćete označiti jak.

Zvídsi možete napraviti wisnovok, što idite u tačku A sa koordinatom do tačke B sa koordinatom do modula koordinatne razlike, tobto, u slučaju bilo koje roztashuvanni tačke na koordinatnoj liniji.

Vídstan víd mrlja do mrlja na stanu, formula.

Oduzimamo formulu za izračunavanje broja tačaka između tačaka i zadataka u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni.

Flow víd roztashuvannya točka I to U mozhliví nastupní opcije.

Ako se tačke A i B kreću, tada je razlika između njih jednaka nuli.

Ako tačke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu apscise, tada su tačke i savijene, a ostale su duže. U prednjoj tački smo objasnili da između dvije tačke na koordinatnoj pravoj do modula razlike njihovih koordinata, do toga, . Otac, .

Slično, ako tačke A i B leže na pravoj liniji, okomite na osu ordinata, onda idite od tačke A do tačke koja će biti poznata kao .

Štaviše, na ovom vipadku ABC trikutnik je ravno rezan iza pupoljaka to . iza Pitagorina teorema možemo snimiti smirenost, zvijezde.

Pogledajmo rezultate: ići od tačke do tačke na ravni da bude poznat kroz koordinate i tačke po formuli .

Otrimanu formula za znakhodzhennya između točaka može biti vikoristovuvat ako točke A i B zbígayutsya ili leže na pravoj liniji okomito na jednu od koordinatnih osa. Istina je, takvi su onda. Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu Ox, tada . Ako A i B leže na pravoj liniji okomitoj na osu Oy, tada .

Hodajte između tačaka u prostoru, formula.

Uvodimo pravougaoni koordinatni sistem Oxyz u prostor. Oduzimamo formulu za vrijednost broja bodova do tačke .

Na strmoj padini tačke A i B ne leže blizu ravni, paralelne sa jednom od koordinatnih ravnina. Povlačimo kroz tačke A i B u ravni okomitoj na koordinatne ose Ox, Oy i Oz. Tačke preseka ovih ravni sa koordinatnim osa daće nam projekcije tačaka A i na q osu. Značajno projekcije .

Šukana između tačaka A i i je dijagonala pravokutnog paralelepipeda prikazanog na malom. Za pobudova, vymíri tsgogo paralelepiped rivni to . Na kursu geometrije srednje škole doneto je da je kvadrat dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednak zbiru kvadrata tri yogo vimiriva, tome. Oslanjajući se na podatke prve podjele članka, možemo zabilježiti početak smirenosti, kasnije,

zvezde su dobrodošle formula za razliku tačaka u prostoru .

Ova formula također vrijedi, osim za tačke A i B

• bježi;
• leže do jedne od koordinatnih osa ili pravih linija, paralelno s jednom od koordinatnih osa;
• leže do jedne od koordinatnih ravnina ili ravni paralelnih s jednom od koordinatnih ravnina.

Znajući razliku između tačke do tačke, primijenite to rješenje.

Kasnije smo oduzeli formule za znahodzhennya između dvije tačke koordinatne linije, ravni i trivijalnog prostora. Došao je čas da pogledamo rješenje karakterističnih aplikacija.

Broj zadataka, na kraju posljednje etape, razlika između dvije tačke iza njihovih koordinata, zaista je velik. Povny pogledaj okolo takve prijave prelaze granice statuta. Ovdje se susrećemo sa kundacima, na kojima imamo koordinate dvije tačke i potrebno je izračunati njihov broj.

§ 1

U ovom uzrastu možemo vidjeti pravilo poznavanja razlike između tačaka koordinatne linije, a također možemo naučiti znati dužinu vídrízke, pravilo vikorista.

Podsjećamo vas na zadatak:

Izravnajte virazi

1. a = 9, b = 5;

2. a = 9, b = -5;

3. a = -9, b = 5;

4. a = -9, b = -5.

Zamijenite vrijednost Virazi i saznajte rezultat:

Maloprodajni modul 9 i 5 su superiorniji od modula 4, modul 4 je superiorniji od 4. Maloprodajni modul 5 i 9 je superiorniji od modula minus 4, modul -4 je superiorniji od 4.

Modul maloprodaje 9 -5 prethodi modulu 14, modul 14 prethodi 14. Maloprodajni modul minus 5 i 9 prethodi modulu -14, modul -14=14.

Maloprodajni modul minus 9 i 5 prethodi modulu minus 14, modul minus 14 unaprijed 14. Maloprodajni modul 5 i minus 9 prethodi modulu 14, modul 14 unaprijed 14

Modul maloprodaje minus 9 i minus 5 su superiorniji od modula minus 4, modul -4 je superiorniji od 4. Maloprodajni modul minus 5 i minus 9 je superiorniji od modula 4, modul 4 je superiorniji (l-9 - (-5)l = l-4l = 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4)

U stanju kože rezultati su bili jednaki, ali možete razviti i ugodnu visnovku:

Vrijednost razlike je modul razlike a i b í modul razlike b í a je jednak za bilo koje vrijednosti a i b.

Još jedan zadatak:

Saznajte između tačaka koordinatne linije

1.A(9) i B(5)

2.A(9) i B(-5)

Tačke A(9) i V(5) su značajne na koordinatnoj liniji.

Žao nam je zbog broja usamljenih vídrízkív između ovih tačaka. Njihov 4, srednja vrijednost između tačaka A i B 4. Slično, znamo između dvije druge točke. Značajno na koordinatnoj liniji A(9) i B(-5), značajno na liniji koordinata između ovih tačaka, udaljenije 14.

Upoređujemo rezultate prethodnih zadataka.

Maloprodajni modul 9 i 5 su skuplji 4 i prelaze između tačaka sa koordinatama 9 i 5 su skuplji 4. Maloprodajni modul 9 i minus 5 su skuplji 14, prelaze između tačaka sa koordinatama 9 i minus 5 su skuplji 14.

Pitajte za visnovok:

Krećite se između tačaka A(a) i B(b) sa koordinatnom linijom na modul razlike koordinata ovih tačaka l a - b l.

Štaviše, uvijek možete znati kako je maloprodajni modul b i a, ali se broj pojedinačnih namotaja ni na koji način ne mijenja, ovisno o tome koje su točke važne.

§ 2

Znamo dužinu križnog CD-a, kao na koordinatnoj liniji C(16), D(8).

Znamo da je starica zdrava sredinom veka, do drugog, tj. od tačke Z do tačke D na koordinatnoj liniji.

Ubrzavanje pravila:

znam modul razlike koordinata h i d

Otzhe, dovzhina vídrízka CD dorívnyuê 8.

Pogledajmo još jednu stvar:

Znamo datum MN, čije koordinate mogu biti različiti znakovi M(20), N(-23).

Pretpostavimo vrijednost

znamo šta -(-23) = +23

znači, modul troškova 20 i minus 23 je veći od modula troškova 20 i 23

Znamo zbroj modula koordinata ove vídrízke:

Vrijednosti modula razlike koordinata i zbroja modula koordinata za svaki smjer bile su iste.

Možete zrobiti visnovok:

Ako su koordinate dviju tačaka različitih predznaka, onda između tačaka možete pronaći više zbroja modula koordinata.

Na lekciji smo se upoznali sa pravilom poznavanja dve tačke koordinatne prave i naučili da znamo dužinu vírízke, vikorističko pravilo.

Spisak pobedničke literature:

1. Matematika. 6. razred: plan časa asistentu I.I. Zubarevoj, A.G. Mordkovich // Autor L.A. Topilin. - M.: Mnemozina 2009.
2. Matematika. 6. razred: tutor za uchnív zagalnosvítníh zakladíh. I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. 6. razred: mentor za nastavnike instalacija vanjske rasvjete./N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. - M.: Mnemozina, 2013.
4. Stručnjak za matematiku - http://lyudmilanik.com.ua
5. Savjeti za učenike srednje škole http://shkolo.ru