Koji su oblici poligoni. Poligoni

Trokut, kvadrat, šesterokut - ove su figure poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi što je pravilni poligon. Ali to je svejedno Pravilni poligon naziva se onaj koji ima jednake uglove i stranice. Puno je takvih oblika, ali svi imaju ista svojstva i na njih vrijede iste formule.

Regularna svojstva poligona

Bilo koji pravilni mnogougao, bio to kvadrat ili osmerokut, može biti upisan u krug. Ovo osnovno svojstvo često se koristi prilikom konstrukcije oblika. Pored toga, krug se može upisati u poligon. U tom će slučaju broj dodirnih točaka biti jednak broju njegovih stranica. Važno je da krug upisan u pravilan poligon ima zajedničko središte sa sobom. Ove geometrijske figure podliježu istim teoremama. Bilo koja stranica pravilnog n-ugla povezana je s radijusom opisane kružnice R. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a \u003d 2R ∙ sin180 °. Kroz njega možete pronaći ne samo stranice, već i opseg poligona.

Kako pronaći broj stranica pravilnog mnogougla

Bilo koji se sastoji od broja jednakih segmenata, koji kada su povezani tvore zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi kutovi oblikovane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva skupina uključuje trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više stranica. Takođe uključuju figure u obliku zvijezde. Za složene pravilne poligone stranice se nalaze upisivanjem u krug. Evo dokaza. Nacrtajte pravilni mnogougao s proizvoljnim brojem stranica n. Nacrtajte krug oko njega. Postavite radijus R. Sada zamislite da vam je dat neki n-kut. Ako točke njegovih uglova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, tada se stranice mogu naći po formuli: a \u003d 2R ∙ sinα: 2.

Pronalaženje broja stranica upisanog pravilnog trokuta

Jednakostranični trokut je pravilni mnogougao. Formule se na njega primjenjuju isto kao i na kvadrat i n-kut. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima stranice iste dužine. U ovom su slučaju uglovi jednaki 60⁰. Konstruirajmo trokut sa zadanom dužinom stranice a. Znajući njegovu sredinu i visinu, možete pronaći značenje njegovih strana. Da bismo to učinili, poslužit ćemo se metodom pronalaska kroz formulu a \u003d x: cosα, gdje je x medijana ili visina. Budući da su sve stranice trokuta jednake, dobivamo a \u003d b \u003d c. Tada će sljedeća tvrdnja biti tačna a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Slično tome, vrijednost stranice možete pronaći u jednakokrakom trokutu, ali x će biti zadana visina. U ovom slučaju, mora se strogo projicirati na osnovu slike. Dakle, znajući visinu x, pronađemo stranicu a jednakokrakog trokuta po formuli a \u003d b \u003d x: cosα. Nakon pronalaska vrijednosti a, možete izračunati dužinu osnove c. Primijenimo Pitagorin teorem. Tražit ćemo vrijednost polovice osnove c: 2 \u003d √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) \u003d √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α \u003d x ∙ tgα. Tada je c \u003d 2xtgα. Na tako jednostavan način možete pronaći broj stranica bilo kojeg upisanog poligona.

Izračunavanje stranica kvadrata upisanog u krug

Kao i svaki upisani pravilni mnogougao, kvadrat ima jednake stranice i uglove. Za njega vrijede iste formule kao i za trokut. Možete izračunati stranice kvadrata koristeći vrijednost dijagonale. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala dijeli ugao. U početku je njegova vrijednost bila 90 stepeni. Tako se nakon podjele formiraju dvije čiji će kutovi u osnovi biti jednaki 45 stepeni. U skladu s tim, svaka strana kvadrata bit će jednaka, to jest: a \u003d b \u003d c \u003d q \u003d e ∙ cosα \u003d e√2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata, ili osnova pravokutnog trokuta nastalog nakon podjele. Ovo nije jedini način da se pronađu stranice kvadrata. Upišimo ovaj oblik u krug. Znajući radijus ovog kruga R, nalazimo stranicu kvadrata. Izračunati ćemo ga na sljedeći način a4 \u003d R√2. Radijusi pravilnih poligona izračunavaju se po formuli R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), gdje je a dužina stranice.

Kako izračunati opseg n-kutnika

Opseg n-gona je zbroj svih njegovih stranica. Nije ga teško izračunati. Da biste to učinili, morate znati značenja svih strana. Postoje posebne formule za neke vrste poligona. Omogućuju vam mnogo brže pronalaženje perimetra. Poznato je da svaki pravilni poligon ima jednake stranice. Stoga je, da bi se izračunao njegov opseg, dovoljno znati barem jednog od njih. Formula će ovisiti o broju stranica oblika. Općenito izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost stranice, a n broj uglova. Na primjer, da bismo pronašli opseg pravilnog oktogona sa stranicom od 3 cm, potrebno ga je pomnožiti sa 8, odnosno P \u003d 3 ∙ 8 \u003d 24 cm. Za šesterokut sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P \u003d 5 ∙ 6 \u003d 30 cm. svaki poligon.

Pronalaženje opsega paralelograma, kvadrata i romba

Ovisno o tome koliko stranica ima pravilni poligon, izračunava se njegov opseg. To znatno olakšava zadatak. Zapravo, za razliku od ostalih brojki, u ovom slučaju ne trebate tražiti sve njegove strane, jedna je dovoljna. Po istom principu nalazimo i opseg četverougla, odnosno kvadrata i romba. Uprkos činjenici da se radi o različitim brojkama, formula za njih je ista P \u003d 4a, gdje je a strana. Dajmo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada ćemo pronaći opseg na sljedeći način: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Paralelogram ima samo jednake suprotne stranice. Stoga se njegov opseg pronalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati dužinu a i širinu na slici. Tada primjenjujemo formulu P \u003d (a + b) ∙ 2. Paralelogram u kojem su sve stranice i uglovi jednaki naziva se romb.

Pronalaženje opsega jednakostraničnog i pravokutnog trokuta

Opseg ispravnog može se naći formulom P \u003d 3a, gdje je a dužina stranice. Ako je nepoznato, može se naći putem medijane. U pravokutnom trokutu samo su dvije strane jednake važnosti. Temelj se može naći kroz pitagorejski teorem. Nakon što vrijednosti svih triju strana postanu poznate, izračunavamo opseg. Može se naći primjenom formule P \u003d a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je osnova. Sjetimo se da je u jednakokrakom trokutu a \u003d b \u003d a, pa je a + b \u003d 2a, a zatim P \u003d 2a + c. Na primjer, ako je stranica jednakokračnog trokuta 4 cm, pronaći ćemo njegovu bazu i opseg. Izračunavamo vrijednost hipotenuze prema pitagorejskom teoremu sa \u003d √a 2 + u 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Izračunajte sada opseg P \u003d 2 ∙ 4 + 5,65 \u003d 13,65 cm.

Kako pronaći uglove pravilnog mnogougla

U našem se životu svakodnevno javlja pravilan poligon, na primjer, obični kvadrat, trokut, osmerokut. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste izgradili bilo koji n-kut, morate znati vrijednost njegovih uglova. Ali kako ih naći? Čak su i drevni naučnici pokušavali da izgrade pravilne poligone. Pretpostavili su da će ih upisati u krugove. A onda su na njemu označili potrebne tačke, povezali ih ravnim linijama. Za jednostavne oblike riješen je građevinski problem. Dobijene su formule i teoremi. Na primjer, Euclid je u svom poznatom djelu "Inception" bio angažiran u rješavanju problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-gons. Pronašao je načine da ih izgradi i pronađe uglove. Pogledajmo kako se to radi za 15-kuta. Prvo morate izračunati zbroj njegovih unutrašnjih uglova. Morate koristiti formulu S \u003d 180⁰ (n-2). Dakle, dobili smo 15-kuta, pa je broj n 15. Zamijenite podatke koje znamo u formulu i dobivamo S \u003d 180⁰ (15 - 2) \u003d 180⁰ h 13 \u003d 2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutrašnjih uglova 15-kuta. Sada morate dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno ima 15 uglova. Izračunavamo 2340⁰: 15 \u003d 156. To znači da je svaki unutarnji ugao 156⁰, sada uz pomoć ravnala i šestara možete napraviti pravilan 15-kuta. Ali šta je sa složenijim n-gonovima? Mnogo vijekova naučnici su se borili da riješe ovaj problem. Pronašao ga je Karl Friedrich Gauss tek u 18. stoljeću. Uspio je sagraditi 65537-kut. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.

Izračunavanje uglova n-pravokutnika u radijanima

Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje uglova poligona. Najčešće se računaju u stupnjevima. Ali možete ih izraziti i u radijanima. Kako uraditi? Morate postupiti kako slijedi. Prvo saznajemo broj stranica pravilnog mnogougla, a zatim oduzimamo 2. Dakle, dobivamo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo s brojem n ("pi" \u003d 3,14). Sada ostaje samo podijeliti dobiveni proizvod s brojem uglova u n-kutu. Razmotrite ove proračune na primjeru istog šesterokuta. Dakle, broj n je 15. Primijenimo formulu S \u003d n (n - 2): n \u003d 3,14 (15 - 2): 15 \u003d 3,14 ∙ 13: 15 \u003d 2,72. To, naravno, nije jedini način za izračunavanje kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti ugao u stupnjevima sa 57,3. Napokon, tačno ovaj broj stepeni ekvivalentan je jednom radijanu.

Izračunavanje vrijednosti uglova u stupnjevima

Pored stupnjeva i radijana, možete pokušati pronaći vrijednost uglova pravilnog mnogougla u stupnjevima. To se radi na sljedeći način. Oduzmite 2 od ukupnog broja uglova, podijelite rezultirajuću razliku s brojem stranica pravilnog mnogougla. Pronađeni rezultat pomnožimo s 200. Inače, takva jedinica mjere kutova kao što su stepeni praktički se ne koristi.

Proračun vanjskih uglova n-pravokutnika

Za bilo koji pravilni poligon, osim unutarnjeg, možete izračunati i vanjski kut. Njegovo značenje nalazi se na isti način kao i za ostale figure. Dakle, da biste pronašli vanjski kut pravilnog mnogougla, morate znati vrijednost unutarnjeg. Dalje, znamo da je zbroj ova dva kuta uvijek 180 stepeni. Stoga proračune radimo na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg ugla. Pronađi razliku. To će biti jednako vrijednosti susjednog ugla. Na primjer, unutarnji ugao kvadrata je 90 stepeni, tako da će vanjski biti 180⁰ - 90⁰ \u003d 90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski ugao može imati vrijednost od + 180⁰ do -180⁰, respektivno.

Dio ravni omeđen zatvorenom polilinijom naziva se poligon.

Pozvani su segmenti ovog polilinija zabave poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice poligona ABCDE. Zove se zbroj svih stranica mnogougla perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje od njegovih strana, produžen na neodređeno vrijeme izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, jer nije smješten na jednoj strani ravne linije KP.

Razmatrat ćemo samo konveksne poligone.

Kutovi sastavljeni od dvije susjedne stranice mnogougla nazivaju se njegovim interni uglovi i njihovi vrhovi - temena mnogougla.

Ravni linijski segment koji povezuje dva susjedna vrha mnogougla naziva se dijagonala poligona.

AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).

Uglovi susjedni unutarnjim uglovima poligona nazivaju se vanjski kutovi poligona (slika 3).

Ovisno o broju uglova (stranica), poligon se naziva trokut, četverokut, petougao itd.

Za dva poligona se kaže da su jednaki ako se mogu preklopiti.

Upisani i ograničeni poligoni

Ako svi vrhovi mnogougla leže na krugu, tada se zove mnogougao upisano u krug i krug - opisano blizu poligona (sl.).

Ako su sve stranice mnogougla tangente na kružnicu, tada se zove mnogougao opisano o krugu i krug se zove upisano u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva istoimenog poligona nazivaju se sličnim ako su uglovi jednog od njih jednaki uglovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.

Poligoni s istim imenom su poligoni koji imaju jednak broj stranica (uglova).

Stranice takvih poligona koji povezuju vrhove jednakih uglova nazivaju se sličnim (slika).

Tako je, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E ', potrebno je da je: ∠A \u003d ∠A' ∠B \u003d ∠B '∠S \u003d ∠S' ∠D \u003d ∠D '∠ E \u003d ∠E 'i, uz to, AB / A'B' \u003d BC / B'C '\u003d CD / C'D' \u003d DE / D'E '\u003d EA / E'A'.

Odnos opsega sličnih poligona

Prvo razmotrimo svojstvo niza jednakih odnosa. Neka, na primjer, imamo omjere: 2/1 \u003d 4/2 \u003d 6/3 \u003d 8/4 \u003d 2.

Pronađimo zbroj prethodnih članova ovih odnosa, zatim - zbroj njihovih narednih članova i pronađimo omjer primljenih suma, dobivamo:

$$ \\ frac (2 + 4 + 6 + 8) (1 + 2 + 3 + 4) \u003d \\ frac (20) (10) \u003d 2 $$

Isto ćemo dobiti ako uzmemo niz nekih drugih relacija, na primjer: 2/3 \u003d 4/6 \u003d 6/9 \u003d 8/12 \u003d 10/15 \u003d 2/3 Pronađite zbroj prethodnih članova ovih odnosa i zbroj narednih, i onda pronađemo odnos ovih suma, dobivamo:

$$ \\ frac (2 + 4 + 5 + 8 + 10) (3 + 6 + 9 + 12 + 15) \u003d \\ frac (30) (45) \u003d \\ frac (2) (3) $$

U oba slučaja, zbroj prethodnih članova niza jednakih odnosa odnosi se na zbroj narednih članova iste serije, kao što se prethodni član bilo kojeg od ovih odnosa odnosi na svoje naredne.

Ovu smo osobinu izveli gledajući brojne numeričke primjere. Može se izvesti strogo i općenito.

Sada uzmimo u obzir omjer opsega takvih poligona.

Neka poligon ABCDE bude sličan poligonu A'B'C'D'E '(slika).

Iz sličnosti ovih poligona proizlazi da

AB / A'B '\u003d BC / B'C' \u003d CD / C'D '\u003d DE / D'E' \u003d EA / E'A '

Na osnovu svojstva koje smo izveli za niz jednakih odnosa, možemo napisati:

Zbir prethodnih članova relacija koje smo uzeli opseg je prvog poligona (P), a zbroj narednih članova tih relacija opseg je drugog poligona (P '), pa je P / P' \u003d AB / A'B '.

Dakle, perimetri takvih poligona nazivaju se sličnim stranama.

Odnos površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A'B'C'D'E 'slični poligoni (slika).

Poznato je da su ΔABC ~ ΔA'B'C 'ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E '.

Osim toga,

;

Budući da su drugi omjeri ovih proporcija jednaki, što proizlazi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih odnosa, dobijamo:

Or

gdje su S i S 'područja ovih sličnih poligona.

Dakle, područja sličnih poligona nazivaju se kvadratima sličnih stranica.

Rezultirajuća formula može se pretvoriti u ovaj oblik: S / S '\u003d (AB / A'B') 2

Slobodno područje poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverokuta ABDC (slika).

Nacrtajmo u njemu dijagonalu, na primjer AD. Dobivamo dva trokuta ABD i ACD, čija područja znamo izračunati. Tada nalazimo zbroj površina ovih trokuta. Rezultirajući zbroj izrazit će površinu ovog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu petougla, učinit ćemo isto: nacrtati dijagonale iz jednog vrha. Dobivamo tri trokuta čija područja možemo izračunati. To znači da možemo pronaći područje datog petougla. Isto radimo i pri izračunavanju površine bilo kojeg poligona.

Područje projekcije poligona

Prisjetimo se da je kut između prave i ravni kut između date prave i njene projekcije na ravan (slika).

Teorem. Površina pravokutne projekcije mnogougla na ravninu jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla formiranog ravninom mnogougla i ravni projekcije.

Svaki se mnogougao može podijeliti u trokute čija je suma površina jednaka površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.

Neka se ΔABS projicira na ravninu r... Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABS paralelna je ravnini r;

b) nijedna stranica ΔABS nije paralelna r.

Razmislite prvi slučaj: neka [AB] || r.

Nacrtajmo ravninu kroz (AB) r 1 || R i dizajn ortogonalno ΔABS na r 1 i dalje r (sl.); dobivamo ΔABS 1 i ΔA'B'S '.

Po svojstvu projekcije imamo ΔAVS 1 (kong) ΔA'V'S ', pa prema tome

S Δ ABC1 \u003d S Δ A'B'C '

Nacrtaj ⊥ i segment D 1 C 1. Tada je ⊥, a \\ (\\ overbrace (CD_1C_1) \\) \u003d φ vrijednost ugla između ravni ΔABS i ravni r 1. dakle

S Δ ABC1 \u003d 1/2 | AB | |. | C 1 D 1 | \u003d 1/2 | AB | |. | CD 1 | cos φ \u003d S Δ ABC cos φ

pa je prema tome S Δ A'B'C '\u003d S Δ ABC cos φ.

Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj... Nacrtajmo avion r 1 || r kroz taj vrh ΔABS, udaljenost od koje do ravnine r najmanji (neka to bude vrh A).

Dizajnirajmo ΔABS na ravni r 1 i r (sl.); neka njegove projekcije budu ΔAB 1 C 1 i ΔA'B'C '.

Neka je (VS) ∩ str 1 \u003d D. Tada

S Δ A'B'C '\u003d S ΔAB1 C1 \u003d S ΔADC1 - S ΔADB1 \u003d (S ΔADC - S ΔADB) cos φ \u003d S Δ ABC cos φ

Ostali materijali

U ovoj lekciji započet ćemo novu temu i predstaviti novi koncept za nas „poligon“. Obuhvatit ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vrhovi, uglovi, konveksnost i nekonveksnost. Tada dokazujemo najvažnije činjenice, poput teoreme o zbroju unutarnjih uglova mnogougla, teoremu o zbroju vanjskih kutova mnogougla. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će se razmatrati u daljnjim lekcijama.

Tema: Četverokuti

Lekcija: Poligoni

Na tečaju geometrije proučavamo svojstva geometrijskih oblika i već smo razmatrali najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Također smo razgovarali o posebnim posebnim slučajevima ovih figura, poput pravokutnih, jednakokračnih i pravilnih trokuta. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim oblicima - poligoni.

Sa posebnim slučajem poligoni već smo poznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).

Slika: 1. Trokut

Samo ime već naglašava da je ovo figura s tri ugla. Shodno tome, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo petougao (vidi sliku 2), tj figura sa pet uglova.

Slika: 2. Pentagon. Konveksni poligon

Definicija.Poligon - lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata linija koji ih serijski povezuju. Te se tačke nazivaju vrhovi poligona i segmenata linija - zabave... U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na jednoj ravnoj liniji i ne sijeku se dvije susjedne stranice.

Definicija.Pravilan poligonje konveksni poligon sa svim stranicama i uglovima jednakim.

Bilo koji poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko. Unutrašnje područje se takođe naziva poligon.

Drugim riječima, na primjer, kada govore o petouglu, oni misle i na cijelu njegovu unutrašnju regiju i na njegovu granicu. A sve točke koje leže unutar poligona također pripadaju unutarnjem području, tj. tačka takođe pripada peterokutu (vidi sliku 2).

Poligoni se ponekad nazivaju i n-iglama da bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj prisustva nekog nepoznatog broja uglova (n komada).

Definicija. Opseg poligona - zbroj dužina stranica mnogougla.

Sada se moramo upoznati s vrstama poligona. Podijeljeni su na konveksan i nekonveksan... Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na sl. 3 nekonveksna.

Slika: 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon zove konveksanako, prilikom crtanja ravne linije kroz bilo koju od njegovih stranica, cijelu poligon leži samo na jednoj strani ove ravne linije. Nekonveksno su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada se proteže bilo koja strana petougla na sl. 2 sve će to biti s jedne strane ove prave linije, tj. konveksan je. Ali pri crtanju ravne linije kroz četverokut na sl. 3 već vidimo da ga ona dijeli na dva dijela, tj. nije konveksan.

Ali postoji i druga definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon zove konveksanako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i povezivanju s segmentom sve točke segmenta također unutarnje točke poligona.

Demonstracija upotrebe ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonalno poligon je bilo koji segment linije koji povezuje dva susjedna vrha.

Da bi se opisala svojstva poligona, postoje dvije važne teoreme o njihovim uglovima: teorema o zbiru unutrašnjih uglova konveksnog mnogougla i teorema o zbiru vanjskih kutova konveksnog mnogougla... Razmotrimo ih.

Teorem. Zbir unutrašnjih uglova konveksnog mnogougla (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (stranica).

Dokaz 1. Prikazamo na sl. 4 konveksna n-kuta.

Slika: 4. Konveksni n-gon

Nacrtajte sve moguće dijagonale odozgo. Oni dijele n-gon u trokute, jer svaka stranica mnogougla čini trokut, osim stranica susjednih uz vrh. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj uglova svih ovih trokuta biti potpuno jednak zbroju unutrašnjih uglova n-kuta. Budući da je zbroj uglova bilo kojeg trokuta, tada je zbroj unutarnjih kutova n-ugla:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je i još jedan dokaz ove teoreme. Nacrtajmo sličan n-gon na sl. 5 i povezati bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.

Slika: pet.

Dobili smo particiju n-goona na n trokuta (onoliko stranica koliko ima trokuta). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutrašnjih uglova mnogougla i zbira uglova u unutrašnjoj točki, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Dokazan.

Dokazanom teoremom može se vidjeti da zbroj uglova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (o n). Na primjer, u trokutu i zbroju uglova. U četverokutu, a zbroj uglova je itd.

Teorem. Zbir vanjskih kutova konveksnog mnogougla (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (stranica), i, ..., vanjski su uglovi.

Dokazi. Nacrtajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označite njegove unutarnje i vanjske uglove.

Slika: 6. Konveksni n-kut s označenim vanjskim uglovima

Jer onda je vanjski ugao povezan sa unutarnjim kutom i slično za ostale vanjske uglove. Zatim:

Tijekom transformacija koristili smo već dokazani teorem o zbroju unutarnjih uglova n-kuta.

Dokazan.

Zanimljiva činjenica slijedi iz dokazane teoreme da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-ugla jednak od broja njegovih uglova (stranica). Inače, za razliku od zbroja unutrašnjih uglova.

Lista referenci

1. Alexandrov A.D. i dr. Geometrija, razred 8. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, razred 8. - M.: Obrazovanje, 2011 (monografija).
3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometrija, razred 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Zadaća

Postoje različita gledišta na ono što se smatra poligonom. U školskom tečaju geometrije koristi se jedna od sljedećih definicija.

Definicija 1

Poligon

Je oblik sastavljen od segmenata linija

tako da susjedni segmenti(to jest, susjedni segmenti linija sa zajedničkim vrhom, na primjer, A1A2 i A2A3) nemojte ležati na jednoj ravnoj liniji, a susjedni segmenti linija nemaju zajedničkih točaka.

Definicija 2

Nazvan je jednostavan zatvoreni poligon.

Poeni

su pozvani temena mnogougla, segmenti

— stranice mnogougla.

Zove se zbroj dužina svih stranica obod poligona.

Poziva se poligon koji ima n vrhova (a samim tim i n stranica) n - gon.

Poziv koji se nalazi u jednoj ravni naziva se stan... Kada se govori o mnogouglu, ako nije drugačije navedeno, to znači da govorimo o ravnom mnogouglu.

Pozvana su dva temena koja pripadaju istoj strani mnogougla susjedna... Na primjer, A1 i A2, A5 i A6 su susjedni vrhovi.

Pozvan je segment koji povezuje dva susjedna vrha dijagonalom poligona.

Otkrijmo koliko dijagonala ima poligon.

Svaki od n vrhova poligona ima n-3 dijagonale

(ukupno je n vrhova. Ne računamo sam vrh i dva susjedna vrha koji ne čine dijagonalu s tim vrhom. Za vrh A1, na primjer, ne uzimamo u obzir sam A1 i susjedne vrhove A2 i A3).

Dakle, svaki od n vrhova odgovara n-3 dijagonale. Budući da se jedna dijagonala odnosi na dva vrha odjednom, da bi se pronašao broj dijagonala poligona, umnožak n (n-3) mora se prepoloviti.

Prema tome, n-gon ima

dijagonale.

Bilo koji poligon dijeli ravninu na dva dijela - unutarnje i vanjsko područje poligona. Oblik koji se sastoji od mnogougla i njegove unutrašnjosti naziva se i poligon.

§ 1 Pojam trokuta

U ovoj lekciji upoznat ćete se s oblicima poput trokuta i mnogougla.

Ako su tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji povezane segmentima, tada ćete dobiti trokut. Trokut ima tri točke i tri stranice.

Prije trokuta ABC, on ima tri temena (točka A, točka B i točka C) i tri stranice (AB, AC i CB).

Inače, te iste strane možemo nazvati drugačije:

AB \u003d BA, AC \u003d CA, CB \u003d BC.

Stranice trokuta čine tri kuta na vrhovima trokuta. Na slici možete vidjeti ugao A, ugao B, ugao C.

Dakle, trokut je geometrijska figura koju čine tri segmenta koja povezuju tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.

§ 2 Pojam poligona i njegove vrste

Pored trokuta, postoje četverokuti, peterokuti, šesterokuti i tako dalje. Jednom riječju, mogu se nazvati poligoni.

Na slici vidite DMKE četverokut.

Tačke D, M, K i E su vrhovi četverokuta.

Segmenti DM, MK, KE, ED su stranice ovog četverougla. Baš kao u slučaju trokuta, stranice četverougla čine četiri ugla na vrhovima, kao što pretpostavljate, otuda i naziv - četverokut. Za ovaj četverokut na slici možete vidjeti ugao D, ugao M, ugao K i ugao E.

Koje četverokute već znate?

Kvadrat i pravougaonik! Svaki od njih ima četiri ugla i četiri strane.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Tačke O, P, X, Y, T su temena petougla, a segmenti TO, OP, PX, XY, YT stranice ovog petougla. Pentagon ima pet uglova, odnosno pet bočnih stranica.

Koliko uglova i stranica mislite da ima šesterokut? Tako je, šest! Razmišljajući na sličan način, možete reći koliko stranica, vrhova ili uglova ima određeni poligon. I možemo zaključiti da je trokut ujedno i mnogougao koji ima tačno tri ugla, tri stranice i tri vrha.

Tako ste se u ovoj lekciji upoznali s pojmovima kao što su trokut i mnogougao. Saznali smo da trokut ima 3 temena, 3 stranice i 3 ugla, četverokut ima 4 temena, 4 stranice i 4 ugla, petougao ima 5 stranica, 5 vrhova, 5 uglova itd.

Lista korišćene literature:

1. 5. razred matematike. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izdanje, izbrisano. - M: 2013.
2. Didaktički materijali iz matematike 5. razreda. Autor - Popov M.A. - godina 2013
3. Izračunavamo bez grešaka. Radi sa samotestiranjem iz matematike 5-6 razreda. Autor - Minaeva S.S. - godina 2014
4. Didaktički materijali iz matematike 5. razreda. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrolni i samostalni rad iz matematike, 5. razred. Autori - Popov M.A. - godina 2012
6. Matematika. Razred 5: udžbenik. za studente opšteg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosina, 2009